Wikipedia

Aljabar linear: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
WikiNgab (bicara | kontrib)
52 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
 
(199 revisi perantara oleh 68 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{short description|Cabang matematika}}
'''Aljabar linear''' adalah bidang studi [[matematika]] yang mempelajari sistem [[persamaan linear]] dan solusinya, [[vektor]], serta transformasi linear. [[Matriks]] dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
[[Berkas:Linear subspaces with shading.svg|thumb|250px|right|Dalam [[ruang Euklides]] dimensi tiga, ketiga bidang ini mewakili solusi persamaan linear, dan perpotongannya ketiganya mewakili himpunan solusi gabungan: dalam hal ini, sebuah titik yang unik. Garis biru adalah solusi gabungan ketika hanya memperhatikan gabungan dari dua persamaan linear.]]
 
'''Aljabar linear''' adalah bidang studi [[matematika]] yang mempelajari sistem [[persamaan linear]] seperti<math display="block">a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,</math>[[Peta linear|pemetaan linear]] seperti<math display="block">(x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n,</math>dan representasinya dalam [[ruang vektor]] maupun dengan [[Matriks (matematika)|matriks]].<ref>{{Citation|last1=Banerjee|first1=Sudipto|last2=Roy|first2=Anindya|date=2014|title=Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics|series=Texts in Statistical Science|publisher=Chapman and Hall/CRC|edition=1st|isbn=978-1420095388}}</ref><ref>{{Citation|last=Strang|first=Gilbert|date=July 19, 2005|title=Linear Algebra and Its Applications|publisher=Brooks Cole|edition=4th|isbn=978-0-03-010567-8}}</ref><ref>{{cite web|last=Weisstein|first=Eric|title=Linear Algebra|url=http://mathworld.wolfram.com/LinearAlgebra.html|work=From MathWorld--A Wolfram Web Resource.|publisher=Wolfram|access-date=16 April 2012}}</ref>
== Persamaan Linear & Matriks ==
 
Aljabar linear berperan penting di hampir semua bidang matematika. Sebagai contoh, aljabar linear menjadi dasar dalam menjelaskan [[geometri]] secara modern, termasuk dalam mendefinisikan objek-objek dasar seperti [[garis]], [[Bidang (geometri)|bidang]], dan [[Rotasi (matematika)|rotasi]]. [[Analisis fungsional]], salah satu cabang matematika analisis, dapat dianggap sebagai penerapan aljabar linear dalam [[ruang fungsi]].
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
 
Aljabar linear juga dipakai dalam banyak bidang ilmu dan bidang [[teknik]], karena kemampuannya [[Model matematika|memodelkan]] banyak fenomena alam dan mencari solusi model tersebut dengan efisien. Pada [[Sistem nonlinier|sistem nonlinear]], aljabar linear sering digunakan sebagai hampiran linear (''linear approximation''), didasarkan pada fakta [[turunan]] dari [[fungsi multivariabel]] di suatu titik adalah pemetaan linear yang terbaik dalam menghampiri nilai fungsi disekitar [[titik]] tersebut.
: 3''x''<sub>1</sub> + 4''x''<sub>2</sub> − 2 ''x''<sub>3</sub> = 5
: ''x''<sub>1</sub> − 5''x''<sub>2</sub> + 2''x''<sub>3</sub> = 7
: 2''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub> − 3''x''<sub>3</sub> = 9
 
== Sejarah ==
dapat dinyatakan dalam ''matriks teraugmentasi'' sebagai berikut
{{See also|Determinan#Sejarah|Eliminasi Gauss#Sejarah}}
Menyelesaikan beberapa persamaan linear secara bersamaan menjadi bagian penting dalam aljabar linear. Prosedur dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang sekarang dikenal sebagai [[eliminasi Gauss]], pertama kali muncul dalam ''Bab Delapan: Array Persegi Panjang'' di buku matematika Cina kuno ''[[Jiuzhang Suanshu|Sembilan Bab dalam Seni Matematika]]''. Buku ini mengilustrasikan delapan belas masalah, masing-masing melibatkan dua sampai lima persamaan.<ref>{{Cite book|last=Hart|first=Roger|year=2010|url=https://books.google.com/books?id=zLPm3xE2qWgC|title=The Chinese Roots of Linear Algebra|publisher=[[JHU Press]]|isbn=9780801899584}}</ref>
 
[[Sistem persamaan linear]] berkembang di Eropa bersamaan dengan dikenalkannya konsep [[Sistem koordinat|koordinat]] dalam [[geometri]], oleh [[René Descartes]] pada tahun 1637. Faktanya, pada geometri yang sekarang dikenal sebagai [[Geometri analitis|geometri Kartesius]] ini, garis-garis dan bidang-bidang diwakilkan oleh [[persamaan]] linear, dan mendapatkan hasil perpotongan mereka sama dengan menyelesaikan sistem persamaan linear.
<math>\begin{bmatrix}
3 & 4 & -2 & 5\\
1 & -5 & 2 & 7\\
2 & 1 & -3 & 9\\
\end{bmatrix}</math>
 
Pada perkembangan selanjutnya, [[determinan]] digunakan untuk menyelesaikan sistem [[persamaan linear]] secara sistematis. Metode ini pertama kali dipertimbangkan oleh [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] pada tahun 1693. Pada tahun 1750, [[Gabriel Cramer]] menggunakan determinan untuk menghasilkan solusi sistem linear secara eksplisit, menggunakan metode yang saat ini dikenal dengan [[aturan Cramer]]. [[Gauss]] nantinya juga menjelaskan lebih lanjut tentang metode eliminasi, yang awalnya dicatat sebagai sebuah kemajuan (''advancement'') dalam [[geodesi]].<ref name="Vitulli, Marie">{{cite web|last=Vitulli|first=Marie|author-link=Marie A. Vitulli|title=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory|url=http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|work=Department of Mathematics|publisher=University of Oregon|archive-url=https://web.archive.org/web/20120910034016/http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html|archive-date=2012-09-10|access-date=2014-07-08}}</ref>
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan ''eliminasi Gauss'' atau dapat juga dengan cara ''eliminasi Gauss-Jordan''. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan ''eliminasi Gauss'' untuk mengubah bentuk ''matriks teraugmentasi'' ke dalam bentuk ''eselon-baris'' tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
 
Pada tahun 1844, [[Hermann Grassmann]] mempublikasikan "''Theory of Extension''" yang didalamnya meyertakan topik fundamental yang baru, saat ini dikenal sebagai aljabar linear. Pada tahun 1848, [[James Joseph Sylvester]] memperkenalkan istilah ''matrix''. Aljabar linear tumbuh dengan konsep-konsep dari [[bidang kompleks]]. Sebagai contoh, dua [[bilangan kompleks]] <math>w</math> dan <math>z</math> memiliki selisih <math>w-z</math> dan segmen garis <math>\overline{w z}</math> dan <math>\overline{0(w-z)}</math> memiliki panjang dan arah yang sama. Istilah [[Vektor Euklides|vektor]] diperkenalkan untuk mewakili suatu titik <math>v = x \text{i} + y \text{j} + z \text{k} </math> dalam ruang.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
 
[[Arthur Cayley]] memperkenalkan [[perkalian matriks]] dan [[invers matriks]] pada tahun 1856. Cayley juga menggunakan satu huruf untuk menandai satu matriks, sehingga mengganggap matriks sebagai suatu gabungan dari banyak objek. Ia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Akan ada banyak hal untuk disampaikan tentang teori matriks ini yang, menurut saya, seharusnya mendahului teori determinan."<ref name="Vitulli, Marie" />
: a<sub>11</sub>''x''<sub>1</sub> + a<sub>12</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + a<sub>1n</sub>''x''<sub>n</sub> = 0
: a<sub>21</sub>''x''<sub>1</sub> + a<sub>22</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + a<sub>2n</sub>''x''<sub>n</sub> = 0
: a<sub>m1</sub>''x''<sub>1</sub> + a<sub>m2</sub>''x''<sub>2</sub> + ... + a<sub>mn</sub>''x''<sub>n</sub> = 0
 
Publikasi ''[[A Treatise on Electricity and Magnetism]]'' pada tahun 1873 memulai ilmu [[Medan (fisika)|teori medan]] tentang elektromagnetik, dan memerlukan [[geometri diferensial]] untuk mengekspresikan konsep-konsepnya. Aljabar linear merupakan geometri diferensial untuk bidang datar dan berperan pada ruang tangen [[Lipatan (matematika)|manifold]]. Simetri elektromagnetik dari [[ruang waktu]] diekspresikan lewat [[transformasi Lorentz]], dan banyak dari sejarah aljabar linear selanjutnya juga merupakan sejarah dari transformasi Lorentz.
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai ''x''<sub>1</sub> = 0 , ''x''<sub>2</sub> = 0 , ... , ''x''<sub>n</sub> = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
 
Definisi yang lebih pasti dan modern mengenai [[ruang vektor]] diperkenalkan oleh [[Giuseppe Peano|Peano]] pada tahun 1888.<ref name="Vitulli, Marie" /> Teori tentang transformasi linear ruang vektor dimensi hingga berkembang pada tahun 1900. Aljabar linear mendapatkan bentuk modernnya pada awal abad ke-20, ketika banyak ide dan konsep dari abad-abad sebelumnya berhasil diperumum menjadi [[aljabar abstrak]]. Perkembangan komputer memulai riset yang pesat dalam [[algoritme]] efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks; dan aljabar linear menjadi alat penting untuk permodelan dan simulasi.<ref name="Vitulli, Marie" />
=== Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks ===
 
== Ruang vektor ==
----
{{Main|Ruang vektor}}
Sampai pada abad ke-19, aljabar linear diperkenalkan lewat [[sistem persamaan linear]] dan [[Matriks (matematika)|matriks]]. Dalam matematika modern, perkenalan lewat ''ruang vektor'' lebih disukai karena sifatnya yang lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi yang berhingga) dan lebih mudah secara konseptual, walaupun lebih abstrak.
 
Suatu ruang vektor atas [[Medan (matematika)|medan]] {{math|''F''}} (umumnya berupa medan [[bilangan real]]) adalah suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] {{math|''V''}} yang dilengkapi oleh dua [[operasi biner]] yang memenuhi [[Aksioma|aksioma-aksioma]] pada daftar berikut. [[Elemen (matematika)|Elemen]] dari {{math|''V''}} disebut ''vektor'', dan elemen dari {{math|''F''}} disebut ''skalar''. Opersi yang pertama, ''penjumlahan vektor'', menggunakan sembarang dua vektor {{math|'''v'''}} dan {{math|'''w'''}} dan menghasilkan vektor {{math|'''v''' + '''w'''}}. Operasi yang kedua, ''perkalian skalar'', menggunakan sembarang skalar {{math|''a''}} dan sembarang vektor {{math|'''v'''}} dan menghasilkan vektor {{math|''a'''''v'''}}. Dalam daftar berikut, {{math|'''u''', '''v'''}}, dan {{math|'''w'''}} adalah sembarang vektor di {{math|''V''}}, dan {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} adalah sembarang skalar di medan {{math|''F''}}.<ref>{{harvtxt|Roman|2005|loc=ch. 1, p. 27}}</ref>
==== Bentuk ''Eselon-baris'' ====
{| style="width:100%;" border="0"
|'''Aksioma'''
|'''Hal yang terjadi'''
|-
|Penjumlahan bersifat [[Sifat asosiatif|asosiasif]]
|{{math|1='''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
|Penjumlahan bersifat [[Sifat komutatif|komutatif]]
|{{math|1='''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''}}
|-
|Penjumlahan memiliki [[elemen identitas]]
|Ada suatu elemen {{math|'''0'''}} di {{math|''V''}}, disebut dengan ''[[vektor nol]]'' (terkadang cukup disebut ''nol''), yang memenuhi {{math|1='''v''' + '''0''' = '''v'''}} untuk setiap {{math|'''v'''}} di {{math|''V''}}.
|- style="background:#F8F4FF;"
|Penjumlahan memiliki [[elemen invers]]
|Untuk setiap {{math|'''v'''}} di {{math|''V''}}, ada elemen {{math|−'''v'''}} di {{math|''V''}}, disebut invers penjumlahan dari {{math|'''v'''}}, yang memenuhi {{math|1='''v''' + (−'''v''') = '''0'''}}
|-
|Perkalian skalar bersifat [[Sifat distributif|distributif]] terhadap penjumlahan vektor
|{{math|1=''a''('''u''' + '''v''') = ''a'''''u''' + ''a'''''v'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
|Perkalian skalar bersifat distributif terhadap penjumlahan pada medan
|{{math|1=(''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''b'''''v'''}}
|-
|Perkalian skalar bersifat distributif terhadap perkalian pada medan
|{{math|1=''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v'''}} {{efn|Aksioma ini tidak mengartikan sifat asosiatif dari suatu operasi, karena ada dua operasi yang terjadi: perkalian skalar ''bv''; dan perkalian pada medan ''ab''.}}
|- style="background:#F8F4FF;"
|Perkalian skalar memiliki elemen invers
|Untuk setiap {{math|'''v'''}} di {{math|''V''}}, berlaku hubungan {{math|1=1'''v''' = '''v'''}}, dengan {{math|1}} menandakan [[identitas perkalian]] di {{mvar|F}}.
|}
Empat aksioma yang pertama mengartikan bahwa {{math|''V''}} adalah suatu [[grup Abelian]] dalam penjumlahan.
 
Elemen dari suatu ruang vektor yang spesifik dapat berupa objek yang beragam. Sebagai contoh, elemen ini dapat berupa [[Deret (matematika)|deret]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]], [[polinomial]], atau [[Matriks (matematika)|matriks]]. Aljabar linear berfokus pada sifat-sifat objek tersebut yang sama dengan semua ruang vektor lainnya.
Matriks dapat dikatakan ''Eselon-baris'' apabila memenuhi persyaratan berikut :
: 1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (''leading 1'').
: 2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
: 3.) Jika ada baris yang ''leading 1'' maka ''leading 1'' di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari ''leading 1'' di atasnya.
: 4.) Jika kolom yang memiliki ''leading 1'' angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut ''Eselon-baris tereduksi''
 
=== Peta linear ===
Contoh:
{{main|Peta linear}}
syarat 1: baris pertama disebut ''leading 1''
Peta linear adalah [[Peta (matematika)|pemetaan]] antara dua ruang vektor yang mengawetkan struktur dari ruang vektor. Diberikan dua ruang vektor {{math|''V''}} dan {{math|''W''}} atas medan {{mvar|F}}, suatu pet linear adalah [[Peta (matematika)|pemetaan]]<math display="block"> T:V\to W </math>yang memenuhi perkalian dan penjumlahan skalar, dengan kata lain, memenuhi<math display="block"> T(\mathbf u + \mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v), \quad T(a \mathbf v)=aT(\mathbf v) </math>Untuk sembarang vektor {{math|'''u''','''v'''}} di {{math|''V''}} dan skalar {{math|''a''}} di {{mvar|F}}. Hal ini mengakibatkan untuk sembarang vektor {{math|'''u''', '''v'''}} di {{math|''V''}} dan skalar {{math|''a'', ''b''}} di {{mvar|F}}, berlaku hubungan<math display="block">T(a \mathbf u + b \mathbf v)= T(a \mathbf u) + T(b \mathbf v) = aT(\mathbf u) + bT(\mathbf v) </math>Ketika {{math|1=''V'' = ''W''}}, pemetaan linear <math> T:V\to V </math> juga disebut sebagai ''operator linear'' di {{mvar|V}}. Peta linear yang [[Bijeksi|bijektif]] antara dua ruang vektor, yakni yang memetakan setiap elemen di satu ruang vektor dengan tepat satu elemen di ruang vektor yang lain, disebut sebagai suatu [[isomorfisme]]. Karena isomorfisme mengawetkan struktur linear, dua ruang vektor yang isomorfik "pada dasarnya sama" dalam sudut pandang aljabar linear, dalam artian mereka berdua tidak dapat dibedakan dengan menggunakan sifat-sifat ruang vektor. Satu masalah penting dalam aljabar linear adalah menentukan apakah suatu peta linear bersifat isomorfik; dan jika tidak isomorfik, menentukan [[Citra (matematika)|citra]] dan himpunan dari elemen-elemen yang dipetakan ke vektor nol, yang disebut sebagai [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] dari peta tersebut. Masalah-masalah ini dapat diselesaikan dengan [[eliminasi Gauss]], atau variasinya.
 
=== Subruang, span, dan basis ===
::<math>\begin{bmatrix}
{{main|Subruang linear|Span (aljabar linear)|Basis (aljabar linear)}}
1 & 4 & -2 & 5\\
Seperti banyak struktur matematika lainnya, mempelajari [[Himpunan bagian|subset]] dari ruang vektor yang juga berupa ruang vektor akibat suatu operasi adalah hal yang penting. Subset ini disebut dengan [[Subruang vektor|subruang linear]]. Secara formal, suatu subruang linear dari ruang vektor {{mvar|V}} atas lapangan {{mvar|F}} adalah suatu [[subset]] {{mvar|W}} dari {{mvar|V}} yang memenuhi {{math|'''u''' + '''v'''}} dan {{math|''a'''''u'''}} berada di dalam {{mvar|W}}, untuk setiap {{Math|'''u'''}}, {{Math|'''v'''}} di {{mvar|W}}, dan setiap {{mvar|a}} di {{mvar|F}}. (Definisi tersebut cukup untuk menyimpulkan bahwa {{mvar|W}} adalah suatu ruang vektor.) Sebagai contoh, untuk pemetaan linear <math> T:V\to W </math>, [[Citra (matematika)|citra]] {{math|''T''(''V'')}} dari {{mvar|V}}, dan invers dari citra {{math|''T''<sup>−1</sup>('''0''')}} dari '''0''' (dikenal sebagai [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] atau ruang nol), masing-masing adalah subruang linear dari {{mvar|W}} dan {{mvar|V}}.
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & -8 & 8\\
\end{bmatrix}</math>
 
Cara penting yang lain untuk membentuk suatu subruang adalah dengan menggunakan [[kombinasi linear]] vektor-vektor dari himpunan {{mvar|S}}. Cara ini menghasilkan himpunan berisi vektor-vektor dengan bentuk <math display="block"> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_k \mathbf v_k,</math>dengan {{math|'''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''k''</sub>}} berada di {{mvar|S}}, dan {{math|''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub>}} berada di {{mvar|F}}. Himpunan tersebut membentuk subruang linear yang disebut [[Span (aljabar linear)|span]] dari {{mvar|S}}. Span dari {{mvar|S}} juga merupakan irisan dari semua subruang linear yang mengandung {{mvar|S}}. Dengan kata lain, span ini adalah subruang linear terkecil (pada relasi subset) yang mengandung {{mvar|S}}.
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
 
Suatu himpunan vektor dikatakan saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] jika tidak ada vektor yang berada di span vektor-vektor yang lain. Secara ekuivalen, suatu himpunan vektor-vektor {{mvar|S}} saling bebas linear jika satu-satunya cara menyatakan vektor nol sebagai kombinasi linear vektor-vektor di {{mvar|S}} adalah dengan memilih 0 untuk setiap koefien <math>a_i.</math>
::<math>\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}</math>
 
Suatu himpunan vektor yang menjadi merentang (''span'') suatu ruang vektor disebut [[Rentang linear|himpunan span]]. Jika himpunan span {{mvar|S}} ''bergantung linear'' (yakni tidak bebas linear), maka ada vektor {{Math|'''w'''}} di {{mvar|S}} yang berada di span vektor-vektor {{mvar|S}} yang lain, dan span dari {{mvar|S}} tidak akan berubah walau {{Math|'''w'''}} dibuang. Langkah membuang vektor ini dapat diulangi sampai semua elemen {{mvar|S}} bebas linear. Himpunan span yang saling bebas linear yang merentang suatu ruang vektor {{mvar|V}} disebut sebagai suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] bagi {{math|''V''}}. Basis memiliki keunikan karena ia adalah himpunan span dari {{mvar|V}} yang terkecil sekaligus himpunan terbesar yang mengandung vektor-vektor di {{mvar|V}}. Secara lebih formal, jika {{mvar|S}} adalah himpunan yang bebas linear, dan {{mvar|T}} adalah himpunan span dengan <math>S\subseteq T,</math> maka ada suatu basis {{mvar|B}} sedemikian sehingga <math>S\subseteq B\subseteq T.</math>
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
 
Ruang vektor {{math|''V''}} dapat memiliki beberapa basis berbeda. Sembarang dua basis dari {{math|''V''}} memiliki [[kardinalitas]] yang sama, yang disebut sebagai [[dimensi]] dari {{math|''V''}}. Lebih lanjut, dua ruang vektor atas medan {{mvar|F}} yang sama saling [[Isomorfisme|isomorfik]] jika dan hanya jika kedua raung vektor tersebut memiliki dimensi yang sama.<ref>{{Harvp|Axler|2015}} p. 82, §3.59</ref> Jika salah satu basis bagi {{math|''V''}} (dan akibatnya semua basis) memiliki banyak elemen yang berhingga, {{math|''V''}} disebut ''ruang vektor dimensi hingga''. Jika {{math|''U''}} adalah subruang dari {{math|''V''}}, maka {{math|dim ''U'' ≤ dim ''V''}}. Pada kasus ketika {{math|''V''}} berdimensi hingga, persamaan dari pernyataan tersebut terjadi ketika {{math|1=''U'' = ''V''}}.
::<math>\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & 1 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}</math>
 
Jika ''U''<sub>1</sub> dan ''U''<sub>2</sub> adalah subruang dari ''V'', maka
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut ''Eselon-baris tereduksi
 
: <math>\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2),</math>
::<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}</math> <math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 6\\
\end{bmatrix}</math>
 
dengan <math>U_1+U_2</math> menyatakan span dari <math>U_1\cup U_2.</math><ref>{{Harvp|Axler|2015}} p. 23, §1.45</ref>
==== Operasi Eliminasi Gauss ====
== Matriks ==
{{Main|Matriks (matematika)}}Matriks memungkinkan manipulasi [[ruang vektor]] berdimensi hingga dan [[peta linear]] secara eksplisit. Teori tentang matriks selanjutnya menjadi bagian penting dalam aljabar linear.
 
Misalkan {{mvar|V}} adalah ruang vektor berdimensi hingga atas medan {{math|''F''}}, dan {{math|('''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''m''</sub>)}} menjadi basis bagi {{math|''V''}} (sehingga {{mvar|m}} adalah dimensi dari {{math|''V''}}). Dengan menggunakan definisi basis, pemetaan<math display="block">\begin{align}
''Eliminasi Gauss'' adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh [[Carl Friedrich Gauss]]). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang ''Eselon-baris''. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam ''matriks teraugmentasi'' dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks ''Eselon-baris'', lakukan ''substitusi balik'' untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
(a_1, \ldots, a_m)&\mapsto a_1 \mathbf v_1+\cdots a_m \mathbf v_m\\
F^m &\to V
\end{align}</math>
 
adalah suatu [[bijeksi]] dari <math>F^m,</math> yakni himpunan berisi [[barisan]] {{mvar|m}} elemen yang diambil dari {{mvar|F}}, ke {{mvar|V}}. Ini adalah suatu [[isomorfisme]] ruang vektor, jika <math>F^m</math> dilengkapi oleh struktur ruang vektor yang standarnya, yakni dengan operasi penjumlahan vektor dan [[perkalian skalar]] dilakukan komponen demi komponen. Isomorfisme ini memungkinan untuk merepresentasikan suatu vektor di {{mvar|V}} dengan menggunakan [[vektor koordinat]] <math>(a_1, \ldots, a_m)</math> atau dengan vektor<math display="block">\begin{bmatrix}a_1\\\vdots\\a_m\end{bmatrix}.</math>Selanjutnya, jika {{mvar|W}} adalah ruang vektor dimensi hingga yang lain (atau mungkin yang sama), dengan basis <math>(\mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n),</math> suatu peta linear {{mvar|f}} dari {{mvar|W}} ke {{mvar|V}} terdefinisi pasti (''well defined'') lewat nilai-nilai fungsi pada elemen-elemen basisnya, yakni <math>(f(\mathbf w_1), \ldots, f(\mathbf w_n)).</math> Sehingga, jika<math display="block">f(\mathbf w_j)=a_{1,j}\mathbf v_1 + \cdots+a_{m,j}\mathbf v_m,</math>untuk {{math|1=''j'' = 1, ..., ''n''}}, maka {{mvar|f}} dapat dinyatakan sebagai matriks dengan {{mvar|m}} baris dan {{mvar|n}} kolom<math display="block">\begin{bmatrix}
Contoh:
a_{1,1}&\cdots&a_{1,n}\\
Diketahui persamaan linear
\vdots&\ddots&\vdots\\
: <math>x + 2y + z = 6 </math>
a_{m,1}&\cdots&a_{m,n}
: <math>x + 3y + 2z = 9 </math>
\end{bmatrix}.</math>[[Perkalian matriks]] didefinisikan sedemikian sehingga hasil perkalian yang didapat merepresentasikan [[Komposisi fungsi|komposisi]] peta-peta linear dari matriks-matriks yang bersesuaian. Sedangkan perkalian matriks dengan vektor (matriks kolom) merepresentasikan hasil dari melakukan pemetaan linear kepada vektor tersebut. Dari diskusi ini disimpulkan bahwa teori ruang vektor berdimensi hingga dan teori matriks adalah dua bahasa berbeda untuk mengekspresikan satu konsep yang sama.
: <math>2x + y + 2z = 12 </math>
Tentukan Nilai x, y dan z
 
Dua matriks yang mewakili pemetaan linear yang sama tapi dalam basis yang berbeda disebut [[Matriks serupa|matriks yang serupa]]. Dapat ditunjukkan bahwa dua matriks serupa jika dan hanya jika satu matriks dapat diubah menjadi matriks yang lainnya hanya dengan melakukan [[Matriks dasar|operasi-operasi matriks elementer]]. Untuk suatu matriks yang mewakili pemetaan linear dari {{mvar|W}} ke {{mvar|V}}, operasi baris elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di {{mvar|V}} sedangkan operasi kolom elementer berkorespodensi dengan perubahan basis di {{mvar|W}}. Setiap matriks serupa dengan [[matriks identitas]] dengan mungkin tambahan beberapa kolom nol dan/atau baris nol. Dalam bahasa ruang vektor, ini mengartikan untuk semua pemetaan linear dari {{mvar|W}} ke {{mvar|V}}, ada basis sehingga sebagian basis di {{mvar|W}} dipetakan secara bijektif menjadi bagian dari basis {{mvar|V}}, sedangkan sisa basis {{mvar|W}} yang lain, jika ada, akan dipetakan ke vektor nol. [[Eliminasi Gauss]] adalah algoritme dasar untuk menentukan operasi-operasi elementer yang diperlukan, dan membuktikan hasil-hasil pada diskusi ini.
Jawab:
 
== Sistem linear ==
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
{{Main|Sistem persamaan linear}}
Sebuah [[himpunan hingga]] berisi persamaan-persamaan linear, masing-masing dengan terhingga banyaknya variabel, contohnya {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>''}} atau {{math|''x'', ''y'', ..., ''z''}}, disebut sebagai ''sistem persamaan linear'' atau ''sistem linear''.<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=2}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=65}}</ref><ref>{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=324}}</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=87}}</ref><ref>{{harvtxt|Harper|1976|p=57}}</ref>
 
Sistem linear membentuk bagian penting dalam aljabar linear. Dari sisi sejarah, aljabar linear dan teori matriks dikembangkan untuk menyelesaikan sistem tersebut. Dalam perkembangan modern saat ini, dimana aljabar linear dinyatakan lewat ruang vektor dan matriks, banyak masalah dinyatakan dalam bentuk sistem linear. Sebagai contoh, misalkan{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
::<math>\begin{bmatrix}
2x &&\; + \;&& y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 8 \\
1 & 2 & 1 & 6\\
-3x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 \\
1 & 3 & 2 & 9\\
2-2x &&\; 1+ \;&& 2y &&\; 12+\;&& 2z &&\; = \;&& -3
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S}}}}adalah sistem linear yang menyatakan suatu masalah. Sistem linear tersebut dapat diasosiasikan dengan matriks<math display="block">M = \left[\begin{array}{rrr}
\end{bmatrix}</math>
2 & 1 & -1\\
-3 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & 2
\end{array}\right]
</math>yang berisi semua koefisien di ruas kiri, dan vektor <math display="block">\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 8\\-11\\-3 \end{bmatrix} </math>yang berisi semua nilai di ruas kanan. Misalkan juga {{mvar|T}} adalah transformasi linear yang berasosiasi dengan matriks {{mvar|M}}. Sebuah solusi dari sistem ({{EquationNote|S}}) adalah vektor <math display="block">\mathbf{X}=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}</math>yang memenuhi
 
: <math>T(\mathbf{X}) = \mathbf{v},</math>
Operasikan Matriks tersebut
 
yakni sebuah elemen yang menjadi [[Citra (matematika)|pracitra]] dari {{mvar|v}} oleh pemetaan {{mvar|T}}.
<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
 
Misalkan ({{EquationNote|S′}}) adalah sistem homogen yang berasosiasi dengan ({{EquationNote|S}}), yakni sistem persamaan linear dengan semua nilai pada ruas kanan sama dengan nol:{{NumBlk|:|<math>\begin{alignat}{7}
<math>\begin{bmatrix}
2x &&\; + \;&& y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 \\
1 & 2 & 1 & 6\\
-3x &&\; - \;&& y &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& 0 \\
0 & 1 & 1 & 3\\
0-2x &&\; -3+ \;&& 0y &&\; 0+\;&& 2z &&\; = \;&& 0
\end{alignat}</math>|{{EquationRef|S′}}}}Himpunan solusi dari ({{EquationNote|S′}}) adalah elemen-elemen dari [[Kernel (aljabar linear)|kernel]] {{mvar|T}}, atau secara ekuivalen, kernel dari {{mvar|M}}.
\end{bmatrix}</math>
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
 
Solusi dari sistem linear dapat ditemukan dengan melakukan proses [[Eliminasi Gauss|eliminasi Gauss-Jordan]] pada matriks gabungan
<math>\begin{bmatrix}
<math display="block">\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 1 & 6\\
02 & 1 & -1 &8 3\\
0-3 & 0-1 & 3 2&-11 9\\
-2 & 1 & 2&-3
\end{bmatrix}</math>
\end{array}\right].
Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
</math>
Pross eliminasi ini adalah serangkaian [[Matriks dasar|operasi baris dasar]] yang mengubah matriks ke dalam [[Bentuk eselon baris|bentuk eselon baris tereduksi]]. Pada contoh ini, bentuk eselon baris tereduksi-nya adalah
<math display="block">\left[\!\begin{array}{c|c}M&\mathbf{v}\end{array}\!\right] = \left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 0 & 0&2 \\
0 & 1 & 0&3 \\
0 & 0 & 1&-1
\end{array}\right],
</math> menunjukkan bahwa sistem ({{EquationNote|S}}) memiliki solusi unik<math display="block">\begin{align}x&=2\\y&=3\\z&=-1.\end{align}</math>Interpretasi matriks dari sistem linear juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan operasi-operasi matriks dan transformasi linear lainnya, seperti menghitung [[Rank (aljabar linear)|rank]], [[Kernel (aljabar linear)|kernel]], dan [[invers matriks]].
 
== Endomorfisme dan matriks persegi ==
<math>\begin{bmatrix}
{{main|Matriks persegi}}
1 & 2 & 1 & 6\\
Sebuah [[endomorfisme]] linear adalah [[peta linear]] yang memetakan suatu ruang vektor {{mvar|V}} ke dirinya sendiri. Jika {{mvar|V}} memiliki basis berisi {{mvar|n}} elemen, endomorfisme tersebut dapat dinyatakan oleh sebuah [[matriks persegi]] berukuran <math>n\times n</math>. Berhubungan dengan pemetaan linear secara umum, endomorfisme linear dan matriks persegi memiliki beberapa sifat khusus yang membuat mereka memainkan peran penting dalam aljabar linear.
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi ''Eselon-baris'')
 
=== Determinan ===
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
{{main|Determinan}}
: <math>x + 2y + z =6</math>
''Determinan'' dari suatu matriks persegi {{mvar|A}} didefinisikan sebagai<ref>{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} pp. 76&#x2013;77, § 4.4.1&#x2013;4.4.6</ref>
: <math>y + z = 3</math>
: <math>z = 3</math>
 
: <math>\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\sigma} a_{1\sigma(1)} \cdots a_{n\sigma(n)}, </math>
Kemudian lakukan ''substitusi balik'' maka didapatkan:
: <math>y + z = 3</math>
: <math>y + 3 = 3</math>
: <math>y = 0</math>
 
dengan {{math|''S<sub>n</sub>''}} adalah [[Grup simetrik|grup dari semua permutasi]] {{mvar|n}} elemen, {{mvar|σ}} adalah sebuah permutasi, dan {{math|(−1)<sup>''σ''</sup>}} adalah [[Paritas (matematika)|paritas]] dari permutasi. Sebuah matriks disebut [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]] (''invertible'') jika dan hanya jika nilai determinannya dapat dibalik (diinvers), dengan kata lain, nilainya tidak sama dengan nol.
:<math>x + 2y + z =6</math>
:<math>x + 0 + 3 = 6</math>
:<math>x = 3</math>
 
[[Kaidah Cramer]] adalah rumus yang dinyatakan dalam bentuk determinan, dan dapat digunakan untuk mencari solusi sistem linear dengan {{mvar|n}} persamaan dan {{mvar|n}} variabel. Kaidah Cramer berguna untuk menjelaskan solusi yang ditemukan, namun kecuali untuk {{math|1=''n'' = 2}} atau {{math|3}}, kaidah tersebut jarang digunakan untuk mencari solusi. Algoritma yang lebih cepat untuk mencari solusi adalah [[eliminasi Gauss]].
Jadi nilai dari <math>x = 3</math> , <math>y = 0</math> ,dan <math>z = 3</math>
 
==== OperasiNilai Eliminasieigen Gauss-Jordandan vektor eigen ====
{{main|Nilai dan vektor eigen}}
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang ''Eselon-baris tereduksi''. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam ''matriks teraugmentasi'' dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks ''Eselon-baris tereduksi'', maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa ''substitusi balik''.
Jika {{mvar|f}} adalah endomorfisme linear dari suatu ruang vektor {{mvar|V}} atas suatu [[Medan (matematika)|medan]] {{mvar|F}}, ''vektor eigen'' dari {{mvar|f}} adalah vektor tak-nol {{mvar|v}} di {{mvar|V}} sedemikian sehingga {{math|1=''f''(''v'') = ''av''}} untuk suatu skalar {{mvar|a}} di {{mvar|F}}. Skalar {{mvar|a}} ini disebut sebagai nilai eigen dari {{mvar|f}}.
 
Jika dimensi dari {{mvar|V}} hingga, dan sebuah basis telah dipilih, {{mvar|f}} dan {{mvar|v}} dapat direpresentasikan masing-masing oleh sebuah matriks persegi {{mvar|M}} dan sebuah matriks kolom {{mvar|z}}; Persamaan yang mendefinisikan vektor eigen dan nilai eigen selanjutnya dapat ditulis ulang sebagai
Contoh:
<math>Mz=az.</math>
Diketahui persamaan linear
: <math>x + 2y + 3z = 3 </math>
: <math>2x + 3y + 2z = 3 </math>
: <math>2x + y + 2z = 5 </math>
Tentukan Nilai x, y dan z
 
Menggunakan [[matriks identitas]] {{mvar|I}}, matriks dengan semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan semua elemen lainnya bernilai 0, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai
Jawab:
<math>(M-aI)z=0.</math>
 
Karena {{mvar|z}} bukan vektor nol, ekspresi {{math|''M'' – ''aI''}} menyatakan suatu [[matriks singular]] yang nilai determinannya, {{math|det (''M'' − ''aI'')}}, sama dengan nol.
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
 
== Catatan ==
::<math>\begin{bmatrix}
{{notelist}}
1 & 2 & 3 & 3\\
2 & 3 & 2 & 3\\
2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}</math>
Operasikan Matriks tersebut
 
== Referensi ==
<math>\begin{bmatrix}
{{reflist|30em}}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
 
== Daftar pustaka ==
<math>\begin{bmatrix}
{{Refbegin}}
1 & 2 & 3 & 3\\
* {{citation|last1=Anton|first1=Howard|year=1987|isbn=0-471-84819-0|title=Elementary Linear Algebra|edition=5th|publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|location=New York}}
0 & -1 & -4 & -3\\
*{{Citation|last=Axler|first=Sheldon|title=Linear Algebra Done Right|volume=|pages=|publication-date=2015|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=3rd|publisher=[[Springer Publishing]]|isbn=978-3-319-11079-0|author-link=Sheldon Axler}}
0 & -3 & -4 & -1\\
* {{citation|last1=Beauregard|first1=Raymond A.|last2=Fraleigh|first2=John B.|title=A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields|location=Boston|publisher=[[Houghton Mifflin Company]]|year=1973|isbn=0-395-14017-X|url-access=registration|url=https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau}}
\end{bmatrix}</math>
* {{citation|last1=Burden|first1=Richard L.|last2=Faires|first2=J. Douglas|year=1993|isbn=0-534-93219-3|title=Numerical Analysis|edition=5th|publisher=[[Prindle, Weber and Schmidt]]|location=Boston|url-access=registration|url=https://archive.org/details/numericalanalysi00burd}}
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
* {{citation|last1=Golub|first1=Gene H.|last2=Van Loan|first2=Charles F.|year=1996|isbn=978-0-8018-5414-9|title=Matrix Computations|edition=3rd|series=Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences|publisher=[[Johns Hopkins University Press]]|location=Baltimore}}
 
*{{citation|last=Halmos|first=Paul Richard|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|url=https://www.worldcat.org/title/finite-dimensional-vector-spaces/oclc/1251216|volume=|pages=|year=1974|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|edition=1958 2nd|publisher=[[Springer Publishing]]|isbn=0-387-90093-4|oclc=1251216|author-link=Paul Halmos}}
<math>\begin{bmatrix}
* {{citation|last1=Harper|first1=Charlie|year=1976|isbn=0-13-487538-9|title=Introduction to Mathematical Physics|publisher=[[Prentice-Hall]]|location=New Jersey}}
1 & 2 & 3 & 3\\
*{{Citation|last1=Katznelson|first1=Yitzhak|title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra|volume=|pages=|publication-date=2008|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-0-8218-4419-9|last2=Katznelson|first2=Yonatan R.|year=2008|author-link=Yitzhak Katznelson}}
0 & -1 & -4 & -3\\
* {{Citation|last=Roman|first=Steven|date=March 22, 2005|volume=|pages=|title=Advanced Linear Algebra|edition=2nd|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|publisher=Springer|isbn=978-0-387-24766-3|author-link=Steven Roman}}
0 & 0 & 8 & 8\\
{{Refend}}
\end{bmatrix}</math>
{{Authority control}}{{Aljabar linear}}
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 4 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi ''Eselon-baris tereduksi'')
 
Maka didapatkan nilai dari <math>x = 2</math> , <math>y = -1</math> ,dan <math>z = 1</math>
 
=== Operasi Dalam Matriks ===
 
----
 
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
 
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
 
Jumlah dari ''k'' buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah ''k'' kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika ''k'' sebarang ''skalar'' maka ''k''A = A ''k'' adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan ''k''. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0.
Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
: a.) A + B = B + A
: b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
: c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
 
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ ''c''<sub>ij</sub> ] berordo m x n dimana
''c''<sub>ij</sub> = ''a''<sub>i1</sub> ''b''<sub>1j</sub> + ''a''<sub>i2</sub> ''b''<sub>2j</sub> + ... + ''a''<sub>ip</sub> ''b''<sub>pj</sub>
 
=== Matriks Balikan (''Invers'') ===
 
----
 
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau ''invers'' dari A dan dapat dituliskan <math>B = A^{-1}</math> ( B sama dengan ''invers'' A ). Matriks B juga mempunyai ''invers'' yaitu A maka dapat dituliskan <math>A = B^{-1}</math>. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan '''matriks tunggal''' (singular). Jika matriks B dan C adalah ''invers'' dari A maka B = C.
 
Matriks A =
<math>\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}</math>
dapat di-''invers'' apabila ad - bc ≠ 0
 
Dengan Rumus =
 
<math>A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\
-\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\
\end{bmatrix}</math>
 
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-''invers'' dan <math>(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}</math>
 
 
Contoh 1:
 
Matriks
 
::A = <math>\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}</math> dan B = <math>\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}</math>
 
::AB = <math>\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}</math> = I (matriks identitas)
 
::BA = <math>\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}</math> = I (matriks identitas)
 
Maka dapat dituliskan bahwa <math>B = A^{-1}</math> (B Merupakan ''invers'' dari A)
 
 
Contoh 2:
 
Matriks
 
::A = <math>\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}</math> dan B = <math>\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}</math>
 
::AB = <math>\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
3 & 4 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix}</math>
 
::BA = <math>\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
17 & 21 \\
15 & 19 \\
\end{bmatrix}</math>
 
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut '''matriks tunggal'''.
 
 
Contoh 3:
 
Matriks
 
::A = <math>\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2 \\
\end{bmatrix}</math>
 
Tentukan Nilai dari A<sup>-1</sup>
 
Jawab:
 
<math>A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix}</math>
 
 
Contoh 4:
 
Matriks
 
::A = <math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3 \\
\end{bmatrix}</math>, B = <math>\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
2 & 2 \\
\end{bmatrix}</math>, AB = <math>\begin{bmatrix}
7 & 6 \\
9 & 8 \\
\end{bmatrix}</math>
 
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
 
::<math>A^{-1} = \begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}</math>, <math>B^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}</math>, <math>(AB)^{-1} = \begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 8 \\
\end{bmatrix}</math>
 
Maka
 
::<math>B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 8 \\
\end{bmatrix}</math>
 
Ini membuktikan bahwa '''<math>(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}</math>'''
 
=== ''Transpose'' Matriks ===
 
----
 
Yang dimaksud dengan ''Transpose'' dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
 
Contoh:
 
Matriks
 
::A = <math>\begin{bmatrix}
2 & -5 & 1\\
-1 & 3 & 3\\
5 & 4 & 8\\
\end{bmatrix}</math> ditranspose menjadi A<sup>T</sup> = <math>\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5\\
-5 & 3 & 4\\
1 & 3 & 8\\
\end{bmatrix}</math>
 
 
Matriks
 
::B = <math>\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5 & 7\\
9 & 5 & 7 & 4\\
4 & 1 & 5 & 3\\
\end{bmatrix}</math> ditranspose menjadi B<sup>T</sup> = <math>\begin{bmatrix}
1 & 9 & 4\\
3 & 5 & 1\\
5 & 7 & 5\\
7 & 4 & 3\\
\end{bmatrix}</math>
 
 
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
:: 1. <math>((A)^T)^T = A</math>
:: 2. <math>(A+B)^T = A^T + B^T</math> dan <math>(A-B)^T = A^T - B^T</math>
:: 3. <math>(kA)^T = kA^T</math> dimana k adalah skalar
:: 4. <math>(AB)^T = B^T A^T</math>
 
=== Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris ===
 
----
 
===== Matriks Diagonal =====
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan '''matriks diagonal'''.
Contoh :
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -5\\
\end{bmatrix}</math>
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -5 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
 
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
 
<math>\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_n\\
\end{bmatrix}</math>
 
 
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
 
<math>D^{-1}</math>=<math>\begin{bmatrix}
1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\
\end{bmatrix}</math>
 
<math>DD^{-1}=D^{-1}D=I</math>
 
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
 
<math>D^{k}</math>=<math>\begin{bmatrix}
d_1^k & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_2^k & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_n^k\\
\end{bmatrix}</math>
 
Contoh :
 
A=<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{bmatrix}</math>
 
maka
 
<math>A^5</math>=<math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -243 & 0\\
0 & 0 & 32\\
\end{bmatrix}</math>
 
----
 
===== Matriks Segitiga =====
 
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
 
Matriks segitiga
 
<math>\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\
0 & 0 & 0 & a_{44}\\
\end{bmatrix}</math>
 
Matriks segitiga bawah
 
<math>\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0\\
a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{bmatrix}</math>
 
Teorema
* Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
* Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
* Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
* Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
 
Matriks segitiga yang bisa di invers
 
A =<math>\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1\\
0 & 2 & 4\\
0 & 0 & 5\\
\end{bmatrix}</math>
 
Inversnya adalah
 
<math>A^{-1}</math>=<math>\begin{bmatrix}
1 & -3/2 & 7/5\\
0 & 1/2 & -2/5\\
0 & 0 & 1/5\\
\end{bmatrix}</math>
 
Matriks yang tidak bisa di invers
 
B =<math>\begin{bmatrix}
3 & -2 & 2\\
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
 
----
 
===== Matriks Simetris =====
 
Matriks kotak A disebut simetris jika <math>A = A^T</math>
 
Contoh matriks simetris
 
<math>\begin{bmatrix}
7 & -3 \\
-3 & 5 \\
\end{bmatrix}</math>
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5\\
4 & -3 & 0\\
5 & 0 & 7\\
\end{bmatrix}</math>
 
Teorema
* Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika ''k'' adalah skalar maka
<math>A^T</math> adalah simetris
A + B dan A - B adalah simetris
''k''A adalah simetris
<math>(AB)^T = B^T A^T = BA</math>
 
 
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka <math>A^{-1}</math> adalah matriks simetris.
 
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa <math>A = A^T</math> maka :
 
<math>(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}</math>
 
Yang mana membuktikan bahwa <math>A^{-1}</math> adalah simetris.
 
 
Produk <math>AA^T</math> dan <math>A^TA</math>
 
<math> (AA^T)^T = (A^T)^TA^T = AA^T</math> dan <math>(A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA</math>
 
Contoh
 
A adalah matriks 2 X 3
 
A =
<math>\begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}</math>
 
lalu
 
<math> A^TA</math> = <math>\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 0\\
4 & -5 \\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
10 & -2 & 11\\
-2 & 4 & -8\\
-11 & -8 & 41\\
\end{bmatrix}</math>
 
 
<math>AA^T</math> = <math>\begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 0\\
4 & -5 \\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
21 & -17 \\
-17 & 34\\
\end{bmatrix}</math>
 
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka <math>AA^T</math> dan <math>A^TA</math> juga bisa di inverse
 
== Determinan ==
 
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
 
Sebagai contoh, kita ambil matriks A<sub>2x2</sub>
 
:: A = <math>\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix}</math> tentukan determinan A
 
untuk mencari determinan matrik A maka,
 
:: '''''detA = ad - bc'''''
 
=== Determinan dengan Ekspansi Kofaktor ===
----
 
==== '''Determinan dengan Minor dan kofaktor''' ====
 
:: A = <math>\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}</math> tentukan determinan A
 
Pertama buat minor dari a<sub>11</sub>
:: M<sub>11</sub> = <math>\begin{bmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}</math> = detM = a<sub>22</sub>a<sub>33</sub> x a<sub>23</sub>a<sub>32</sub>
 
Kemudian kofaktor dari a<sub>11</sub> adalah
:: c<sub>11</sub> = (-1)<sup>1+1</sup>M<sub>11</sub> = (-1)<sup>1+1</sup>a<sub>22</sub>a<sub>33</sub> x a<sub>23</sub>a<sub>32</sub>
 
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C<sub>ij</sub>=±M<sub>ij</sub> untuk membedakan apakah kofaktor pada <sub>ij</sub> adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
 
:<math>\begin{bmatrix}
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\
\end{bmatrix}</math>
 
Begitu juga dengan minor dari a<sub>32</sub>
:: M<sub>32</sub> = <math>\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}\\
\end{bmatrix}</math> = detM = a<sub>11</sub>a<sub>23</sub> x a<sub>13</sub>a<sub>21</sub>
 
Maka kofaktor dari a<sub>32</sub> adalah
:: c<sub>32</sub> = (-1)<sup>3+2</sup>M<sub>32</sub> = (-1)<sup>3+2</sup> x a<sub>11</sub>a<sub>23</sub> x a<sub>13</sub>a<sub>21</sub>
 
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
 
:: '''''det(A) = a<sub>11</sub>C<sub>11</sub>+a<sub>12</sub>C<sub>12</sub>+a<sub>13</sub>C<sub>13</sub>'''''
 
==== '''Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama''' ====
 
Misalkan ada sebuah matriks A<sub>3x3</sub>
 
:: A = <math>\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}</math>
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
 
:: det(A) = a<sub>11</sub><math>\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}</math> - a<sub>12</sub><math>\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix}</math> + a<sub>13</sub><math>\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}</math>
::::= a<sub>11</sub>(a<sub>22</sub>a<sub>33</sub> - a<sub>23</sub>a<sub>32</sub>) - a<sub>12</sub>(a<sub>21</sub>a<sub>33</sub> - a<sub>23</sub>a<sub>31</sub>) + a<sub>13</sub>(a<sub>21</sub>a<sub>32</sub> - a<sub>22</sub>a<sub>31</sub>)
::::= a<sub>11</sub>a<sub>22</sub>a<sub>33</sub> + a<sub>12</sub>a<sub>23</sub>a<sub>31</sub> + a<sub>13</sub>a<sub>21</sub>a<sub>32</sub> - a<sub>13</sub>a<sub>22</sub>a<sub>31</sub> - a<sub>12</sub>a<sub>21</sub>a<sub>33</sub> - a<sub>11</sub>a<sub>23</sub>a<sub>32</sub>
 
Contoh Soal:
:: A = <math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix}</math> tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
:: det(A) = <math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix}</math> = 1<math>\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}</math> - 2<math>\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}</math> + 3<math>\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}</math> = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
 
==== '''Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama''' ====
 
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
 
Misalkan ada sebuah matriks A<sub>3x3</sub>
 
:: A = <math>\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}</math>
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
 
:: det(A) = a<sub>11</sub><math>\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}</math> - a<sub>21</sub><math>\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix}</math> + a<sub>31</sub><math>\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}</math>
::::= a<sub>11</sub>(a<sub>22</sub>a<sub>33</sub> - a<sub>23</sub>a<sub>32</sub>) - a<sub>21</sub>(a<sub>21</sub>a<sub>33</sub> - a<sub>23</sub>a<sub>31</sub>) + a<sub>31</sub>(a<sub>21</sub>a<sub>32</sub> - a<sub>22</sub>a<sub>31</sub>)
::::= a<sub>11</sub>a<sub>22</sub>a<sub>33</sub> + a<sub>21</sub>a<sub>23</sub>a<sub>31</sub> + a<sub>31</sub>a<sub>21</sub>a<sub>32</sub> - a<sub>22</sub>(a<sub>31</sub>)<sup>2</sup> - (a<sub>21</sub>)<sup>2</sup>a<sub>33</sub> - a<sub>11</sub>a<sub>23</sub>a<sub>32</sub>
 
Contoh Soal:
:: A = <math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix}</math> tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
:: det(A) = <math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix}</math> = 1<math>\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix}</math> - 4<math>\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix}</math> + 3<math>\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix}</math> = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
 
==== Adjoin Matriks 3 x 3 ====
 
Bila ada sebuah matriks A<sub>3x3</sub>
 
:: A = <math>\begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}</math>
 
Kofaktor dari matriks A adalah
 
:: C<sub>11</sub> = -12 C<sub>12</sub> = 6 C<sub>13</sub> = -16
:: C<sub>21</sub> = 4 C<sub>22</sub> = 2 C<sub>23</sub> = 16
:: C<sub>31</sub> = 12 C<sub>32</sub> = -10 C<sub>33</sub> = 16
 
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
 
::<math>\begin{bmatrix} 12&6&-16\\ 4&2&16\\ 12&-10&16\\ \end{bmatrix}</math>
 
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
 
::''adj(A)'' = <math>\begin{bmatrix} 12&4&12\\ 6&2&-10\\ -16&16&16\\ \end{bmatrix}</math>
 
==== Determinan Matriks Segitiga Atas ====
 
Jika '''A''' adalah matriks segitiga <sub>nxn</sub> (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka <math>det(A)</math> adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
 
:: <math>det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}</math>
 
Contoh
 
:: <math>\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix}</math> = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
 
==== Metode Cramer ====
 
jika '''Ax = b''' adalah sebuah sistem linear ''n'' yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
;
<center><math>X_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)}, X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... , X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}</math></center>
 
dimana A <sub>j</sub> adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom <sub>j</sub> dengan matrik b
 
Contoh soal:
 
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
 
::<b>x<sub>1</sub> + 2x<sub>3</sub> = 6
 
::<b>-3x<sub>1</sub> + 4x<sub>2</sub> + 6x<sub>3</sub> = 30
 
::<b>-x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> + 3x<sub>3</sub> = 8
 
Jawab:
 
bentuk matrik A dan b
 
:: A = <math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
-3 & 4 & 6\\
-1 & -2 & 3\\
\end{bmatrix}</math> b = <math>\begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}</math>
 
kemudian ganti kolom <sub>j</sub> dengan matrik b
 
:: A<sub>1</sub> = <math>\begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix}</math> A<sub>2</sub> = <math>\begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix}</math> A<sub>3</sub> = <math>\begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}</math>
 
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
 
maka,
 
::<math> x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}</math>
 
::<math> x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}</math>
 
::<math> x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}</math>
 
==== Tes Determinan untuk Invertibilitas ====
 
Pembuktian:
Jika ''R'' di reduksi secara baris dari ''Ä''. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa
'''det(''A'')''' dan '''det(''R'')''' keduanya adalah nol atau tidak nol: ''E''<sub>1</sub>,''E''<sub>2</sub>,...,''E''<sub>''r''</sub></b> menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan ''R''dari ''A''.
Maka,
 
<center><b>''R''=''E''<sub>''r''</sub>...''E''<sub>2</sub> ''E''<sub>1</sub> ''A''</center>
 
dan,
 
<center>'''det(''R'')=det(''E''<sub>''r''</sub>)...det(''E''<sub>2</sub>)det(''E''<sub>1</sub>)det(''E''<sub>A</sub>)'''</center>
 
Jika ''A'' dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema ''equivalent statements'' , maka ''R'' = ''I'', jadi det(''R'') = 1 ≠ 0 dan det(''A'') ≠ 0. Sebaliknya, jika det(''A'') ≠ 0, maka det(''R'') ≠ 0, jadi ''R'' tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema ''R'' = ''I'', maka ''A'' adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
 
Contoh Soal :
<center>''A''=<math>\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 0 & 1\\
2 & 4 & 6\\
\end{bmatrix}</math></center>
karena det(''A'') = 0. Maka ''A'' adalah dapat diinvers.
 
=== Mencari determinan dengan cara Sarrus ===
 
:: A = <math>\begin{bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i\\
\end{bmatrix}</math> tentukan determinan A
 
untuk mencari determinan matrik A maka,
 
:: '''''detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)'''''
 
=== Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3 ===
 
=== Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3 ===
:: A = <math>\begin{bmatrix}
3 & 2 & -1\\
1 & 6 & 3\\
2 & -4 & 0\\
\end{bmatrix}</math>
 
kemudian hitung kofaktor dari matrix A {{br}}
C<sub>11</sub> = 12 C<sub>12</sub> = 6 C<sub>13</sub> = -16
 
C<sub>21</sub> = 4 C<sub>22</sub> = 2 C<sub>23</sub> = 16
 
C<sub>31</sub> = 12 C<sub>32</sub> = -10 C<sub>33</sub> = 16
 
menjadi matrix kofaktor
::<math>\begin{bmatrix}
12 & 6 & -16\\
4 & 2 & 16\\
12 & -10 & 16\\
\end{bmatrix}</math>
 
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi
 
:: adj(A) = <math>\begin{bmatrix}
12 & 4 & 12\\
6 & 2 & -10\\
-16 & 16 & 16\\
\end{bmatrix}</math>
 
<math>A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)</math>
 
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
 
<font size="4"><math>\mathit{det(A) = 64}</math></font>
 
<math>A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix}
12 & 4 & 12\\
6 & 2 & -10\\
-16 & 16 & 16\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{12}{64} & \frac{4}{64} & \frac{12}{64}\\
\frac{6}{64} & \frac{2}{64} & -\frac{10}{64}\\
-\frac{16}{64} & \frac{16}{64} & \frac{16}{64}\\
\end{bmatrix}</math>
 
===Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx===
 
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
 
''A''x = ''λ''x ; dimana λ adalah skalar
 
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi
 
(''λ''<i>''I'' - ''A'') x = 0
 
contoh:
 
diketahui persamaan linear
x<sub>1</sub> + 3x<sub>2</sub> = λx<sub>1</sub>
4x<sub>1</sub> + 2x<sub>2</sub> = λx<sub>2</sub>
 
dapat ditulis dalam bentuk
<math>\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}</math> <math>\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}</math> = λ <math>\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}</math>
 
yang kemudian dapat diubah
::A =<math>\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}</math>dan x =<math>\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}</math>
 
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
''λ'' <math>\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}</math>
 
''λ'' <math>\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}</math>
 
<math>\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}</math>
 
sehingga didapat bentuk
''λ'' <i>I</i> - ''A'' = <math>\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}</math>
 
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
<i>det</i> (λ <i>I</i> - A) = 0 ;λ adalah <i>eigenvalue</i> dari A
 
dan dari contoh diperoleh
<i>det</i> (λ <i>I</i> - A) = <math>\begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}</math> = 0
 
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
 
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ<sub>1</sub> = -2 dan λ<sub>2</sub> = 5
 
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ ''I'' - A) x = 0, maka ''eigenvector'' bisa didapat
bila λ = -2 maka diperoleh
<math>\begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}</math>
 
dengan mengasumsikan x<sub>2</sub> = t maka didapat x<sub>1</sub> = t
x = <math>\begin{bmatrix} -t\\ t\\ \end{bmatrix}</math>
 
== Vektor dalam Ruang Euklide ==
 
=== Euklidian dalam n-Ruang ===
----
 
Vektor di dalam n-Ruang
Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a<sub>1</sub>.a<sub>2</sub>.....a<sub>n</sub>). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
 
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
 
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a<sub>2</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub> merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...., a<sub>n</sub>) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.
 
{{br}}<center><b>
u<sub>1</sub> = v<sub>1</sub> u<sub>2</sub> = v<sub>2</sub> u<sub>n</sub> = v<sub>n</sub> </br></center>
 
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
{{br}}<center></b>
u + v = (u<sub>1</sub> + v<sub>2</sub>, u<sub>2</sub> + v<sub>2</sub>, ...., u<sub>n</sub> + v<sub>n</sub>) </br></center>
 
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
 
{{br}}<center> ku = (k u<sub>1</sub>, k u<sub>2</sub>,...,k u<sub>n</sub>) </br></center>
 
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn
Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
 
{{br}}<center> 0 = (0, 0,...., 0)</br></center>
 
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
 
{{br}}<center> '''-u = (-u1, -u2, ...., -un)'''</br></center>
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
{{br}}<center> '''v – u = v + (-u)''' </br></center>
atau, dalam istilah komponen,
{{br}}<center> '''v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)'''</br></center>
 
'''Sifat-sifat dari vektor dalam <math>R^n</math>'''
 
jika <math>\mathbf{u} = u_{1}, u_{2},..., u_{n}</math> , <math>\mathbf{v} = v_{1}, v_{2},..., v_{n}</math> , dan <math>\mathbf{w} = w_{1}, w_{2},..., w_{n}</math> adalah vektor dalam <math>R^n</math> sedangkan ''k'' dan ''m'' adalah skalar, maka :
 
(a) '''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''
 
(b) '''u''' + '''0''' = '''0''' + '''u''' = '''u'''
 
(c) '''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') +''' w'''
 
(d) '''u''' + ('''-u''') = '''0''' ; berarti, '''u - u''' = '''0'''
 
(e) ''k'' (''m'' '''u''') = (''k m'') '''u'''
 
(f) ''k'' ('''u''' + '''v''') = ''k'' '''u''' + ''k'' '''v'''
 
(g) (''k'' + ''m'') '''u''' = ''k'' '''u''' + ''m'' '''u'''
 
(h) 1'''u''' = '''u'''
 
 
 
Perkalian ''dot product'' <math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}</math> didefinisikan sebagai
 
{{br}}<center> <math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n} </math></br></center>
 
=== '''Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi''' ===
 
 
* '''Data Eksperimen''' – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector <math>y= (y1,y2,...,yn)</math> dalam <math>R^n</math> dalam setiap <math>y_1,y_2,....,y_n</math> adalah nilai yang terukur.
* '''Penyimpanan dan Gudang''' – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel <math>x= (x_1,x_2,...,x_15)</math> dalam setiap <math>x_1</math> adalah jumlah truk dalam depot pertama dan <math>x_2</math> adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
* '''Rangkaian listrik''' – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam <math>R^4</math> dan tegangan output bisa ditulis sebagai<math> R^3</math>. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input <math>v = (v_1,v_2,v_3,v_4)</math> dalam <math>R^4</math> ke vector keluaran <math>w = (w_1,w_2,w_3)</math> dalam<math> R^3</math>.
* '''Analisis citra''' – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan [[hue]], [[saturasi]], dan [[kecerahan]] dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk <math>v = (x,y,h,s,b)</math> dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
* '''Ekonomi''' – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel <math>s = (s_1,s_2,s_3,...,s_10)</math> dalam setiap angka <math>s_1,s_2,...,s_10</math> adalah output dari sektor individual.
* '''Sistem Mekanis''' – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah<math> x_1,x_2,...,x_6</math> dan kecepatan mereka adalah <math>v_1,v_2,...,v_6</math>. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
<math>V = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,t)</math>
Dalam <math>R^13</math>. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
* '''Fisika''' - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu [[Einstein]] adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
 
=== Menemukan norm dan jarak ===
----
Menghitung Panjang vektor '''u''' dalam ruang <math>R^n</math>
 
jika '''u''' = <math>(u_1,u_2,u_3,...,u_n)</math>
 
 
Maka Panjang vektor '''u'''
 
{{br}}<center><math>|\bar{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + . . . + u_n^2} </math></br></center>
 
 
dan Menghitung jarak antara vektor '''u''' dengan vektor '''v'''
 
{{br}}<center><math>d(u,v) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 + . . . + (u_n - v_n)^2} </math></center>
 
=== Bentuk Newton ===
 
interpolasi polinominal p(x)=a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>+a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>+...+a<sub>1</sub>x+a<sub>0</sub> adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>),(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>),(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>),(x<sub>3</sub>,y<sub>3</sub>).
 
Jika kita tuliskan P(x)=a<sub>3</sub>x<sup>3</sup>+a<sub>2</sub>x<sup>2</sup>+a<sub>1</sub>x+a<sub>0</sub>
 
bentuk equivalentnya : p(x)=a<sub>3</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>3</sup>+p(x)=a<sub>2</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+p(x)=a<sub>1</sub>(x-x<sub>0</sub>)+a<sub>0</sub>
 
dari kondisi interpolasi p(x<sub>0</sub>)=y<sub>o</sub> maka didapatkan a<sub>0</sub>=y<sub>o</sub> , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
 
p(x)=b<sub>3</sub>(x-x<sub>0</sub>)(x-x<sub>1</sub>)(x-x<sub>2</sub>)+b<sub>2</sub>(x-x<sub>0</sub>)(x-x<sub>1</sub>)+b<sub>1</sub>(x-x<sub>0</sub>)+b<sub>0</sub>
inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
 
p(x<sub>0</sub>)=b<sub>0</sub>
 
p(x<sub>1</sub>)=b<sub>1</sub>h<sub>1</sub>+b<sub>0</sub>
 
p(x<sub>2</sub>)=b<sub>2</sub>(h<sub>1</sub>+h<sub>2</sub>)h<sub>2</sub>+b<sub>1</sub>(h<sub>1</sub>+h<sub>2</sub>)+b<sub>0</sub>
 
p(x<sub>3</sub>)=b<sub>3</sub>(h<sub>1</sub>+h<sub>2</sub>+h<sub>3</sub>)(h<sub>2</sub>+h<sub>3</sub>)h<sub>3</sub>+b<sub>2</sub>(h<sub>1</sub>+h<sub>2</sub>+h<sub>3</sub>)(h<sub>2</sub>+h<sub>3</sub>)+b<sub>1</sub>(h<sub>1</sub>+h<sub>2</sub>+h<sub>3</sub>)+b<sub>0</sub>
 
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
 
=== Operator Refleksi ===
 
Berdasarkan operator ''T:R<sup>2</sup> -> R<sup>2</sup>'' yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan '''w'''=''T''('''x'''), maka persamaan yang berhubungan dengan '''x''' dan '''w''' adalah:
 
''x<sub>1</sub> = -x = -x + 0y''
 
''x<sub>2</sub> = y = 0x + y''
 
atau dalam bentuk matrik :
<math>\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}</math>
 
Secara umum, operator pada R<sup>2</sup> dan R<sup>3</sup> yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
 
 
=== Operator Proyeksi ===
 
Berdasarkan operator ''T:R<sup>2</sup> -> R<sup>2</sup>'' yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan '''w'''=''T''('''x'''), maka persamaan yang berhubungan dengan '''x''' dan '''w''' adalah:
 
''x<sub>1</sub> = x = x + 0y''
 
''x<sub>2</sub> = 0 = 0x + y''
 
atau dalam bentuk matrik :
<math>\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}</math>
 
Persamaan tersebut bersifat linier, maka ''T'' merupakan operator linier dan matrikx ''T'' adalah:
<math>\begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}</math>
 
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R<sup>2</sup> dan R<sup>3</sup> merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
 
 
=== Operator Rotasi ===
 
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R<sup>2</sup> melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R<sup>2</sup>. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan '''x''' dan '''w'''=''T''('''x'''), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke '''x''' dan ''r'' adalah jarak '''x''' dan '''w'''. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w<sub>1</sub> = r cos (ɵ + ɸ) ; w<sub>2</sub>= r sin (ɵ + ɸ)
 
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
 
w<sub>1</sub> = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
 
w<sub>2</sub> = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
 
kemudian disubtitusi sehingga:
 
w<sub>1</sub> = x cos Θ - y sin Θ
 
w<sub>2</sub> = x sin Θ + y cos Θ
 
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:
<math>\begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta\\ sin\Theta & cos\Theta\\ \end{bmatrix}</math>
 
=== Interpolasi Polinomial ===
----
 
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret ''n + 1'' di titik (x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)...., (x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva ''p(x) = a<sub>m</sub><math>x^m</math> + a<sub>m-1</sub><math>x^{m-1}</math> + ... + a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub>'' dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
 
 
<math>\begin{matrix}
{y_0}& = &a_mx_0^m &+& a_{m-1}x_0^{m-1} &+...+& a_1x_0 &+& a_0\\
{y_1}& = &a_mx_1^m &+& a_{m-1}x_1^{m-1} &+...+& a_1x_1 &+& a_0\\
\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots\\
{y_n}& = &a_mx_n^m &+& a_{m-1}x_n^{m-1} &+...+& a_1x_n &+& a_0\\
\end{matrix}</math>
 
 
karena x<sub>i</sub> diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^m\\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m\\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^m\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^m\\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
\vdots\\
a_{m-1}\\
a_m\\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
y_0\\
y_1\\
\vdots\\
y_{n-1}\\
y_n\\
\end{bmatrix}</math>
 
 
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana ''n = m''. Dengan menganggap ''n = m'' memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial ''p(x)'':
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\
\vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^n\\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
\vdots\\
a_{n-1}\\
a_n\\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
y_0\\
y_1\\
\vdots\\
y_{n-1}\\
y_n\\
\end{bmatrix}</math> (1)
 
 
Matrix di atas diketahui sebagai '''Matrix Vandermonde'''; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi '''Sistem Vandermonde'''.
 
 
Contoh soal:
 
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
 
Jawab:
 
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & x_0 & x_0^2 & x_0^3\\
1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3\\
1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3\\
1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3\\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
y_0\\
y_1\\
y_2\\
y_3\\
\end{bmatrix}</math>
 
 
Untuk data di atas, kita mempunyai
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1\\
1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 4 & 8\\
\end{bmatrix}</math><math>\begin{bmatrix}
a_0\\
a_1\\
a_2\\
a_3\\
\end{bmatrix}</math> = <math>\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
6\\
\end{bmatrix}</math>
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1 & 0\\
1 & 2 & 4 & 8 & 6\\
\end{bmatrix}</math>
 
 
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0 & 2 & 0\\
0 & 3 & 3 & 9 & 6\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 3 & 2\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 3 & 2\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 2 & 2\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke-4 dibagi dengan 2
 
 
<math>\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 & -1 & 0\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix}</math>
Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
 
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
 
<math>\begin{matrix}
a_0&+&a_1&+&a_2&+&a_3 &=&0\Longleftrightarrow a_0 = 0\\
& &a_1&-&a_2&+&a_3&=&0\Longleftrightarrow a_1 = -1\\
& & & &a_2& & &=&0\\
& & & & & &a_3&=&1\\
\end{matrix}</math>
 
 
Jadi, interpolasinya adalah ''<math>p(x) = x^3 - x\,</math>''
 
{{Aljabar linear}}
 
{{Bidang matematika}}
Baris 1.348 ⟶ 190:
[[Kategori:Persamaan matematika]]
[[Kategori:Persamaan]]
 
[[af:Lineêre algebra]]
[[ar:جبر خطي]]
[[bg:Линейна алгебра]]
[[bn:রৈখিক বীজগণিত]]
[[bs:Linearna algebra]]
[[ca:Àlgebra lineal]]
[[cs:Lineární algebra]]
[[da:Lineær algebra]]
[[de:Lineare Algebra]]
[[el:Γραμμική άλγεβρα]]
[[en:Linear algebra]]
[[eo:Lineara algebro]]
[[es:Álgebra lineal]]
[[eu:Aljebra lineal]]
[[fa:جبر خطی]]
[[fi:Lineaarialgebra]]
[[fr:Algèbre linéaire]]
[[gan:線性代數]]
[[gl:Álxebra lineal]]
[[he:אלגברה לינארית]]
[[hr:Linearna algebra]]
[[hu:Lineáris algebra]]
[[is:Línuleg algebra]]
[[it:Algebra lineare]]
[[ja:線型代数学]]
[[ka:წრფივი ალგებრა]]
[[ko:선형대수학]]
[[lt:Tiesinė algebra]]
[[mk:Линеарна алгебра]]
[[nl:Lineaire algebra]]
[[no:Lineær algebra]]
[[pl:Algebra liniowa]]
[[pms:Àlgebra linear]]
[[pt:Álgebra linear]]
[[ro:Algebră liniară]]
[[ru:Линейная алгебра]]
[[scn:Algibbra liniari]]
[[sh:Linearna algebra]]
[[simple:Linear algebra]]
[[sk:Lineárna algebra]]
[[sl:Linearna algebra]]
[[sq:Algjebra lineare]]
[[sr:Линеарна алгебра]]
[[sv:Linjär algebra]]
[[ta:நேரியல் இயற்கணிதம்]]
[[tg:Алгебраи хаттӣ]]
[[th:พีชคณิตเชิงเส้น]]
[[tr:Doğrusal cebir]]
[[uk:Лінійна алгебра]]
[[ur:لکیری الجبرا]]
[[vi:Đại số tuyến tính]]
[[yi:ליניארע אלגעברע]]
[[yo:Áljẹ́brà gbígbọrọ]]
[[zh:线性代数]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Aljabar_linear"