Aljabar linear numerik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k r2.5.1) (bot Menambah: de:Numerische lineare Algebra |
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. Tag: halaman dengan galat kutipan VisualEditor Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (17 revisi perantara oleh 10 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
'''Aljabar linear numerik''' adalah pengkajian [[
Persoalan yang lazim di dalam aljabar linear numerik di antaranya komputasi misalnya sebagai berikut: [[penguraian LU]], [[penguraian QR]], [[penguraian nilai singular]], [[nilai eigen]].
== Sejarah ==
Aljabar linier numerik dikembangkan oleh para pelopor komputer seperti [[John von Neumann]], [[Alan Turing]], [[James H. Wilkinson]], [[Alston Scott Householder]], [[George Forsythe]], dan [[Heinz Rutishauser]], dalam rangka untuk menerapkan komputer paling awal untuk masalah dalam matematika berkelanjutan, seperti masalah balistik dan solusi untuk sistem [[persamaan diferensial parsial]].<ref name=golubhist/> Upaya serius pertama untuk meminimalkan kesalahan komputer dalam penerapan algoritme pada data nyata adalah karya John von Neumann dan [[Herman Goldstine]] pada tahun 1947.<ref>{{cite journal |last1=von Neumann |first1=John |last2=Goldstine |first2=Herman H. |date=1947 |title=Numerical inverting of matrices of high order |url=https://pdfs.semanticscholar.org/503b/f08383134ce107d870982fc50f96b80881f7.pdf |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=53 |issue=11 |pages=1021–1099 |access-date=February 17, 2019 |doi=10.1090/s0002-9904-1947-08909-6 |archive-date=2019-02-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190218081952/https://pdfs.semanticscholar.org/503b/f08383134ce107d870982fc50f96b80881f7.pdf |dead-url=yes }}</ref> Bidang ini telah berkembang karena teknologi semakin memungkinkan para peneliti untuk memecahkan masalah kompleks pada matriks presisi tinggi yang sangat besar, dan beberapa algoritme numerik menjadi terkenal karena teknologi seperti komputasi paralel telah menjadikannya pendekatan praktis untuk masalah ilmiah.<ref name=golubhist/>
== Pengkondisian dan stabilitas ==
{{Main|Analisis numerik#Stabilitas numerik dan masalah yang diajukan dengan baik}}
Biarkan masalah adalah fungsi <math>f: X \to Y</math>, di mana '' X '' adalah [[ruang vektor]] data bernorma dan '' Y '' adalah [[ruang vektor bernorma]] solusi. Untuk beberapa titik data <math>x \in X</math>, masalah dikatakan tidak terkondisi jika gangguan kecil di '' x '' menghasilkan perubahan besar dalam nilai '' f(x) ''. Kita dapat mengukur ini dengan mendefinisikan [[jumlah kondisi]] yang mewakili seberapa baik masalah dikondisikan, didefinisikan sebagai
: <math>\widehat{\kappa} = \lim_{\delta \to 0} \sup_{\| \delta x \| \leq \delta} \frac{\| \delta f \|}{\| \delta x \|}</math>
Ketidakstabilan adalah kecenderungan algoritma komputer, yang bergantung pada [[aritmatika floating-point]], untuk menghasilkan hasil yang berbeda secara dramatis dari solusi matematika yang tepat untuk suatu masalah. Ketika matriks berisi data nyata dengan banyak [[digit signifikan]], banyak algoritma untuk memecahkan masalah seperti sistem persamaan linier atau pengoptimalan kuadrat terkecil dapat menghasilkan hasil yang sangat tidak akurat. Membuat algoritme yang stabil untuk masalah kondisi buruk merupakan perhatian utama dalam aljabar linear numerik. Salah satu contohnya adalah stabilitas triangularisasi perumah tangga membuatnya sangat merampok, sedangkan ketidakstabilan metode persamaan normal untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil adalah alasan untuk mendukung metode dekomposisi matriks seperti menggunakan dekomposisi nilai singular. Beberapa matriks tetapi memiliki modifikasi langsung yang membuatnya stabil; salah satu contohnya adalah Gram–Schmidt yang tidak stabil, yang dapat dengan mudah diubah untuk menghasilkan [[Proses Gram–Schmidt#Stabilitas numerik|stabilitas numerik]].<ref name=tb397/>{{rp|140}} Masalah klasik lainnya dalam aljabar linear numerik adalah temuan bahwa eliminasi Gaussian tidak stabil, tetapi menjadi stabil dengan diperkenalkannya pivoting.
== Metode berulang ==
{{Main|Metode iteratif}}
Ada dua alasan bahwa algoritme iteratif merupakan bagian penting dari aljabar linear numerik. Pertama, banyak masalah numerik penting yang tidak memiliki solusi langsung; untuk menemukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks sembarang, kita hanya dapat mengadopsi pendekatan iteratif. Kedua, algoritma noniteratif untuk sembarang <math>m \times m</math> matriks membutuhkan <math>O(m^3)</math> waktu, yang merupakan lantai yang sangat tinggi karena hanya berisi matriks <math>m^2</math> nomor. Pendekatan berulang dapat memanfaatkan beberapa fitur dari beberapa matriks untuk mengurangi waktu ini. Misalnya, jika matriks adalah [[Matriks renggang|rengga]], algoritme iteratif dapat melewati banyak langkah yang harus diikuti oleh pendekatan langsung, bahkan jika langkah-langkah tersebut berlebihan karena matriks yang sangat terstruktur.
Inti dari banyak metode iteratif dalam aljabar linear numerik adalah proyeksi matriks ke dimensi yang lebih rendah [[Subruang Krylov]], yang memungkinkan fitur matriks berdimensi tinggi didekati dengan menghitung secara iteratif fitur ekuivalen dari matriks serupa yang dimulai dari ruang berdimensi rendah dan berpindah secara berurutan. Ketika '' A '' simetris dan kita ingin menyelesaikan masalah linear '' Ax '' = '' b '', pendekatan iteratif klasiknya adalah [[metode gradien konjugasi]]. Jika '' A '' tidak simetris, maka contoh solusi iteratif untuk masalah linier adalah [[metode residual minimal tergeneralisasi]] dan [[Metode gradien konjugasi#Konjugasi gradien pada normal e|konjugasi gradien pada normal e]]. Jika '' A '' simetris, maka untuk menyelesaikan soal nilai eigen dan vektor eigen kita bisa menggunakan [[Algoritma Lanczos]], dan jika '' A '' non-simetris, maka kita bisa menggunakan [[iterasi Arnoldi]].
=== Matriks partisi ===
{{Main|Matriks blok}}
Untuk banyak masalah dalam aljabar linier terapan, akan berguna untuk mengadopsi perspektif matriks sebagai rangkaian vektor kolom. Misalnya, saat menyelesaikan sistem linear <math>x = A^{-1}b</math>, daripada memahami '' x '' sebagai produk dari <math>A^{-1}</math> dengan '' b '', akan membantu jika menganggap '' x '' sebagai vektor [[koefisien]] pada ekspansi linier ''b'' dalam [[Basis (aljabar linear)|basis]] yang dibentuk oleh kolom '' A ''.<ref name=tb397/>{{rp|8}} Memikirkan matriks sebagai rangkaian kolom juga merupakan pendekatan praktis untuk tujuan algoritma matriks. Ini karena algoritme matriks sering kali berisi dua loop bersarang: satu di atas kolom matriks '' A '', dan satu lagi di atas baris '' A ''. Misalnya untuk matriks <math>A^{m \times n}</math> dan vektor <math>x^{n \times 1}</math> and <math>y^{m \times 1}</math>, kita bisa menggunakan perspektif partisi kolom untuk menghitung ''Ax'' + ''y'' sebagai
<syntaxhighlight lang="Fortran">
for j = 1:n
for i = 1:m
y(i) = A(i,j)x(j) + y(i)
end
end
</syntaxhighlight>
== Lihat pula ==
* [[Analisis numerik]], di mana aljabar linear numerik adalah salah satu bidang kekhususannya
* [[Eliminasi gauss]],
* [[BLAS]] dan [[LAPACK]], pustaka komputer yang dioptimasi dengan baik yang menerapkan
* [[Daftar perangkat lunak analisis numerik]]
== Catatan ==
{{Reflist}}
== Referensi ==
* {{cite book
* {{Citation | last1=Bau III | first1=David | last2=Trefethen | first2=Lloyd N. | author2-link=Lloyd Nicholas Trefethen | title=Numerical linear algebra | publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics | location=Philadelphia | isbn=978-0-89871-361-9 | year=1997}}
== Pranala luar ==
{{Commonscat}}
* [http://www.netlib.org/utk/people/JackDongarra/la-sw.html Perangkat lunak yang tersedia bebas untuk aljabar numerik di web], ditulis oleh Jack Dongarra dan Hatem Ltaief, [[Universitas Tennessee]]
[[Kategori:Aljabar linear| ]]
| |||