Kalkulus vektor: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
kTidak ada ringkasan suntingan |
k clean up |
||
| (41 revisi perantara oleh 24 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{sect-stub}}
{{Kalkulus}}
'''Kalkulus Vektor''' (Bahasa Inggris: Vector Calculus) (atau sering disebut '''Analisis Vektor''') dalam [[matematika]] adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari [[vektor]] dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelesaikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.
== Ruang Lingkup ==
==
{{main|Vektor Euklides#Properti dasar}}
Operasi aljabar (non-diferensial) dalam kalkulus vektor disebut sebagai [[aljabar vektor]], didefinisikan untuk ruang vektor dan kemudian diterapkan secara global ke bidang vektor. Operasi aljabar dasar terdiri dari:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Notasi dalam kalkulus vektor
|-
!scope="col"|Operasi
!scope="col"|Notasi
!scope="col"|Deskripsi
|-
![[Penambahan vektor]]
|<math>\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2</math>
|Penjumlahan dua vektor, menghasilkan vektor.
|-
!scope="row"|[[Perkalian skalar]]
|<math>a \mathbf{v}</math>
|Perkalian skalar dan vektor, menghasilkan vektor.
|-
!scope="row"|[[Produk titik]]
|<math>\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2</math>
|Perkalian dua vektor, menghasilkan skalar.
|-
!scope="row"|[[Produk silang]]
|<math>\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2</math>
|Perkalian dua vektor pada <math>\mathbb R^3</math>, menghasilkan vektor (pseudo).
|}
Yang juga biasa digunakan adalah keduanya [[produk tiga kali lipat]]:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Hasil kali tiga kalkulus vektor
|-
!scope="col"|Operasi
!scope="col"|Notasi
!scope="col"|Deskripsi
|-
!scope="row"|[[Produk triple skalar]]
|<math>\mathbf{v}_1\cdot\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)</math>
|Produk titik dari perkalian silang dua vektor.
|-
!scope="row"|[[Produk triple vektor]]
|<math>\mathbf{v}_1\times\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)</math>
|Produk silang dari perkalian dua vektor.
|}
== Operator dan teorema ==
{{main|Identitas kalkulus vektor}}
===Operator diferensial===
{{main|Gradien|Perbedaan|Curl (matematika)|Laplacian}}
Kalkulus vektor mempelajari berbagai [[operator diferensial]] yang ditentukan pada bidang skalar atau vektor, yang biasanya dinyatakan dalam operator [[del]] (<math>\nabla</math>), juga dikenal sebagai "nabla". Tiga [[operator vektor]] dasar adalah:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Operator diferensial dalam kalkulus vektor
|-
!scope="col"|Operasi
!scope="col"|Notasi
!scope="col"|Deskripsi
!scope="col"|[[Notasi untuk diferensiasi#Notasi dalam kalkulus vektor|Notasional<br/>analogi]]
!scope="col"|Domain
|-
!scope="row"|[[Gradien]]
|<math>\operatorname{grad}(f)=\nabla f</math>
|Mengukur laju dan arah perubahan dalam bidang skalar.
|[[Perkalian skalar]]
|Memetakan bidang skalar ke bidang vektor.
|-
!scope="row"|[[Perbedaan]]
|<math>\operatorname{div}(\mathbf{F})=\nabla\cdot\mathbf{F}</math>
|Mengukur skalar sumber atau sink pada titik tertentu dalam bidang vektor.
|[[Produk titik]]
|Memetakan bidang vektor ke bidang skalar.
|-
!scope="row"|[[Kurl (matematika)|Kurl]]
|<math>\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla\times\mathbf{F}</math>
|Mengukur kecenderungan untuk memutar di sekitar titik dalam bidang vektor di <math>\mathbb R^3</math>.
|[[Produk silang]]
|Maps vector fields to (pseudo)vector fields.
|-
!scope="row" colspan=5|<math>f</math> menunjukkan bidang skalar dan <math>F</math> menunjukkan bidang vektor
|}
Yang juga umum digunakan adalah dua operator Laplace:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Operator Laplace dalam kalkulus vektor
|-
!scope="col"|Operasi
!scope="col"|Notasi
!scope="col"|Deskripsi
!scope="col"|Domain / Rentang
|-
!scope="row"|[[Operator Laplace|Laplacian]]
|<math>\Delta f=\nabla^2 f=\nabla\cdot \nabla f</math>
|Mengukur selisih antara nilai bidang skalar dengan rata-ratanya pada bola yang sangat kecil.
|Peta antar bidang skalar.
|-
!scope="row"|[[Vektor Laplacian]]
|<math>\nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})</math>
|Mengukur selisih antara nilai bidang vektor dengan rata-ratanya pada bola yang sangat kecil.
|Peta antar bidang vektor.
|-
!scope="row" colspan=4|<math>f</math> menunjukkan bidang skalar dan <math>F</math> menunjukkan bidang vektor
|}
Kuantitas yang disebut [[matriks dan determinan Jacobian|matriks Jacobian]] berguna untuk mempelajari fungsi ketika domain dan rentang fungsi tersebut multivariabel, seperti [[perubahan variabel]] selama integrasi.
===Teorema integral===
Tiga operator vektor dasar memiliki teorema yang sesuai yang menggeneralisasi [[teorema dasar kalkulus]] ke dimensi yang lebih tinggi:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Teorema integral kalkulus vektor
|-
!scope="col"| Teorema
!scope="col"| Pernyataan
!scope="col"| Deskripsi
|-
!scope="row"| [[Teorema gradien]]
| <math> \int_{L \subset \mathbb R^n}\!\!\! \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} \ =\ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)\ \ \text{ for }\ \ L = L[p\to q] </math>
| [[Garis integral]] dari gradien bidang skalar di atas [[kurva]] ''L'' sama dengan perubahan bidang skalar antara titik-titik akhir ''p'' dan ''q'' dari kurva.
|-
!scope="row"| [[Teorema divergensi]]
| <math> \underbrace{ \int \!\cdots\! \int_{V \subset \mathbb R^n} }_{n} (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV
\ = \ \underbrace{ \oint \!\!\cdots\! \oint_{\!\!\!\!\partial V} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} </math>
| Integral dari divergensi bidang vektor di atas sebuah {{mvar|n}}-dimensi padat ''V'' sama dengan [[fluks]] dari bidang vektor melalui {{math|(''n''−1)}}-dimensi permukaan batas tertutup dari padatan.
|-
!scope="row"| [[Teorema Kelvin-Stokes|Teorema Curl (Kelvin–Stokes)]]
| <math> \iint_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{\Sigma} \ =\ \oint_{\!\!\!\!\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} </math>
| Integral dari lengkungan bidang vektor di atas [[Permukaan (topologi)|permukaan]] Σ dalam <math>\mathbb R^3</math> sama dengan sirkulasi bidang vektor di sekitar kurva tertutup yang membatasi permukaan.
|-
!scope="row" colspan=5|<math>\varphi</math> denotes a scalar field and <math>F</math> denotes a vector field
|}
Dalam dua dimensi, teorema divergensi dan keriting tereduksi menjadi teorema Green:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Teorema Green untuk kalkulus vektor
|-
! scope="col"| Teorema
! scope="col"| Pernyataan
! scope="col"| Deskripsi
|-
!scope="row"| [[Teorema Green]]
| <math> \iint_{A\,\subset\mathbb R^2} \left (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA \ =\ \oint_{\!\!\!\!\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right ) </math> || Integral dari divergensi (atau lengkungan) bidang vektor di beberapa wilayah ''A'' <math>\mathbb R^2</math> sama dengan fluks (atau sirkulasi) bidang vektor di atas kurva tertutup yang membatasi daerah tersebut.
|-
!scope="row" colspan=5|Untuk divergensi, <math>F=(M,-L)</math>. Untuk ikal, <math>F=(L,M,0)</math>. L dan M adalah fungsi dari (x, y).
|}
== Nabla ==
Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai <math>\nabla</math>.
Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu:
* [[Gradien]]
* [[Divergensi]]
* [[Curl]]
* [[Laplacian]]
== Lihat pula ==
{{Div col|colwidth=20em}}
* [[Analisis kurva nilai vektor]]
* [[Fungsi bernilai nyata]]
* [[Fungsi variabel nyata]]
* [[Fungsi dari beberapa variabel nyata]]
* [[Identitas kalkulus vektor]]
* [[Hubungan aljabar vektor]]
* [[Del dalam koordinat tabung dan bola]]
* [[Turunan arah]]
* [[Bidang vektor konservatif]]
* [[Bidang vektor solenoida]]
* [[Bidang vektor Laplacian]]
* [[Dekomposisi Helmholtz]]
* [[Koordinat ortogonal]]
* [[Koordinat kemiringan]]
* [[Koordinat Lengkungan]]
* [[Tensor]]
{{Div col end}}
[[Kategori:Kalkulus]]
| |||