Kaidah Simpson: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: kemungkinan IP LTA VisualEditor |
|||
| (19 revisi perantara oleh 13 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{short description|Metode untuk integrasi numerik}}
{{Use dmy dates|date=January 2020}}
{{Periksa terjemahan|en|Simpson's rule}}
[[Berkas:simpsons method illustration.png|jmpl|ka|Kaidah Simpson dapat diturunkan dengan menghampiri integran <math>f(x)</math> (<span style="color:blue;">biru</span>) dengan interpolasi kuadratik <math>P(x)</math> (<span style="color:red;">merah</span>).]]
[[File:Simpson's One-Third Rule.gif|thumb|right|Animasi yang menunjukkan bagaimana kaidah Simpson menghampiri fungsi dengan parabola, dan bagaimana proses penurunan galat dapat diraih dengan mengecilkan panjang langkah]]
Dalam [[analisis numerik]], '''kaidah Simpson''' atau '''aturan Simpson''' adalah salah satu metode untuk mencari [[Penghampiran|hampiran]] numerik dari [[integral tentu]]. Metode ini berasal dari matematikawan [[Thomas Simpson]] (1710 – 1761), yang berasal dari Leicestershire, [[Inggris]]. Kaidah ini dinamai dengan kaidah tong dalam bahasa Jerman dan beberapa bahasa lainnya, lantaran [[Johannes Kepler]] berhasil menurunkan rumus ini pada tahun 1615 setelah melihat rumus ini digunakan pada tong anggur.{{Citation needed}} Kaidah Simpson merupakan dua kasus spesial dari [[rumus Newton-Cotes]] tertutup.
Salah satu penerapan kaidah Simpson adalah dalam [[arsitektur perkapalan]] untuk menghitung kapasitas kapal atau sekoci.<ref>
{{cite book
| author = McCall Pate ==
== Salah satu perumusan paling sederhana dari kaidah ini adalah '''kaidah Simpson 1/3''', yaitu : ==
:<math> \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b - a}{6} \left( f(a) + 4 \, f \left( \frac{a + b}{2} \right) + f(b) \right)</math>
Jika didefinisikan variabel <math>h = \dfrac{b - a}{2}</math> yang disebut panjang langkah{{Citation needed}}, maka kaidah Simpson 1/3 dapat dinyatakan sebagai
:<math> \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left( f(a) + 4 \, f\left( a + h \right) + f(a + 2h) \right)</math>
Nilai hampiran di atas akan berubah menjadi eksak apabila fungsi <math>f</math> merupakan [[polinomial]] yang berderajat 3 atau kurang.
=== Penurunan Rumus ===
==== Interpolasi Kuadratik ====
Kaidah Simpson didasarkan pada interpolasi kuadratik yang dikonstruksikan dari titik <math>\left\{ (a, \, f(a)), \, \left( \frac{a \, + \, b}{2}, \, f \left( \frac{a \, + \, b}{2} \right) \right), \, (b, \, f(b)) \right\}</math>. Dengan menggunakan [[Polinomial Lagrange|interpolasi polinomial Lagrange]], maka diperoleh
:<math>\int_a^b f(x) \, \text{d} x \approx \int_a^b \left( f(a) \, \dfrac{\left( x - \frac{a \, + \, b}{2} \right) (x - b)}{\left( a - \frac{a \, + \, b}{2} \right) (a - b)} + f \left( a - \frac{a \, + \, b}{2} \right) \, \dfrac{(x - a)(x - b)}{\left( \frac{a \, + \, b}{2} - a \right) \left( \frac{a \, + \, b}{2} - b \right)} + f(b) \, \dfrac{(x - a) \left( x - \frac{a \, + \, b}{2} \right)}{(b - a) \left( b - \frac{a \, + \, b}{2} \right)} \right) \text{d} x </math>
Dengan menggunakan teknik [[integral substitusi]], maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa
* <math>\int_a^b \dfrac{\left( x - \frac{a \, + \, b}{2} \right) (x - b)}{\left( a - \frac{a \, + \, b}{2} \right) (a - b)} \, \text{d} x = \dfrac{b - a}{6}</math>
* <math>\int_a^b \dfrac{(x - a)(x - b)}{\left( \frac{a \, + \, b}{2} - a \right) \left( \frac{a \, + \, b}{2} - b \right)} \, \text{d} x = \dfrac{2}{3} \left( b - a \right)</math>
* <math>\int_a^b \dfrac{(x - a) \left( x - \frac{a \, + \, b}{2} \right)}{(b - a) \left( b - \frac{a \, + \, b}{2} \right)} \, \text{d} x = \dfrac{b - a}{6}</math>
Apabila hasil di atas dituliskan dalam variabel <math>h = \dfrac{b - a}{2}</math>, maka didapatkan
:<math> \int_a^b f(x) \, \text{d} x \approx \frac{h}{3} \left( f(a) + 4 \, f(a + h) + f(a + 2h) \right)</math>
Keberadaan faktor <math>\dfrac{1}{3}</math> pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai '''kaidah Simpson 1/3'''
====
Dengan menebak bahwa
:<math> \dfrac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx \approx C_1 \, f(a) + C_2 \, f \left( \frac{a + b}{2} \right) + C_3 f(b) </math>
maka nilai koefisien <math>C_1, \, C_2, \, C_3</math> di atas dapat diperoleh dengan mensyaratkan nilai hampiran di ruas kanan menjadi nilai eksak apabila fungsi <math>f(x)</math> merupakan [[fungsi kuadrat]]. Oleh karena nilai <math>b - a \neq 0</math>, maka sistem persamaan yang dihasilkan memiliki penyelesaian yang tunggal, yaitu
:<math>\begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/6 \\ 2/3 \\ 1/6 \end{bmatrix}</math>
Pembuktian ini pada dasarnya adalah versi tak formal dari pembuktian interpolasi Lagrange, lantaran bentuk umum hampirannya ditebak di awal pembuktian.
===
[[Image:simpsonsrule2.gif|thumb|right|Animasi yang menunjukkan bagaimana hampiran kaidah Simpson akan semakin akurat apabila jumlah [[Partisi selang|partisi]]nya diperbanyak.]]
Galat dari hampiran integral menggunakan kaidah Simpson adalah
:<math>- \frac{1}{90} \left(\frac{b - a}{2}\right)^5 f^{(4)} ( \xi )</math>
dengan <math>a < \xi < b</math>.<ref>Atkinson, equation (5.1.15); Süli and Mayers, Theorem 7.2</ref>
Perhatikan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebanding dengan <math>(b - a)^5</math>. Akan tetapi, penurunan rumus kaidah Simpson menunjukkan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebenarnya sebanding terhadap <math>(b - a)^4</math>. Orde tambahan ini diperoleh karena kaidah Simpson menggunakan titik-titik berjarak sama pada domain integrasi <math>[a, \, b]</math>.
Oleh karena galatnya sebanding dengan turunan keempat dari fungsi <math>f</math> pada titik <math>x = \xi</math>, maka kaidah Simpson 1/3 akan memberikan hasil eksak apabila fungsi <math>f</math> merupakan polinomial berderajat tiga atau kurang, sebab turunan keempat dari fungsi <math>f</math> adalah nol pada setiap titik.
=== Kaidah Simpson 1/3 Komposit ===
Jika domain integrasi <math>[a, \, b]</math> cukup "kecil" (dalam artian, fungsi yang akan diintegralkan relatif mulus pada interval <math>[a, \, b]</math>), maka kaidah Simpson dengan <math>n = 2</math> subinterval akan memberikan hampiran yang cukup dekat dengan nilai eksak integralnya. Untuk fungsi yang seperti itu, interpolasi kuadratik seperti yang digunakan dalam aturan Simpson akan memberikan hasil yang baik.
Akan tetapi, terkadang ditemukan kasus dimana fungsi yang akan diintegralkan tidaklah mulus pada interval yang diberikan. Biasanya, ini artinya fungsinya sangat berosilasi atau tidak memiliki turunan pada beberapa titik. Pada kasus-kasus tersebut, kaidah Simpson akan memberikan hasil yang buruk. Salah satu cara untuk menangani masalah ini adalah mempartisi interval <math>\left[ a, \, b \right]</math> menjadi <math>2n</math> subinterval yang sama panjangnya, lalu terapkan kaidah Simpson pada setiap subinterval. Nilai hampiran integralnya diperoleh dengan menjumlahkan hasil hampiran kaidah Simpson pada setiap subinterval. Pendekatan ini disebut sebagai '''kaidah Simpson 1/3 komposit''', atau '''kaidah Simpson komposit''' saja.{{Citation needed}}
Misalkan interval <math>[a, \, b]</math> dipartisi menjadi <math>2n</math> subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel <math>h</math> menyatakan panjang dari partisi <math>[a, \, b]</math>, maka didapatkan <math>h = \dfrac{b \, - \, a}{2n}</math>. Andaikan titik partisinya ialah <math>\left\{ x_0, \, x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_{2n} \right\}</math>, maka diperoleh persamaan <math>x_i - x_{i \, - \, 1} = h</math>. Sehingga,
<math display="block">\begin{align}
\int_a^b f(x) \, dx &= \int_{x_0}^{x_2} f(x) \, dx + \int_{x_2}^{x_4} f(x) \, dx + \, \ldots \, + \int_{x_{2n - 2}}^{x_{2n}} f(x) \, dx \\
\int_a^b f(x) \, dx &\approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4 \, f(x_1) + f(x_2) \right) + \frac{h}{3} \left( f(x_2) + 4 \, f(x_3) + f(x_4) \right) + \, \ldots \, + \frac{h}{3} \left( f(x_{2n - 2}) + 4 \, f(x_{2n - 1}) + f(x_{2n}) \right) \\
&\approx \frac{h}{3} \sum_{i \, = \, 1}^{n} \left( f(x_{2i - 2}) + 4 \, f(x_{2i - 1}) + f(x_{2i}) \right) \\
&\ldots \\
\int_a^b f(x) \, dx &\approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4 \, f(x_1) + f(x_2) \right) + \frac{h}{3} \left( f(x_2) + 4 \, f(x_3) + f(x_4) \right) + \, \ldots \, + \frac{h}{3} \left( f(x_{2n - 2}) + 4 \, f(x_{2n - 1}) + f(x_{2n}) \right) \\
&\approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4 \, f(x_1) + f(x_2) + f(x_2) + 4 \, f(x_3) + f(x_4) + \, \ldots \, + f(x_{2n - 2}) + 4 \, f(x_{2n - 1}) + f(x_{2n}) \right) \\
&\approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4 \, f(x_1) + 2 \, f(x_2) + 4 \, f(x_3) + 2 \, f(x_4) + \, \ldots \, + 2 \, f(x_{2n - 2}) + 4 \, f(x_{2n - 1}) + f(x_{2n})\right) \\
&\approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4 \, \sum_{i \, = \, 1}^n f(x_{2i - 1}) + 2 \, \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} f(x_{2i}) + f(x_{2n}) \right)
\end{align}</math>
Jika dipilih <math>n = 1</math>, maka kaidah Simpson komposit akan menjadi kaidah Simpson 1/3 biasa.
Dalam penerapan nya, seringkali lebih menguntungkan apabila digunakan panjang interval yang berbeda, dan fokus pada lokasi dimana fungsinya kurang "berperilaku baik". Metode ini akan mengarah ke [[Metode Simpson adaptif]].
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|'''Contoh implementasi menggunakan [[Python (bahasa pemrograman)|Python]]'''
|-
|<syntaxhighlight lang="python">
import math
import numpy as np
def f(x) :
return math.cos(x) #mencari integral fungsi y = cos(x)
def aturan_simpson(a, b, n):
if n % 2 != 0 :
print("nilai n haruslah genap")
else :
h = (b - a) / n
x = np.linspace(a, b, n+1)
y = []
for i in range(0, n+1) :
y.append(f(a + i*h))
return h/3 * (y[0] + 4*np.sum(y[1:-1:2]) + 2*np.sum(y[2:-1:2]) + y[-1])
</syntaxhighlight>
|}
==== Galat ====
Nilai galat yang dihasilkan dari kaidah Simpson komposit ialah
:<math>- \frac{1}{180} h^4 (b - a) f^{(4)} (\xi)</math>
dimana <math>a < \xi < b</math> dan <math>h = \dfrac{b - a}{2n}</math> adalah "panjang langkah".{{sfn|Atkinson|1989|pp=257{{ndash}}258}}{{sfn|Süli|Mayers|2003|loc=§7.5}} Ukuran galatnya diperoleh dari
:<math>\frac{1}{180} h^4 (b - a) \cdot \sup_{\xi \, \in \, [a, \, b]} \left| f^{(4)} (\xi) \right|</math>
== Kaidah Simpson 3/8 ==
Kaidah Simpson 3/8, disebut juga Kaidah kedua Simpson, adalah metode lain untuk melakukan pengintegralan numerik yang diajukan oleh Thomas Simpson. Metode ini didasari oleh interpolasi kubik yang dikonstruksikan dari titik <math>\left\{ (a, \, f(a)), \, \left( \frac{2a + b}{3}, \, f \left( \frac{a + 2b}{3} \right) \right), \, (b, \, f(b)) \right\}</math>. Secara matematis, kaidah Simpson 3/8 dapat dinyatakan sebagai berikut:
<math display="block">\begin{align}
\int_a^b f(x)\, dx &\approx \frac{b - a}{8} \left( f(a) + 3 \, f \left( \frac{2a + b}{3} \right) + 3 \, f \left( \frac{a + 2b}{3} \right) + f(b) \right) \\
&= \frac{3}{8} h \, \left( f(a) + 3 \, f \left( a + h \right) + 3 \, f \left( a + 2h \right) + f(a + 3h) \right)
\end{align}</math>
dengan <math>h = (b - a)/3</math> sebagai panjang langkah. Keberadaan faktor <math>\dfrac{3}{8}</math> pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai '''kaidah Simpson 3/8'''
=== Galat ===
Galat yang dihasilkan melalui kaidah Simpson 3/8 ialah
<math display="block">- \frac{3}{80} h^5 f^{(4)} (\xi) = - \frac{(b - a)^5}{6480} f^{(4)} (\xi)</math>
dimana <math>a < \xi < b</math>. Sehingga, kaidah Simpson 3/8 dua kali lebih akurat daripada kaidah Simpson 1/3, namun metode ini memerlukan perhitungan nilai fungsi pada titik yang lebih banyak.
=== Kaidah Simpson 3/8 Komposit ===
Apabila interval <math>[a, \, b]</math> dipartisi menjadi <math>3n</math> subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel <math>h</math> menyatakan panjang dari partisi <math>[a, \, b]</math>, maka didapatkan <math>h = \dfrac{b \, - \, a}{3n}</math>. Andaikan titik partisinya ialah <math>\left\{ x_0, \, x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_{3n} \right\}</math>, maka diperoleh persamaan <math>x_i - x_{i \, - \, 1} = h</math>. Sehingga,
<math display="block">\begin{align}
\int_a^b f(x) \, dx &= \int_{x_0}^{x_3} f(x) \, dx + \int_{x_3}^{x_6} f(x) \, dx + \, \ldots \, + \int_{x_{3n - 3}}^{x_{3n}} f(x) \, dx \\
&\approx \frac{3}{8} h \, \left( f(x_0) + 3 \, f(x_1) + 3 \, f(x_2) + f(x_3) \right) + \frac{3}{8} h \, \left( f(x_3) + 3 \, f(x_4) + 3 \, f(x_5) + f(x_6) \right) + \, \ldots \, + \frac{3}{8} h \, \left( f(x_{3n - 3}) + 3 \, f(x_{3n - 2}) + 3 \, f(x_{3n - 1}) + f(x_{3n}) \right) \\
&\approx \frac{3}{8} h \, \sum_{i \, = \, 1}^{n} \left( f(x_{3i - 3}) + 3 \, f(x_{3i - 2}) + 3 \, f(x_{3i - 1}) + f(x_{3i}) \right) \\
&\ldots \\
\int_a^b f(x) \, dx &\approx \frac{3}{8} h \, \left( f(x_0) + 3 \, f(x_1) + 3 \, f(x_2) + f(x_3) \right) + \frac{3}{8} h \, \left( f(x_3) + 3 \, f(x_4) + 3 \, f(x_5) + f(x_6) \right) + \, \ldots \, + \frac{3}{8} h \, \left( f(x_{3n - 3}) + 3 \, f(x_{3n - 2}) + 3 \, f(x_{3n - 1}) + f(x_{3n}) \right) \\
&\approx \frac{3}{8} h \, \left( f(x_0) + 3 \, f(x_1) + 3 \, f(x_2) + f(x_3) + f(x_3) + 3 \, f(x_4) + 3 \, f(x_5) + f(x_6) + \, \ldots \, + f(x_{3n - 3}) + 3 \, f(x_{3n - 2}) + 3 \, f(x_{3n - 1}) + f(x_{3n}) \right) \\
&\approx \frac{3}{8} h \, \left( f(x_0) + 3 \, f(x_1) + 3 \, f(x_2) + 2 \, f(x_3) + 3 \, f(x_4) + 3 \, f(x_5) + 2 \, f(x_6) + \, \ldots \, + 2 \, f(x_{3n - 3}) + 3 \, f(x_{3n - 2}) + 3 \, f(x_{3n - 1}) + f(x_{3n}) \right) \\
&\approx \frac{3}{8} h \, \left( f(x_0) + 3 \, \sum_{k \, = \, 1 , \ 3 \, \nmid \, k}^n f(x_k) + 2 \, \sum_{i \, = \, 1}^{n - 1} f(x_{3i}) + f(x_{3n}) \right)
\end{align}</math>
Jika dipilih <math>n = 1</math>, maka kaidah Simpson 3/8 komposit akan menjadi kaidah Simpson 3/8 biasa.
== Lihat juga ==
* [[Rumus Newton–Cotes]]
* [[Kuadratur Gauss]]
== Catatan ==
{{Reflist|30em}}
== Referensi ==
* {{en}} {{cite book
| last = Atkinson
| first = Kendall E.
| year = 1989
| title = An Introduction to Numerical Analysis
| trans-title = Pengantar Analisis Numerik
| lang = en
| edition = 2nd
| publisher = John Wiley & Sons
| isbn = 0-471-50023-2}}
* {{en}} {{cite book
| last1 = Burden
| first1 = Richard L.
| last2 = Faires
| first2 = J. Douglas
| year = 2000
| title = Numerical Analysis
| trans-title = Analisis Numerik
| lang = en
| edition = 7th
| publisher = Brooks/Cole
| isbn = 0-534-38216-9
| url-access = registration
| url = https://archive.org/details/numericalanalysi0000burd
| ref = none}}
* {{en}} {{cite journal
| last1 = Cartwright
| first1 = Kenneth V.
| date = September 2017
| title = Simpson’s Rule Cumulative Integration with MS Excel and Irregularly-spaced Data
| trans-title = Pengintegralan Kumulatif Kaidah Simpson dengan MS Excel dan Data dengan Karak tak Beraturan
| lang = en
| url = http://www.msme.us/2017-2-1.pdf
| journal = Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education
| volume = 12
| issue = 2
| pages = 1{{ndash}}9
| access-date = December 18, 2022}}
* {{en}} {{cite journal
| last1 = Kalambet
| first1 = Yuri
| last2 = Kozmin
| first2 = Yuri
| last3 = Samokhin
| first3 = Andrey
| date = 2018
| title = Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks
| trans-title = Perbandingan kaidah pengintegralan pada kasus puncak kromatografi yang sangat sempit
| lang = en
| journal = Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems
| volume = 179
| pages = 22–30
| doi = 10.1016/j.chemolab.2018.06.001
| issn = 0169-7439}}
* {{en}} {{cite web
| last = Matthews
| first = John H.
| url = http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/Simpson38RuleMod.html
| title = Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration
| trans-title = Kaidah Simpson 3/8 untuk Pengintegralan Numerik
| lang = en
| work = Numerical Analysis - Numerical Methods Project
| publisher = California State University, Fullerton
| access-date = November 11, 2008
| year = 2004
| url-status = dead
| archive-url = https://web.archive.org/web/20081204012519/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/Simpson38RuleMod.html
| archive-date = December 4, 2008}}
* {{en}} {{cite web
| last1 = Kaw
| first1 = Autar
| last2 = Kalu
| first2 = Egwu
| year = 2022
| title = Numerical Methods with Applications
| trans-title = Metode Numerik beserta Penerapan
| lang = en
| url = https://nm.mathforcollege.com/NumericalMethodsTextbookUnabridged/}}.
* {{en}} {{cite journal
| last1 = Shklov
| first1 = N.
| title = Simpson's Rule for Unequally Spaced Ordinates
| trans-title = Kaidah Simpson untuk Ordinat yang berjarak tak sama
| lang = en
| journal = The American Mathematical Monthly
| date = December 1960
| volume = 67
| issue = 10
| pages = 1022{{ndash}}1023
| doi = 10.2307/2309244
| jstor = 2309244}}
* {{en}} {{cite book
| last1 = Süli
| first1 = Endre
| last2 = Mayers
| first2 = David
| year = 2003
| title = An Introduction to Numerical Analysis
| trans-title = Pengantar Analisis Numerik
| lang = en
| publisher = Cambridge University Press
| isbn = 0-521-00794-1}}
* {{MathWorld
| id = Newton-CotesFormulas
| title = Newton-Cotes Formulas
| access-date = December 14, 2022}}
== Pranala luar ==
* {{en}}[http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/SimpsonsRuleMod.html Kaidah Simpson untuk Pengintegralan Numerik]
* {{en}}[https://web.archive.org/web/20071018044811/http://earthfilling.googlepages.com/Earthwork_volume.htm Penerapan kaidah Simpson - Earthwork Excavation]
* {{en}}{{springer|title=Simpson formula|id=p/s085450}}
* {{en}}{{mathworld|urlname=SimpsonsRule|title=Simpson's Rule}}
* {{en}}[https://nm.mathforcollege.com/NumericalMethodsTextbookUnabridged/chapter-07.03-simpsons-13rd-rule-of-integration.html Kaidah Simpson 1/3 untuk pengintegralan] pada [https://nm.mathforcollege.com Holistic Numerical Methods] (Metode Numerik Holistik)
* {{en}}Penjelasan rinci tentang implementasi komputer dijelaskan oleh Dorai Sitaram dalam ''Teach Yourself [[Scheme (bahasa pemrograman)|Scheme]] in Fixnum Days'', [http://www.ccs.neu.edu/home/dorai/t-y-scheme/t-y-scheme-Z-H-22.html#node_chap_C Appendix C] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180317025833/http://www.ccs.neu.edu/home/dorai/t-y-scheme/t-y-scheme-Z-H-22.html#node_chap_C |date=2018-03-17 }}
* {{en}}[http://www.blikbit.com/article/44 Program dalam bahasa C untuk mengimplementasikan kaidah Simpson] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110708013345/http://www.blikbit.com/article/44 |date=2011-07-08 }}
{{PlanetMath attribution|id=6518|title=Code for Simpson's rule}}
{{DEFAULTSORT:Kaidah Simpson}}
[[Kategori:Kalkulus integral]]
[[Kategori:Analisis numerik]]
[[Category:Numerical integration (quadrature)]]
[[Category:Articles with example Python (programming language) code]]
| |||