Mekanika statistika: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Bramayudha (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20231209)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
| (24 revisi perantara oleh 17 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{mekanika klasik|cTopic=cabang}}
'''Mekanika statistika''' adalah aplikasi [[teori probabilitas]], yang memasukkan [[matematika]] untuk menangani populasi besar, ke bidang [[mekanika]], yang menangani gerakan [[partikel]] atau objek yang dikenai suatu [[gaya (fisika)|gaya]]. Bidang ini memberikan kerangka untuk menghubungkan sifat mikroskopis [[atom]] dan [[molekul]] individu dengan sifat makroskopis atau limbak (''bulk'') materi yang diamati sehari-hari, dan menjelaskan [[termodinamika]] sebagai produk alami dari [[statistika]] dan [[mekanika]] (klasik dan kuantum) pada tingkat mikroskopis. Mekanika statistika khususnya dapat digunakan untuk menghitung sifat termodinamika materi limbak berdasarkan data [[spektroskopi]]s dari molekul individual.
Kemampuan untuk membuat prediksi makroskopis berdasarkan sifat mikroskopis merupakan kelebihan utama mekanika statistika terhadap termodinamika. Kedua teori diatur oleh [[hukum kedua termodinamika]] melalui media [[entropi]]. Meskipun demikian, entropi dalam termodinamika hanya dapat diketahui secara [[empiris]], sedangkan dalam mekanika statistika, entropi merupakan fungsi distribusi sistem pada kondisi mikro.
== Pendahuluan ==
Masalah mendasar Termodinamika Statistik adalah untuk menghitung sejumlah distribusi energi yang diberikan '' E'' dari'' N'' pada sistem yang identik.<ref>{{cite book
== Dasar-Dasar ==
Topik utama yang tercakup dalam termodinamika statistik meliputi:
Baris 23 ⟶ 24:
Terakhir, dan yang paling penting adalah defenisi entropi dari suatu [[sistem termodinamika]] dari perspektif [[statistika]] disebut [[entropi statistika]], dan dididefenisikan sebagai:
:<math>S = k_B \ln \Omega \!</math>
di mana
:''k<sub>B</sub>'' adalah [[
:''<math>\Omega \!</math>'' adalah jumlah [[keadaan mikro (mekanika statistika)|keadaan mikro]] sesuai dengan keadaan makro termodinamika yang diamati
Baris 33 ⟶ 34:
:<math> n_i \propto \exp\left(-\frac {U_i}{k_B T}\right), \,</math>
Jika ''N'' adalah jumlah total partikel atau keadaan, distribusi kerapatan probabilitas:
Baris 40 ⟶ 41:
\rho _i \equiv \frac {n_i}{N} = \frac {\exp\left(-\frac {U_i}{k_B T}\right)} { \sum_j \exp\left(-\frac {U_j}{k_B T}\right)},
</math>
== Sejarah ==
Pada Tahun 1738, seorang ilmuan Fisika dan Matematika dari Swiss yang bernama [[Daniel Bernoulli]] mempublikasi sebuah dasar bagi teori kinetik gas yang disebut dengan Hydrodynamica. Dalam publikasinya ini, Bernouli mengemukakan
Hasil
== Postulat Dasar ==
Postulat dasar dalam mekanika statistika (juga dikenal sebagai ''postulat probabilitas apriori'') adalah
Baris 67 ⟶ 68:
Fungsi informasi ini sama dengan ''fungsi pengurangan entropi'' dalam termodinamika.
Mark Srednicki berpendapat bahwa postulat dasar dapat diturunkan hanya dengan dugaan Berry (nama belakang [[Michael Berry (physicist)|Michael Berry]]) berlaku untuk sistem yang bersangkutan.
Berry’s conjecture and information theory." [http://pre.aps.org/abstract/PRE/v56/i2/p2254_1 Physical Review E 56, 2254 (1997)]. ''ArXiv pre-print'': [http://arxiv.org/abs/chao-dyn/9703014 chao-dyn/9703014]</ref>
== Ensembel Statistika ==
Perumusan modern mekanika statistik didasarkan pada deskripsi dari sistem fisik oleh sebuah [[Statistical ensemble (mathematical physics)|ensemble]] yang mewakili semua konfigurasi yang mungkin dari sistem dan probabilitas untuk mewujudkan konfigurasi masing-masing.
Tiap Ansambel terkait dengan [[partition function (statistical mechanics)|partition function]], dengan manipulasi matematis, dapat digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai dari sifat termodinamika suatu sistem. Menurut hubungan sistem untuk seluruh alam semesta, salah satu dari tiga jenis
* Ansambel Microcanonic: membahas sebuah sistem
* Canonic: membahas sebuah sistem dalam kesetimbangan termal dengan lingkungannya. Hanya dapat bertukar energi dalam bentuk panas dengan lingkungan.
* Grand-canonic: Digunakan dalam sistem terbuka yang memungkinkan adanya pertukaran energi dan massa dengan lingkungan.
* Isoterm Isobar
<center>
Baris 107 ⟶ 108:
|} </Center>
=== Ensembel Microcanonic ===
{{Main|Microcanonical ensemble}}
Dalam ansambel microcanonical, N, V, dan E dalam keadaan tetap. Sejak [[hukum kedua termodinamika]] berlaku untuk sistem terisolasi, kasus pertama yang diselidiki akan sesuai dengan kasus ini. Pada intinya ansambel Microcanonical dibahas suatu sistem yang terisolasi.
[[entropi]] suatu sistem memiliki kecenderungan untuk terus meningkat, sehingga entropi maksimum akan bergantung pada kesetimbangan termodinamika
Karena sebuah sistem yang terisolasi memiliki energi yang konstan, total energi dari sistem tidak mengalami fluktuasi. Dengan demikian, sistem hanya
Mari kita sebut <math>\Omega(E)</math> jumlah keadaan mikrostate yang menyatakan nilai energi pada sistem. Keadaan makroskopik entropi maksimal untuk sistem adalah keadaan di mana semua keadaan mikrostate sama-sama mungkin terjadi, dengan probabilitas <math>{1/{\omega (E)}} </math>, selama fluktuasi sistem.
Baris 120 ⟶ 121:
S=-k_B\sum_{i=1}^{\Omega (E)} \left \{ {1\over{\Omega (E)}} \ln{1\over{\Omega (E)}} \right \} =k_B\ln \left(\Omega (E) \right)
</math>
:di mana
:<math>S</math> adalah entropi sistem, dan
:<math>k_B</math> adalah [[konstanta Boltzmann]].
=== Ensembel Canonic ===
{{Main|Canonical ensemble}}
Dalam N ansambel canonical, V dan T adalah tetap. Meminjam konsep dari ansambel kanonik, adalah mungkin untuk mendapatkan probabilitas <math>P_i</math> bahwa sistem makroskopik di [[kesetimbangan termal]] dengan lingkungannya, akan berada dalam microstate diberikan dengan energi <math>E_i</math> sesuai dengan [[distribusi Boltzmann
::<math>P_i = {e^{-\beta E_i}\over{\sum_j^{j_{\rm max}}e^{-\beta E_j}}}</math>
:
Suhu <math>T</math> timbul dari kenyataan bahwa sistem berada dalam kesetimbangan termal dengan lingkungannya. Probabilitas dari berbagai microstates harus ditambah satu, dan [[faktor normalisasi]] sebagai penyebut adalah kanonik [[Pemisahan fungsi (mekanika statistik)
: <math>Z = \sum_i^{i_{max}} e^{-\beta E_i}</math>
Singkatnya, probabilitas untuk menemukan sebuah sistem pada suhu <math>T</math> dalam keadaan tertentu dengan energi <math>E_i</math> adalah
Baris 142 ⟶ 143:
Dengan demikian fungsi partisi terlihat seperti faktor berat badan untuk ensemble.
==== Hubungan dengan Termodinamika ====
Fungsi partisi dapat digunakan untuk menemukan nilai (rata-rata) yang diharapkan dari setiap properti mikroskopis dari sistem, yang kemudian dapat dikaitkan dengan variabel makroskopik. Sebagai contoh, nilai ekspektasi dari energi mikroskopis <math>E</math> adalah''tertafsirkan'' dan ditafsirkan sebagai definisi mikroskopis dari variabel energi dalam termodinamika
: <math>\langle E\rangle={\sum_i E_i e^{-\beta E_i}\over Z}=-{1 \over Z} {dZ \over d\beta}</math>
Baris 171 ⟶ 172:
: <math> \langle J \rangle = \sum_i p_i J_i = \sum_i J_i \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}</math>
: <math>U = \sum_i E_i \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}.</math>
Selanjutnya, persamaan ini dapat dikombinasikan dengan hubungan termodinamika dikenal antara <math>U</math> dan <math>V</math> untuk sampai pada ekspresi untuk tekanan dalam hal suhu saja, volume dan fungsi partisi. Hubungan serupa dalam hal fungsi partisi dapat diturunkan untuk sifat termodinamika lainnya seperti yang ditunjukkan pada tabel berikut, lihat juga penjelasan rinci di
[http://clesm.mae.ufl.edu/wiki.pub/index.php/Configuration_integral_% 28statistical_mechanics% 29 konfigurasi terpisahkan]{{Pranala mati|date=Mei 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}.
{| class="wikitable"
Baris 213 ⟶ 214:
: <math>E = E_t + E_c + E_n + E_e + E_r + E_v,\,</math>
: <math>Z = \sum_i e^{-\beta(E_{ti} + E_{ci} + E_{ni} + E_{ei} + E_{ri} + E_{vi})}</math>
Baris 224 ⟶ 225:
e^{-\beta E_{vi}}.</math>
''Jika''
: <math>E = E_t + E_c + E_n + E_e + E_r + E_v,\,</math>
Baris 261 ⟶ 262:
: <math>P = P_t + P_c + P_n + P_e + P_r + P_v.\,</math>
=== Ensembel Grand canonic ===
Dalam [[kanonik grand ensemble]] <math>V</math>, <math>T</math> dan potensi kimia adalah tetap. Jika sistem yang diteliti adalah sistem terbuka (di mana materi dapat ditukar),'' tetapi'' jumlah partikel tidak kekal, kita harus memperkenalkan [[kimia potensial]]s, μ<sub>j</sub>,''j'' = 1, ..., n dan mengganti kanonik [[Pemisahan fungsi (mekanika statistik)
: <math>\Xi(V,T,\mu) = \sum_i \exp\left(\beta \left[\sum_{j=1}^n \mu_j N_{ij}-E_i\right ]\right)</math>
Dimana'' N<sub>ij</sub>'' adalah jumlah ''j'' <sup>th</sup> partikel spesies di''i'' <sup>th</sup> konfigurasi. Kadang-kadang, kami juga memiliki variabel lain untuk menambah [[fungsi Partisi (mekanika statistik)
Mari kita ulang semuanya menggunakan ansambel kanonik besar saat ini. Volume yang tersisa tetap dan tidak mencari di sama sekali dalam perawatan ini. Seperti sebelumnya,''j'' adalah indeks untuk partikel-partikel dari spesies ''j'' dan ''i'' adalah indeks untuk microstate ''i'':
Baris 302 ⟶ 303:
Mengingat pertimbangan-pertimbangan ini, ansambel terbaik untuk memilih untuk perhitungan sifat-sifat makroskopik sistem adalah bahwa ansambel yang memungkinkan hasil yang akan diperoleh paling mudah.
== Jalan Acak ==
Kajian tentang [[polimer]] rantai panjang telah menjadi sumber masalah dalam dunia mekanika statistik sejak sekitar tahun 1950-an. Salah satu alasan para ilmuwan tertarik dalam penelitian mereka adalah bahwa persamaan yang mengatur perilaku suatu rantai polimer yang independen dari rantai kimia. Terlebih lagi, persamaan yang mengatur ternyata sebuah [[jalan acak]] atau jalan difusif dalam ruang. Bahkan, [[persamaan Schrödinger]] sendiri merupakan persamaan difusi dalam waktu imajiner, <math>t' = it</math>.
=== Jalan Acak dalam Waktu ===
Contoh pertama dari jalan acak adalah sesuatu dalam ruang angkasa,
Mempertimbangkan sebuah masalah kecil, jalan bergerak sepanjang jalur 1D dalam arah x. Misalkan jalan bergerak baik jarak + atau - pada jarak tetap ''b'', tergantung pada sisi koin yang dilempar, apakah muncul kepala atau ekor. Mari kita mulai dengan mempertimbangkan statistik dari langkah jalan kecil yang diambil (
:<math>\langle S_{i} \rangle = 0</math> ;karena probabilitas ''apriori'' sama
Baris 319 ⟶ 320:
:<math>\langle x \rangle = \sum_{i=1}^{N} \langle S_{i} \rangle.</math>
Karena <math>\langle S_{i} \rangle</math> yang dinyatakan adalah 0,
:<math>x_{rms} = \sqrt {\langle x^2 \rangle} = b \sqrt N.
Dari [[persamaan difusi]] dapat ditunjukkan bahwa jarak partikel bergerak menyebar di media adalah sebanding dengan akar dari waktu sistem telah menyebar, di mana proporsionalitas konstan adalah akar dari difusi konstan. Hubungan di atas, meskipun secara bentuk berbeda
== Jalan Acak dalam Ruang ==
Jalan acak dalam ruang dapat dianggap sebagai snapshot dari jalan yang diambil oleh alat bantu jalan acak dalam waktu. Salah satu contoh adalah konfigurasi spasial polimer rantai panjang.
Ada dua jenis jalan acak dalam ruang
Dengan mempertimbangkan sebuah hubungan secara bebas, rantai polimer yang tidak berinteraksi, vektor end-to-end adalah <math>\mathbf{R} = \sum_{i=1}^{N} \mathbf r_i</math>
<br>
<math>\langle \mathbf{r}_{i} \rangle = 0</math> ;oleh isotropi ruang <br>
<math>\langle \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} \rangle = 3 b^2 \delta_{ij}</math> ;semua ikatan dalam rantai tersebut tidak berkorelasi satu sama lain
<br>
Menggunakan statistik dari ikatan individu, maka dengan mudah menunjukkan bahwa <math>\langle \mathbf R \rangle = 0</math> dan <math>\langle \mathbf R \cdot \mathbf R \rangle = 3Nb^2</math>. Perhatikan hasil terakhir adalah sama dengan yang ditemukan jalan acak pada waktunya.
Dengan asumsi seperti yang telah dinyatakan, bahwa distribusi vektor end-to-end untuk jumlah yang sangat besar dari rantai polimer yang identik gaussian, distribusi probabilitas memiliki bentuk sebagai berikut:
:<math>P = \frac{1}{\left (\frac{2 \pi N b^2}{3} \right )^{3/2}} \exp \frac {- 3\mathbf R \cdot \mathbf R}{2Nb^2}.</math>
Apa gunanya ini untuk kita? Ingat bahwa menurut prinsip probabilitas ''apriori'' yang kemungkinan sama, jumlah microstates, Ω, pada beberapa nilai fisik berbanding lurus dengan distribusi probabilitas pada saat nilai fisik itu, ''yaitu'';
:<math>\Omega \left ( \mathbf{R} \right ) = c P\left ( \mathbf{R} \right )</math>
<br>
Baris 350 ⟶ 351:
:<math>\Delta S \left( \mathbf {R} \right ) = S \left( \mathbf {R} \right ) - S \left (0 \right )</math>
:<math>\Delta F = - T \Delta S \left ( \mathbf {R} \right )</math>
<br>
<br>
:<math>\Delta F = k_B T \frac {3R^2}{2Nb^2} = \frac {1}{2} K R^2 \quad ; K = \frac {3 k_B T}{Nb^2}.</math>
<br>
Sebuah pegas hooke!<br>
Hasil ini dikenal sebagai ''entropic spring result'' dan jumlah adalah setelah peregangan (stretching) rantai polimer anda melakukan kerja pada sistem untuk menariknya (lebih disukai) dari keadaan kesetimbangannya. Contoh yang umum adalah pita elastis, terdiri dari polimer rantai panjang (karet). Dengan peregangan (stretching) pita elastis anda melakukan kerja pada sistem dan pita berperilaku seperti ''semi konvensional'', kecuali tidak seperti halnya ''semi logam'', semua kerja yang dilakukan muncul
Mungkin pada awalnya akan mengejutkan bahwa kerja yang dilakukan pada peregangan (stretching) rantai polimer dapat berhubungan sepenuhnya untuk perubahan entropi dari sistem sebagai akibat dari peregangan (stretching). Namun, ini adalah karakteristik dari sistem yang tidak menyimpan energi apapun sebagai energi potensial, seperti gas ideal. Bahwa sistem tersebut sepenuhnya didorong oleh perubahan entropi pada suhu tertentu, bisa dilihat ketika sebuah kasus yang boleh melakukan kerja pada lingkungan sekitarnya (seperti ketika sebuah pita elastis melakukan kerja pada lingkungan dengan kontraktor, atau gas ideal melakukan kerja pada lingkungan dengan memperluas). Karena perubahan energi bebas dalam kasus tersebut berasal sepenuhnya dari perubahan entropi bukan internal (potensial) konversi energi, dalam kasus kerja, keduanya dapat ditarik seluruhnya dari energi termal dalam polimer, dengan efisiensi 100% dari konversi untuk energi termal untuk kerja . pada gas ideal dan polimer, hal ini dimungkinkan oleh kenaikan bahan entropi dari kontraksi yang membuat hilangnya entropi dari penyerapan energi panas, dan pendinginan material.
== Termodinamika Klasik dan Termodinamika Statistika ==
Sebagai contoh dari sudut pandang termodinamika klasik, orang mungkin bertanya apa itu sebuah sistem termodinamika dari molekul-molekul gas, seperti ammonia NH3 yang menentukan karakteristik energi bebas dari senyawa tersebut? termodinamika klasik tidak memberikan jawaban tersebut. Apabila
Dalam sebuah sistem yang dibatasi, karakteristik terpenting unit-unit mikroskopik ini yaitu
== Referensi ==
▲Dalam sebuah sistem yang dibatasi, karakteristik terpenting unit-unit mikroskopik ini yaitu energi-energinya yang terkuantisasi. Hal tersebut dimana energi dapat menjadi sebuah sistem makroskopik membentuk sebuah kontinum virtual dari banyak kemungkinan, energi-energi tersebut terbuka terhadap berbagai komponen-komponen submikroskopik yang terbatas untuk satu set diskontinu dari alternatif yang terhubung dengan nilai-nilai integral dari beberapa bilangan kuantum.
{{reflist}}
== Rujukan ==
* {{cite book|author=Chandler, David|title=Introduction to Modern Statistical Mechanics|url=https://archive.org/details/introductiontomo0000chan|publisher=Oxford University Press|year=1987|id=ISBN 0-19-504277-8}}
* {{cite book
* {{cite book
* {{cite book
* {{cite book
== Pranala luar ==
* {{en}} [http://plato.stanford.edu/entries/statphys-statmech/ "Philosophy of Statistical Mechanics", Lawrence Sklar, Stanford Encyclopedia of Philosophy].
▲{{fisika-stub}}
▲[[Kategori:Mekanika statistika| ]]
| |||