Aljabar: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
kTidak ada ringkasan suntingan |
Add 1 book for Wikipedia:Pemastian (20240809)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
||
| (166 revisi perantara oleh 63 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Quadratic formula.svg|jmpl|Rumus [[persamaan kuadrat]] mengungkapkan solusi dari persamaan derajat dua <math>ax^2 + bx +c=0</math> dalam koefisien <math>a, b, c</math>, dimana <math>a</math> bukan nol.]]
'''Aljabar''' (dari [[bahasa Arab]] الجبر ''"al-jabr"'' yang berarti "pengumpulan bagian yang rusak"<ref name="oed">{{Cite web|url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra|title=algebra|website=Oxford English Dictionary|publisher=Oxford University Press|access-date=2017-02-21|archive-date=2013-12-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20131231173558/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra|dead-url=yes}}</ref>) adalah salah satu bagian dari bidang [[matematika]] yang luas, bersama-sama dengan [[teori bilangan]], [[geometri]] dan [[Analisis matematis|analisis]]. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini;<ref>I. N. Herstein, ''Topics in Algebra'', "An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them." p. 1, Ginn and Company, 1964</ref> aljabar adalah benang pemersatu dari hampir semua bidang matematika.<ref>I. N. Herstein, ''Topics in Algebra'', "...it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics." p. 1, Ginn and Company, 1964</ref> Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti [[Grup (matematika)|grup]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan [[Medan (matematika)|medan]]. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut [[aljabar elementer]], sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut [[aljabar abstrak]] atau aljabar modern. Aljabar elementer umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika, ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi dalam kesehatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.
Aljabar elementer berbeda dari [[aritmetika]] dalam penggunaan abstraksi, seperti menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam <math>x + 2 = 5</math> huruf <math>x</math> tidak diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai: <math>x=3</math>. Dalam [[Ekivalensi massa-energi|{{math|1=''E'' = ''mc''{{smallsup|2}}}}]], huruf <math>E</math> dan <math>m</math> adalah variabel, dan huruf <math>c</math> adalah [[Konstanta (matematika)|konstanta]], kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya dalam kata-kata.
Kata ''aljabar'' juga digunakan dalam hal-hal yang lebih spesifik. Jenis khusus dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", kata ini digunakan, misalnya, dalam ungkapan [[aljabar linear]] dan topologi aljabar.
Seorang ahli matematika yang melakukan penelitian dalam aljabar disebut '''aljabarwan''', {{lang-en|Algebraist}}.
== Etimologi ==
Kata ''aljabar'' berasal dari [[Bahasa Arab|bahasa arab]] {{Lang|ar|الجبر}} (''al-jabr'' secara harfiah berarti "pengumpulan kembali bagian yang rusak") istilah ini diambil dari judul buku ''Al Kitaab al muhtasar fii hisaab al jabr wa'l muqabaala''<ref>Ekkehard Kopp "[https://www.openbookpublishers.com/product/1279 Making up Numbers : A History of Invention in Mathematics]" Open Book Publishers</ref> karya matematikawan dan astronom [[Persia]], [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwarizmi]]. Kosakata ini memasuki bahasa Inggris selama abad kelima belas, baik dari Spanyol, Italia, atau Pertengahan Latin. Aljabar awalnya disebut prosedur operasi pengaturan patah atau dislokasi [[tulang]]. Makna matematisnya pertama kali tercatat pada abad 16.<ref>{{cite encyclopedia|title=Algebra|editor=T. F. Hoad|encyclopedia=The Concise Oxford Dictionary of English Etymology|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|year=2003|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780192830982.001.0001/acref-9780192830982-e-349|subscription=yes}}</ref>
== Berbagai arti dari "aljabar" ==
Kata "aljabar" memiliki beberapa makna dalam matematika, sebagai kata tunggal atau dengan kualifikasi.
* Sebagai kata tunggal tanpa kata sandang, "aljabar" nama salah satu bidang ilmu matematika.
* Sebagai kata tunggal dengan sebuah kata sandang atau dalam bentuk jamak, "aljabar" menunjukkan struktur matematika secara spesifik, dan definisi yang tepat tergantung pada penulis. Biasanya struktur ini memiliki penambahan, perkalian, dan skalar perkalian (lihat [[Aljabar atas bidang|Aljabar atas lapangan]]). Ketika beberapa penulis menggunakan istilah "aljabar", mereka membuat sebuah subset dari asumsi tambahan berikut: asosiatif, komutatif, unital, dan/atau dimensi berhingga. Dalam aljabar universal, kata "aljabar" mengacu pada generalisasi dari konsep di atas, yang memungkinkan ''n-ary'' operasi.
* Dengan kualifikasi, ada perbedaan yang sama:
** Tanpa sebuah kata sandang, berarti merupakan bagian dari aljabar, seperti [[Aljabar linear|aljabar linier]], [[aljabar elementer]] (simbol-manipulasi aturan yang diajarkan dalam kursus sd matematika sebagai bagian dari [[pendidikan dasar]] dan menengah), atau [[aljabar abstrak]] (studi struktur aljabar tentang aljabar itu sendiri).
** Dengan sebuah kata sandang, berarti sebuah contoh dari beberapa struktur abstrak, seperti [[aljabar bentang]], aljabar [[asosiatif]], atau [[aljabar operator verteks]].
** Kadang-kadang kedua makna yang ada digunakan untuk kualifikasi yang sama, seperti dalam kalimat: ''aljabar Komutatif adalah studi tentang gelanggang komutatif, yang merupakan aljabar komutatif atas bilangan bulat''.
== Aljabar sebagai cabang dari matematika ==
Aljabar dimulai dengan perhitungan yang sama dengan [[aritmetika]], dengan huruf digunakan untuk mewakili angka. hal Ini memungkinkan bukti dari sifat-sifat yang benar tanpa memperhatikan angka-angka yang terlibat. Misalnya, dalam [[persamaan kuadrat]]
:<math>ax^2+bx+c=0,</math>
<math>a, b, c</math> bisa menjadi bilangan apapun (kecuali bahwa <math>a</math> tidak dapat bernilai <math>0</math>), dan rumus kuadrat dapat digunakan untuk dengan cepat dan mudah menemukan nilai-nilai dari kuantitas <math>x</math> yang tidak diketahui dan memenuhi persamaan. Rumus kuadrat digunakan untuk menyatakan persamaan, dan kemudian menemukan semua solusi dari persamaan tersebut.
Secara historis, dan dalam pengajaran sekarang ini, pengkajian aljabar dimulai dengan memecahkan persamaan seperti [[persamaan kuadrat]] di atas. Kemudian muncullah pertanyaan-pertanyaan yang lebih umum, seperti "apakah persamaan memiliki solusi?", "berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan?", "apa yang dapat dikatakan tentang sifat dari solusi?". Pertanyaan-pertanyaan ini memicu kemunculan ide-ide tentang bentuk, struktur dan simetri.<ref>{{Cite book|title=The Common Sense of Teaching Mathematics|last=Gattengo|first=Caleb|publisher=Educational Solutions Inc.|year=2010|isbn=978-0878252206}}</ref> Sifat-sifat struktural dari objek-objek non-numerik ini kemudian diabstraksi untuk mendefinisikan struktur-struktur aljabar seperti [[grup (matematika)|grup]], [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan [[medan (matematika)|medan]].
Sebelum abad ke-16, matematika dibagi menjadi dua subbidang, [[aritmetika]] dan [[geometri]]. Meskipun beberapa metode, yang telah dikembangkan jauh lebih awal, mungkin yang dianggap saat ini sebagai aljabar, munculnya aljabar dan, segera setelah itu, [[Kalkulus|kalkulus infinitesimal]] sebagai subbidang matematika hanya dari abad 16 atau abad ke-17. Dari paro kedua abad ke-19, banyak hal baru dalam bidang matematika muncul, yang sebagian besar dibuat menggunakan kedua aritmetika dan geometri, dan hampir semuanya menggunakan aljabar.
Hari ini, aljabar telah berkembang hingga mencakup banyak cabang dari matematika, seperti yang dapat dilihat dalam [[Klasifikasi Subjek Matematika]]<ref>{{Cite web|url=http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html|title=2010 Mathematics Subject Classification|access-date=2014-10-05}}</ref>
di mana tak satu pun dari area tingkat pertama (dua digit entri) disebut ''aljabar''. Hari ini aljabar meliputi bagian 08-sistem-sistem aljabar umum, 12-[[Medan (matematika)|teori medan]] dan [[Polinomial]], 13-[[aljabar komutatif]], 15-[[aljabar linear]] dan [[aljabar multilinear|multilinear]]; [[Matriks (matematika)|teori matriks]], 16-[[aljabar asosiatif]], 17-[[aljabar tak-asosiatif]], 18-[[teori kategori]]; [[aljabar homologis]], 19-[[teori-K]], dan 20-[[teori grup]]. Aljabar juga digunakan secara ekstensif dalam 11-[[teori bilangan]] dan 14-[[geometri aljabar]].
== Sejarah ==
=== Sejarah awal aljabar ===
[[Berkas:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|jmpl|Halaman dari karya [[Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī|Al-Khwarizmi]] yang berjudul ''al-Kitab al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala'' (''Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan'']]
Akar aljabar dapat ditelusuri hingga masa Babilonia kuno,<ref>{{Cite book|title=A Concise History of Mathematics|last=Struik|first=Dirk J.|publisher=Dover Publications|year=1987|isbn=0-486-60255-9|location=New York}}</ref> yang mengembangkan sistem aritmetika lanjut untuk melakukan perhitungan menurut gaya [[algoritme]]. Bangsa Babilonia mengembangkan rumus untuk menghitung solusi dari masalah-masalah yang dewasa ini umum diselesaikan dengan [[persamaan linear]], [[persamaan kuadrat]], dan [[persamaan taktentu]]. Sebaliknya, sebagian besar [[matematika Mesir Kuno|orang Mesir]] pada era ini serta [[Matematika Yunani|Yunani]] dan [[matematika Tiongkok|Tiongkok]] pada milenium 1 SM biasanya menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode geometris, seperti yang dijelaskan dalam ''[[Papirus Matematika Rhind]]'', ''[[Elemen Euklides]]'', dan ''[[Sembilan Bab mengenai Seni Matematika]]''. Karya geometris dari Yunani, seperti yang ditulis dalam ''Elemen'', menyediakan kerangka kerja untuk perumuman rumus melampaui solusi dari soal tertentu menjadi sistem yang lebih umum yang menyatakan dan memecahkan persamaan, meskipun hal ini tidak terealisasi sampai sebelum munculnya [[Matematika Islam abad pertengahan]].<ref>{{harvnb|Boyer|1991}}</ref>
Pada zaman [[Plato]], matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. Orang Yunani menemukan aljabar geometri, di mana suku-suku dinyatakan oleh sisi-sisi dari objek geometri, biasanya garis, yang memiliki huruf-huruf yang berasosiasi dengan mereka.<ref name=citeboyer>{{Harv|Boyer|1991|loc="Europe in the Middle Ages" p. 258}} "In the arithmetical theorems in Euclid's ''Elements'' VII-IX, numbers had been represented by line segments to which letters had been attached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi's ''Algebra'' made use of lettered diagrams; but all coefficients in the equations used in the ''Algebra'' are specific numbers, whether represented by numerals or written out in words. The idea of generality is implied in al-Khwarizmi's exposition, but he had no scheme for expressing algebraically the general propositions that are so readily available in geometry."</ref> [[Diofantus]] (abad ke-3 Masehi) adalah seorang Matematikawan Yunani dari [[Iskandariyah]] dan penulis serangkaian buku yang disebut ''[[Arithmetica]]''. Teks-teks ini berurusan dengan penyelesaian [[persamaan aljabar]],<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq#v=onepage&q=&f=false|title=A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching|last=Cajori|first=Florian|year=2010|isbn=1-4460-2221-8|page=34|author-link=Florian Cajori}}</ref> dan telah menuntun pada hadirnya [[persamaan Diofantin]] dalam [[teori bilangan]].
Tradisi-tradisi yang lebih dini dibandingkan dengan yang dibahas di atas berpengaruh langsung kepada Matematikawan [[bangsa Persia|Persia]], Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (kira-kira 780–850). Ia kemudian menulis ''[[Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan]]'', yang membentuk aljabar sebagai disiplin matematika yang tidak bergantung pada [[geometri]] dan [[aritmetika]].<ref>{{Cite journal|title=Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra|author=Roshdi Rashed|publisher=Saqi Books|date=November 2009|isbn=0-86356-430-5|ref=harv|postscript= }}</ref>
Matematikawan [[periode Helenistik]], [[Heron dari Iskandariyah]] dan Diofantus,<ref>{{cite web|url=http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |title=Diophantus, Father of Algebra |publisher= |accessdate=2014-10-05 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20130727040815/http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |archivedate=2013-07-27 |df= }}</ref> juga [[matematika India|Matematikawan India]] seperti [[Brahmagupta]] meneruskan tradisi-tradisi Mesir dan Babilonia, meskipun ''Arithmetica''-nya Diophantus dan ''[[Brāhmasphuṭasiddhānta]]''-nya Brahmagupta berada pada tingkatan yang lebih tinggi.<ref>{{cite web|url=http://www.algebra.com/algebra/about/history/|title=History of Algebra|publisher=|accessdate=2014-10-05}}</ref> Misalnya, solusi aritmetika lengkap pertama (termasuk solusi nol dan negatif) untuk persamaan kuadrat, seperti yang dijelaskan oleh Brahmagupta dalam bukunya ''Brahmasphutasiddhanta''. Kemudian, Matematikawan Persia dan Arab mengembangkan metode-metode aljabar untuk mencapai derajat kecanggihan yang lebih tinggi. Meskipun Diofantus dan bangsa Babilonia sering kali menggunakan metode ''ad hoc'' istimewa untuk menyelesaikan persamaan-persamaan, sumbangsih Al-Khwarizmi adalah mendasar. Dia menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tanpa simbolisme aljabar, [[bilangan negatif]], atau [[nol]], dengan demikian dia harus membedakan beberapa jenis persamaan.<ref name="Meri2004">{{cite book|author=Josef W. Meri|title=Medieval Islamic Civilization|url=https://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|accessdate=25 November 2012|year=2004|publisher=Psychology Press|isbn=978-0-415-96690-0|page=31}}</ref>
Di dalam konteks di mana aljabar diidentifikasi dengan [[teori persamaan]], Matematikawan Yunani, Diofantus secara tradisional telah dikenali sebagai "bapak aljabar" tetapi dalam waktu yang lebih terkemudian terdapat banyak debat mengenai apakah al-Khwarizmi, yang membentuk disiplin ''al-jabr'', layak menyandang gelar itu.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historymathemati00boye_328 |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |pages=[https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n197 178], 181 |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Mereka yang mendukung poin Diofantus terhadap fakta bahwa aljabar ditemukan dalam ''Al-Jabr'' adalah sedikit lebih elementer daripada aljabar yang ditemukan dalam ''Arithmetica'' dan bahwa ''Arithmetica'' lebih diperingkas, sedangkan ''Al-Jabr'' sepenuhnya retoris.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historymathemati00boye_328 |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |page=[https://archive.org/details/historymathemati00boye_328/page/n247 228] |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Mereka yang mendukung poin Al-Khwarizmi terhadap fakta bahwa dia memperkenalkan metode "[[reduksi (matematika)|reduksi]]" dan "penyetimbangan" (transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki [[variabel (matematika)|variabel]] dan [[eksponensiasi|pangkat]] sama pada ruas lain suatu persamaan), yang dirujuk oleh ''al-jabr'' pada mulanya,<ref name=Boyer-229>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 229}} "It is not certain just what the terms ''al-jabr'' and ''muqabalah'' mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word ''al-jabr'' presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word ''muqabalah'' is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."</ref> dan bahwa dia memberikan penjelasan yang panjang-lebar tentang penyelesaian persamaan kuadrat,<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 230}} "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."</ref> didukung oleh bukti-bukti geometris, sambil memperlakukan aljabar sebagai disiplin yang merdeka dan memiliki hak sendiri.<ref>Gandz and Saloman (1936), ''The sources of al-Khwarizmi's algebra'', Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".</ref> Aljabarnya juga tidak lagi berurusan "dengan sederet soal untuk diselesaikan, tetapi sebuah eksposisi yang bermula dengan suku-suku primitif di mana kombinasi harus memberikan semua purwarupa yang mungkin untuk persamaan, yang untuk selanjutnya secara eksplisit membentuk objek kajian yang sebenarnya". Dia juga mengkaji persamaan untuk kepentingannya sendiri dan "dalam cara yang umum, sejauh itu tidak hanya muncul dalam penyelesaian masalah, namun secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan kelas masalah yang tak terbatas".<ref name=Rashed-Armstrong>{{Cite book | last1=Rashed | first1=R. | last2=Armstrong | first2=Angela | year=1994 | title=The Development of Arabic Mathematics | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | isbn=0-7923-2565-6 | oclc=29181926 | pages=11–2 | ref=harv | postscript= }}</ref>
Matematikawan Persia lainnya, [[Umar Khayyām]] diakui jasanya sebagai pengidentifikasi dasar-dasar [[geometri aljabar]] dan penemu solusi geometris umum untuk [[fungsi kubik|persamaan kubik]]. Bukunya ''Risalah tentang Peragaan Soal-Soal Aljabar'' (1070), yang menetapkan prinsip-prinsip aljabar, adalah bagian dari tubuh Matematika Persia yang sebenarnya dikirimkan ke Eropa.<ref>[[#refmathmaster|Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers]], p. 92</ref> Matematikawan Persia lainnya, [[Sharaf al-Din al-Tusi]], menemukan solusi aljabar dan numerik untuk beberapa kasus persamaan kubik.<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> Dia juga mengembangkan konsep mengenai [[fungsi (matematika)|fungsi]].<ref>{{Cite journal|last=Victor J. Katz|first=Bill Barton|title=Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching|journal=Educational Studies in Mathematics|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer Netherlands]]|volume=66|issue=2|date=October 2007|doi=10.1007/s10649-006-9023-7|pages=185–201 [192]|last2=Barton|first2=Bill|ref=harv|postscript= }}</ref> Matematikawan India, [[Mahavira (matematikawan)|Mahavira]] dan [[Bhāskara II]], Matematikawan Persia [[Al-Karaji]],<ref name="Boyer al-Karkhi ax2n">{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 239}} "Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer. ... His successor al-Karkhi evidently used this translation to become an Arabic disciple of Diophantus – but without Diophantine analysis! ... In particular, to al-Karkhi is attributed the first numerical solution of equations of the form ax<sup>2n</sup> + bx<sup>n</sup> = c (only equations with positive roots were considered),"</ref> dan Matematikawan Tiongkok, [[Zhu Shijie]], menyelesaikan beberapa kasus persamaan kubik, [[persamaan kuartik|kuartik]], [[persamaan kuintik|kuintik]], dan persamaan-persamaan [[polinomial]] berorde lebih tinggi menggunakan [[metode numerik]]. Pada abad ke-13, penyelesaian persamaan kubik oleh [[Fibonacci]] adalah wakil dari awal kebangkitan aljabar Eropa. [[Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī]] (1412–1486) mengambil "langkah-langkah pertama menuju perkenalan simbolisme aljabar". Dia juga menghitung ∑''n''<sup>2</sup>, ∑''n''<sup>3</sup> dan menggunakan metode pendekatan berurutan (suksesif) untuk menentukan [[akar kuadrat]].<ref>{{Cite web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi.html|title=Al-Qalasadi biography|website=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk|access-date=2017-10-17}}</ref> Ketika dunia Islam mengalami kemunduran, dunia Eropa mengalami kebangkitan. Dan pada ketika itulah aljabar berkembang lebih jauh.
=== Sejarah modern aljabar ===
[[Berkas:Cardano.jpg|jmpl|258x258px|Matematikawan Italia [[Girolamo Cardano]] menerbitkan solusi untuk [[fungsi kubik]] dan [[fungsi kuadrat]] dalam bukunya pada tahun 1545 yang berjudul ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars magna]]''.]]
Karya [[François Viète]] mengenai aljabar baru pada penutupan abad ke-16 adalah sebuah langkah penting menuju aljabar modern. Pada tahun 1637, [[René Descartes]] menerbitkan ''La Géométrie'', menemukan [[geometri analitis]] dan memperkenalkan notasi aljabar modern. Peristiwa penting lainnya dalam pengembangan aljabar lebih lanjut adalah penyelesaian aljabar umum untuk persamaan kubik dan kuartik, yang dikembangkan pada pertengahan abad ke-16. Gagasan mengenai [[determinan]] dikembangkan oleh matematikawan Jepang [[Seki Kōwa]] pada abad ke-17, diikuti secara mandiri oleh [[Gottfried Leibniz]] sepuluh tahun kemudian, untuk tujuan memecahkan sistem persamaan linear simultan dengan menggunakan [[Matriks (matematika)|matriks]]. Gabriel Cramer juga melakukan beberapa pekerjaan mengenai matriks dan determinan pada abad ke-18. Permutasi dipelajari oleh [[Joseph-Louis de Lagrange]] dalam karyanya pada tahun 1770 yang berjudul ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'' (Refleksi pada resolusi aljabar suatu persamaan), dikhususkan untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan aljabar, di mana dia memperkenalkan [[resolven (teori Galois)|resolven Lagrange]]. Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori dari [[grup permutasi]], dan seperti pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar.
[[Aljabar abstrak]] dikembangkan pada abad ke-19, yang berasal dari ketertarikan dalam memecahkan persamaan, awalnya berfokus pada apa yang sekarang disebut [[teori Galois]], dan pada permasalahan [[bilangan konstruktibel|konstruktibilitas]].<ref>"[http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html The Origins of Abstract Algebra]".</ref> George Peacock adalah pelopor pemikiran aksiomatis dalam aritmetika dan aljabar. [[Augustus De Morgan]] menemukan [[aljabar relasi]] dalam karyanya ''Syllabus of a Proposed System of Logic'' (Silabus dari Sistem Logika yang Diusulkan). [[Josiah Willard Gibbs]] mengembangkan aljabar dari vektor-vektor dalam ruang tiga-dimensi, dan [[Arthur Cayley]] mengembangkan aljabar matriks (ini adalah aljabar tak-komutatif).<ref>"[http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?ISBN=9781108005043 The Collected Mathematical Papers]".</ref>
== Bidang matematika dengan kata aljabar pada nama mereka ==
Beberapa bidang matematika yang memenuhi klasifikasi aljabar abstrak memuat kata aljabar dalam nama mereka; [[aljabar linear]] adalah salah satu contoh. Tetapi ada juga yang tidak, misalnya: [[teori grup]], [[teori gelanggang]], dan [[Medan (matematika)|teori bidang]]. Yang berikut ini adalah beberapa bidang matematika yang memuat kata "aljabar" dalam namanya.
* [[Aljabar elementer]], bagian dari aljabar yang biasanya diajarkan di perkuliahan dasar Matematika.
* [[Aljabar abstrak]], di mana [[struktur aljabar]] seperti [[Grup (matematika)|kelompok]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] dan [[Medan (matematika)|medan]] didefinisikan dan diselidiki secara [[sistem aksioma|aksiomatis]].
* [[Aljabar linear|Aljabar Linear]], di mana sifat-sifat tertentu dari [[persamaan linear]], [[Ruang vektor]] dan [[Matriks (matematika)|matriks]] dipelajari.
* [[Aljabar Boolean]], cabang aljabar yang mengabstraksi komputasi dengan nilai kebenaran ''benar'' dan ''salah''.
* [[Aljabar komutatif]], studi tentang [[gelanggang komutatif]].
* [[Komputasi simbolik|Aljabar komputer]], penerapan metode-metode aljabar seperti [[algoritme]] dan [[program komputer]].
* [[Aljabar homologis]], studi struktur aljabar yang menjadi dasar bagi pengkajian [[ruang topologi]].
* [[Aljabar semesta]], di mana sifat-sifat yang umum untuk semua struktur aljabar dipelajari.
* [[Teori bilangan aljabar]], di mana sifat-sifat bilangan dipelajari menurut sudut pandang aljabar.
* [[Geometri aljabar]], sebuah cabang dari geometri, dalam bentuk primitif menentukan kurva dan permukaan sebagai solusi dari persamaan polinomial.
* [[Kombinatorika aljabar]], di mana metode-metode aljabar digunakan untuk mempelajari soal-soal kombinatorika.
* [[Aljabar relasional]]: satu himpunan [[relasi berhingga]] yang tertutup di bawah operator tertentu.
Banyak struktur matematika disebut '''aljabar''':
* [[Aljabar atas medan]] atau lebih umumnya ''aljabar di atas gelanggang''.<br>Banyak kelas pada aljabar di atas lapangan atau di atas gelanggang memiliki nama spesifik:
** [[Aljabar asosiatif]]
** [[Aljabar takasosiatif]]
** [[Aljabar Lie]]
** [[Aljabar Hopf]]
** ''[[Aljabar-C*]]''
** [[Aljabar simetri]]
** [[Aljabar eksterior]]
** [[Aljabar tensor]]
* Dalam [[ukuran (matematika)|teori ukuran]],
** [[Aljabar sigma]]
** [[Algebra di atas himpunan|Medan himpunan]]
* Dalam [[teori kategori]]
** ''[[Aljabar-F]]'' dan ''[[Koaljabar-F]]''
** ''[[Aljabar-T]]''
* Dalam [[logika]],
** [[Aljabar relasi]], aljabar Boolean beresidu, diperluas dengan kerumitan yang disebut konvers.
** [[Aljabar Boolean (struktur)]], [[kisi distributif]] [[kisi komplemen|komplemen]].
** [[Aljabar Heyting]]
== Aljabar elementer ==
{{utama|Aljabar elementer}}
[[Berkas:algebraic equation notation.svg|jmpl|ka|Notasi ekspresi aljabar:<br/> 1 – pangkat (''power'')<br/> 2 – koefisien<br/> 3 – suku (''term'')<br/> 4 – operator<br/> 5 – suku konstanta<br/> ''x'' ''y'' ''c'' – variabel/konstanta]]
'''Aljabar elementer''' adalah bentuk aljabar paling dasar. Aljabar elementer diajarkan kepada siswa/mahasiswa yang dianggap tidak memiliki pengetahuan tentang [[matematika]] lebih dari sekadar prinsip-prinsip dasar [[aritmetika]]. Di dalam aritmetika, hanya [[bilangan]] dan operasi aritmetika (seperti +, −, ×, ÷) yang muncul. Di dalam aljabar, bilangan sering kali diwakili oleh simbol, yang disebut [[variabel (matematika)|variabel]] (seperti ''a'', ''n'', ''x'', ''y'', atau ''z''). Ini berguna, karena:
* Ini membolehkan perumusan umum dari hukum-hukum aritmetika (seperti ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' untuk setiap ''a'' dan ''b''), dan dengan demikian merupakan langkah pertama menuju eksplorasi sistematis pada sifat-sifat [[bilangan real|sistem bilangan real]].
* Ini membolehkan referensi bagi bilangan "anu", perumusan [[persamaan]] dan pengkajian cara untuk menyelesaikannya. (Misalnya, "Carilah bilangan ''x'' sedemikian sehingga 3''x'' + 1 = 10" atau lebih lanjut "Carilah bilangan ''x'' sedemikian sehingga ''ax'' + ''b'' = ''c''". Langkah ini mengarah pada kesimpulan bahwa bukanlah sifat alami bilangan tertentu yang membolehkan kita menyelesaikannya, melainkan operasi yang dilibatkan.)
* Ini mengizinkan perumusan hubungan [[fungsi (matematika)|fungsional]]. (Misalnya, "Jika kamu menjual ''x'' karcis, maka keuntunganmu sebesar 3''x'' − 10 rupiah, atau ''f''(''x'') = 3''x'' − 10, di mana ''f'' adalah fungsi, dan ''x'' adalah bilangan yang terhadapnya fungsi ini diterapkan".)
=== Polinomial ===
[[Berkas:Polynomialdeg3.svg|[[Grafik fungsi|Grafik]] fungsi polinomial berderajat 3.|jmpl|ka]]
{{utama|Polinomial}}
'''Polinomial''' atau '''suku banyak''' adalah sebuah [[ekspresi (matematika)|ekspresi]] yang merupakan jumlah bilangan berhingga dari [[suku (logika)|suku-suku]] tak-nol, tiap-tiap suku memuat perkalian dari sebuah konstanta dan sejumlah berhingga [[variabel (matematika)|variabel]] yang muncul dengan seluruh pangkat bilangan. Misalnya, ''x''<sup>2</sup> + 2''x'' − 3 adalah polinomial dalam variabel tunggal ''x''. Sebuah '''ekspresi polinomial''' adalah ekspresi yang dapat ditulis ulang sebagai polinomial, dengan menggunakan sifat-sifat komutativitas, asosiativitas, dan distributivitas perjumlahan dan perkalian. Misalnya, (''x'' − 1)(''x'' + 3) adalah sebuah ekspresi polinomial. Sebuah '''fungsi polinomial''' adalah fungsi yang didefinisikan oleh polinomial, atau, secara ekivalen, oleh sebuah ekspresi polinomial. Dua contoh tersebut mendefinisikan fungsi polinomial yang sama.
Dua soal yang penting dan berhubungan di dalam aljabar adalah [[faktorisasi polinomial]], yaitu, mengekspresikan suatu polinomial sebagai perkalian dari polinomial-polinomial lainnya yang tidak dapat difaktorkan lagi, dan komputasi [[faktor persekutuan terbesar polinomial]]. Contoh polinomial di atas dapat difaktorkan sebagai (''x'' − 1)(''x'' + 3). Sebuah kelas soal yang behubungan adalah pencarian ekspresi aljabar untuk [[akar fungsi|akar]] suatu polinomial dalam variabel tunggal.
=== Pendidikan ===
Telah dianjurkan bahwa aljabar elementer harus diajarkan kepada siswa yang sudah berusia 11 tahun,<ref>{{Cite web |title=Hull's Algebra |work=New York Times |date=1904-07-16 |url=https://query.nytimes.com/mem/archive-free/pdf?res=F10714FB395E12738DDDAF0994DF405B848CF1D3 |format=[[pdf]] |accessdate=2012-09-21}}</ref> meskipun dalam waktu dekat ini terdapat kecenderungan semakin lazimnya pengenalan aljabar elementer pada kelas delapan (≈ 13 tahun ±) di Amerika Serikat.<ref>{{Cite web |last=Quaid |first=Libby |title=Kids misplaced in algebra |work=[[Associated Press]] |date=2008-09-22 |url=https://www.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm |format=Report |accessdate=2012-09-23}}</ref> Meskipun demikian, di beberapa sekolah Amerika Serikat, aljabar mulai diperkenalkan pada kelas 9.
Sejak tahun 1997, [[Institut Politeknik dan Universitas Negeri Virginia]] dan beberapa universitas lain telah mulai menggunakan sebuah model pengajaran aljabar yang sudah dipersonalisasi yang mengombinasikan umpan-balik instan dari peranti lunak komputer terspesialisasi dengan bimbingan satu-satu dan bimbingan kelompok kecil, yang telah mengurangi biaya dan menaikkan capaian siswa.<ref>{{cite news|url=https://www.nytimes.com/2012/09/07/us/ut-arlington-adopts-new-way-to-tackle-algebra.html|title=THE TEXAS TRIBUNE; U.T.-Arlington Adopts New Way to Tackle Algebra|last=Hamilton|first=Reeve|date=2012-09-07|work=The New York Times|accessdate=2012-09-10}}</ref>
== Aljabar abstrak ==
{{utama|Aljabar abstrak|Struktur aljabar}}
'''Aljabar abstrak''' memperluas konsep-konsep yang biasa ditemukan dalam aljabar elementer dan [[aritmetika]] [[bilangan]] ke konsep-konsep yang lebih umum. Yang berikut ini adalah konsep-konsep dasar di dalam aljabar abstrak.
'''[[Himpunan (matematika)|Himpunan]]''': Lebih dari sekadar memperhatikan jenis-jenis [[bilangan]] yang berbeda-beda, aljabar abstrak berurusan dengan konsep ''himpunan'' yang lebih umum: sekumpulan objek-objek (disebut [[Elemen (matematika)|elemen]]) yang dipilih oleh sifat spesifik untuk himpunan. Semua kumpulan jenis-jenis bilangan yang lazim dikenal merupakan himpunan. Contoh himpunan lainnya adalah himpunan semua [[Matriks (matematika)|matrikss]] dua-kali-dua, himpunan semua [[polinomial]] berderajat 2 (''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), himpunan semua [[Vektor (spasial)|vektor]] dua dimensi pada bidang, dan berbagai [[grup berhingga]] seperti [[grup siklis]], yang merupakan grup-grup [[aritmetika modular|modulo]] bilangan bulat ''n''. [[Teori himpunan]] adalah sebuah cabang dari [[logika]] dan secara teknis bukanlah cabang dari aljabar.
'''[[Operasi biner]]''': Maksud [[perjumlahan]] (+) diabstraksi untuk memberikan sebuah ''operasi biner'', katakanlah ∗. Maksud operasi biner menjadi tidak berarti tanpa adanya himpunan tempat operasi didefinisikan. Untuk dua elemen ''a'' dan ''b'' dalam himpunan ''S'', ''a'' ∗ ''b'' adalah elemen lain di dalam himpunan; kondisi ini disebut [[ketertutupan (matematika)|ketertutupan]]. [[Perjumlahan]] (+), [[perkurangan]] (−), [[perkalian]] (×), dan [[perbagian]] (÷) dapat menjadi operasi biner ketika terdefinisi pada himpunan yang berbeda, semisal perjumlahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.
'''[[Elemen identitas]]''': Bilangan nol dan satu diabstraksi untuk memberikan arti suatu ''elemen identitas'' untuk sebuah operasi. Nol adalah elemen identitas untuk perjumlahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk suatu operator biner umum ∗ elemen identitas ''e'' harus memenuhi ''a'' ∗ ''e'' = ''a'' dan ''e'' ∗ ''a'' = ''a'', dan harus tunggal, jika ia ada. Ini berlaku untuk perjumlahan sebagai ''a'' + 0 = ''a'' dan 0 + ''a'' = ''a'' dan perkalian ''a'' × 1 = ''a'' dan 1 × ''a'' = ''a''. Tidak semua himpunan dan kombinasi operator memiliki elemen identitas; misalnya, himpunan bilangan asli positif (1, 2, 3, ...) tidak memiliki elemen identitas untuk perjumlahan.
'''[[Elemen invers]]''' atau '''unsur balikan''': Bilangan negatif memunculkan konsep ''elemen invers''. Untuk perjumlahan, invers ''a'' ditulis sebagai −''a''; dan untuk perkalian, invers ditulis sebagai ''a''<sup>−1</sup>. Elemen invers umum untuk dua-pihak ''a''<sup>−1</sup> memenuhi sifat bahwa ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> = ''e'' dan ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' = ''e'', di mana ''e'' adalah elemen identitas.
'''[[Sifat asosiatif|Asosiativitas]]''': Perjumlahan bilangan bulat memiliki sifat yang dinamakan asosiativitas. Yakni, pengelompokan bilangan yang dijumlahkan tidaklah mengubah hasilnya. Misalnya: {{nowrap|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)}}. Secara umum, ini menjadi (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' = ''a'' ∗ (''b'' ∗ ''c''). Sifat ini juga berlaku pada sebagian besar operasi biner, tetapi tidak untuk [[perkurangan]], atau [[perbagian]], atau [[oktonion|perkalian oktonion]].
'''[[Sifat komutatif|Komutativitas]]''': Perjumlahan dan perkalian bilangan real sama-sama bersifat komutatif. Yakni, urutan bilangan tidaklah mengubah hasil. Misalnya: 2 + 3 = 3 + 2. Secara umum, ini menjadi ''a'' ∗ ''b'' = ''b'' ∗ ''a''. Sifat ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Misalnya, [[perkalian matriks]] dan [[Kuaternion|perkalian kuaternion]], kedua-duanya tidak bersifat komutatif.
=== Grup ===
{{utama|Grup (matematika)}}
{{lihat pula|Teori grup}}
Penggabungan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: '''[[Grup (matematika)|grup]]'''. Grup adalah kombinasi dari sebuah himpunan ''S'' dan satu operasi biner ∗, didefinisikan dalam cara apapun yang dipilih, tapi dengan sifat sebagai berikut:
* Terdapat sebuah elemen identitas ''e'', sedemikian sehingga untuk setiap anggota ''a'' dari ''S'', ''e'' ∗ ''a'' dan ''a'' ∗ ''e'' kedua-duanya identik dengan ''a''.
* Setiap elemen mempunyai invers: untuk setiap anggota ''a'' dari ''S'', terdapat anggota ''a''<sup>−1</sup> sedemikian sehingga ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> dan ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' kedua-duanya identik dengan elemen identitas.
* Operasi bersifat asosiatif: jika ''a'', ''b'', dan ''c'' adalah anggota dari ''S'', maka (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' identik dengan ''a'' ∗ (''b'' ∗ ''c'').
Jika grup ini juga [[komutatif]], yaitu untuk setiap dua anggota ''a'' dan ''b'' dari ''S'', ''a'' ∗ ''b'' adalah identik untuk ''b'' ∗ ''a''—maka grup tersebut dikatakan [[grup abelian|abelian]].
Sebagai contoh, himpunan [[bilangan bulat]] di bawah operasi [[perjumlahan]] merupakan grup. Dalam grup ini, elemen identitas adalah 0 dan invers dari setiap elemen ''a'' adalah negasinya, −''a''. Persyaratan asosiativitas terpenuhi, karena untuk setiap bilangan bulat ''a'', ''b'', dan ''c'', (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')
[[Bilangan rasional]] tak-nol membentuk grup di bawah operasi [[perkalian]]. Di sini, elemen identitas adalah 1, karena 1 × ''a'' = ''a'' × 1 = ''a'' untuk setiap [[bilangan rasional]] ''a''. Invers dari ''a'' adalah 1/''a'', karena ''a'' × 1/''a'' = 1.
Meskipun demikian, bilangan bulat di bawah operasi perkalian tidaklah membentuk sebuah grup. Hal ini karena invers perkalian suatu bilangan bulat tidaklah menghasilkan bilangan bulat. Misalnya, 4 adalah bilangan bulat, tetapi invers perkaliannya adalah ¼, yang tentu saja bukan merupakan bilangan bulat.
Teori mengenai grup dipelajari dalam [[teori grup]]. Hasil utama dalam teori ini adalah [[klasifikasi grup-grup sederhana berhingga]], sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan tahun 1983, yang memisahkan [[grup sederhana|grup-grup sederhana]] [[himpunan berhingga|berhingga]] menjadi kira-kira 30 jenis dasar.
[[Semigrup]], [[kuasigrup]], dan [[monoid]] adalah struktur-struktur yang serupa dengan grup, tetapi bersifat lebih umum. Mereka memuat sebuah himpunan dan satu operasi biner tertutup, tetapi tidak perlu memenuhi persyaratan lainnya. [[Semigrup]] memiliki operasi biner ''asosiatif'', tetapi tidak memiliki elemen identitas. [[Monoid]] adalah semigrup yang memiliki elemen identitas, tetapi tidak memiliki invers untuk setiap elemen. [[Kuasigrup]] memenuhi persyaratan bahwa sembarang elemen dapat diubah menjadi elemen yang lain dengan perkalian-kiri atau perkalian-kanan yang tunggal; tetapi operasi binernya mungkin tidak bersifat asosiatif.
Semua grup adalah monoid, dan semua monoid adalah semigrup.
{| class="wikitable"
|+Contoh
|-
!Himpunan
| colspan=2|[[Bilangan asli]] '''N'''
| colspan=2|[[Bilangan bulat]] '''Z'''
| colspan=4|[[Bilangan rasional]] '''Q''' (juga [[Bilangan real]] '''R''' dan [[Bilangan kompleks|kompleks]] '''C''')
| colspan=2|[[Aritmetika modular|Modulo]] bilangan bulat 3: '''Z'''<sub>3</sub> = {0, 1, 2}
|-
!Operasi
| +
| × (tak-nol)
| +
| × (tak-nol)
| +
| −
| × (tak-nol)
| ÷ (tak-nol)
| +
| × (tak-nol)
|-
!Tertutup
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
|-
| Identitas
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| Tidak ada
| 1
| Tidak ada
| 0
| 1
|-
| Invers
| Tidak ada
| Tidak ada
| −''a''
| Tidak ada
| −''a''
| Tidak ada
| 1/''a''
| Tidak ada
| masing-masing: 0, 2, 1
| masing-masing: Tidak ada, 1, 2
|-
| Asosiatif
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Tidak
| Ya
| Tidak
| Ya
| Ya
|-
| Komutatif
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Ya
| Tidak
| Ya
| Tidak
| Ya
| Ya
|-
| Struktur
| [[monoid]]
| [[monoid]]
| [[grup abelian]]
| [[monoid]]
| [[grup abelian]]
| [[kuasigrup]]
| [[grup abelian]]
| [[kuasigrup]]
| [[grup abelian]]
| [[grup abelian]] ('''Z'''<sub>2</sub>)
|}
=== Gelanggang dan Lapangan ===
{{utama|Gelanggang (matematika)|Medan (matematika)}}
{{lihat pula|Teori gelanggang|Glosarium teori gelanggang|Glosarium teori medan}}
Grup hanya memiliki satu operasi biner. Untuk menjelaskan sepenuhnya perilaku jenis-jenis bilangan yang berbeda, struktur-struktur dengan dua operator haruslah dipelajari. Yang paling penting darinya adalah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], dan [[Medan (matematika)|medan]].
Sebuah '''[[Gelanggang (matematika)|gelanggang]]''' memiliki dua [[Operasi biner]] (+) dan (×), dengan × distributif atas +. Di bawah operator pertama (+), ia membentuk ''grup abelian''. Di bawah operator kedua (×), ia bersifat asosiatif, tetapi tidak harus memiliki identitas atau invers, sehingga perbagian tidaklah diperlukan. Elemen identitas penjumlahan (+) ditulis sebagai 0 dan invers penjumlahan dari ''a'' ditulis sebagai −a. Perhatikan bahwa operasi tersebut bisa merupakan operasi abstrak apa saja yang didefinisikan.
'''[[Distributif|Sifat distributif]]''' memperumum ''hukum distributif'' untuk bilangan. Untuk bilangan bulat {{nowrap|1=(''a'' + ''b'') × ''c'' = ''a'' × ''c'' + ''b'' × ''c''}} dan {{nowrap|1=''c'' × (''a'' + ''b'') = ''c'' × ''a'' + ''c'' × ''b'',}} dan × dikatakan ''distributif'' di atas +.
Bilangan bulat adalah contoh dari gelanggang. Bilangan bulat memiliki sifat-sifat penjumlahan yang membuatnya sebagai '''[[domain integral]]''', atau '''daerah bilangan bulat''', atau '''ranah bilangan bulat,'''.
Sebuah '''[[medan (matematika)|medan atau lapangan]]''' adalah ''gelanggang'' dengan sifat perjumlahan bahwa semua elemen tak-nol membentuk ''grup abelian'' di bawah ×. Identitas perkalian (×) ditulis sebagai 1 dan invers perkalian dari ''a'' ditulis sebagai ''a''<sup>−1</sup>.
Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks adalah contoh-contoh lapangan.
== Catatan ==
{{reflist|30em}}
== Referensi ==
* {{Citation|last=Boyer|first=Carl B.|title=A History of Mathematics|year=1991|author-link=Carl Benjamin Boyer|authorlink=Carl Benjamin Boyer|edition=Second|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-54397-7|ISBN=0-471-54397-7}}More than one of <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|author-link=</code>, <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|author-link=</code>, dan <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|authorlink=</code> specified ([[Bantuan:CS1 errors#redundant parameters|bantuan]]); More than one of <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|ISBN=</code> dan <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|isbn=</code> specified ([[Bantuan:CS1 errors#redundant parameters|bantuan]]) * Donald R. Hill, ''Islam Sains dan Teknik'' (Edinburgh University Press, 1994).
* Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, dan Borin Van Loon, ''Memperkenalkan Matematika'' (Totem Buku, 1999).
* George Gheverghese Joseph, ''Puncak Merak: Non-Eropa Akar Matematika'' (Penguin Books, 2000).
* John J o'connor dan Edmund F Robertson, [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Algebra.html ''Sejarah Topik: Aljabar Indeks'']. Di ''MacTutor History of Mathematics arsip'' (University of St Andrews, 2005).
* I. N. Herstein: ''Topik dalam Aljabar''. ISBN 0-471-02371-X
* R. B. J. T. Allenby: ''Cincin, Bidang dan Kelompok''. ISBN 0-340-54440-6
* [[Leonhard Euler|L. Euler]]: ''[http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ unsur-Unsur dari Aljabar] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |date=2011-04-13 }}'', ISBN 978-1-899618-73-6
* {{Cite book|title=Realm of Algebra|url=https://archive.org/details/realmofalgebra00asim|last=Asimov|first=Isaac|publisher=Houghton Mifflin|year=1961|author-link=Isaac Asimov}}
== Pranala luar ==
* [http://www.khanacademy.org/math/algebra Khan Academy: Konseptual video dan contoh bekerja]
* [https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra Khan Academy: asal-Usul Aljabar, online gratis micro kuliah] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130509005401/https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra |date=2013-05-09 }}
* [http://algebrarules.com Algebrarules.com: open source sumber daya untuk belajar dasar-dasar Aljabar]
* [http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 4000 Tahun dari Aljabar] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071004172100/http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 |date=2007-10-04 }}, kuliah oleh Robin Wilson, di Gresham College, 17 oktober 2007 (tersedia untuk MP3 dan MP4 download, juga sebagai file teks).
* (Inggris)<span id="cxmwA_Q" tabindex="0"> Entri </span>[http://plato.stanford.edu/entries/{{{1}}} Algebra]{{Pranala mati|date=Januari 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}<span id="cxmwA_Q" tabindex="0"> di </span>''[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]''
{{Bidang matematika|collapsed}}
[[
[[Kategori:Halaman dengan rujukan yang memiliki parameter duplikat]]
| |||