Wikipedia

Geometri diferensial: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Reindra (bicara | kontrib)
Peninjau
15.568 suntingan
lanjut
Kim Nansa (bicara | kontrib)
3.008 suntingan
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan.
Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala
 
(37 revisi perantara oleh 11 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
[[Berkas:Hyperbolic triangle.svg|jmpl|250px|ka|Sebuah segitiga yang melekat pada bidang lengkung berbentuk pelana kuda ([[paraboloid]]), juga dua garis [[geometri hiperbola|ultra-sejajar]] yang divergen.]]
{{inuse}}
'''Geometri diferensial''' adalah sebuah disiplin [[matematika]] yang menggunakan teknik-teknik [[kalkulus diferensial]] dan [[kalkulus integral]], juga [[aljabar linear]] dan [[aljabar multilinear]], hingga masalah-masalah kajian dalam [[geometri]]. Teori [[geometri diferensial kurva|kurva]] ruang dan bidang dalam [[ruang euklides]] tiga dimensi membentuk basis untuk pengembangan geometri diferensial pada abad ke-18 dan abad ke-19. Sejak akhir abad ke-19, geometri diferensial telah berkembang menjadi sebuah lapangan yang memperhatikan secara lebih umum dengan struktur geometri pada [[lipatan terdiferensialkan]]. Geometri diferensial berhubungan dekat dengan [[topologi diferensial]], dan dengan aspek-aspek geometri pada teori [[persamaan diferensial]]. [[Geometri diferensial permukaan]] menangkap banyak gagasan penting dan karakteristik teknik pada lapangan ini.
[[Berkas:Hyperbolic triangle.svg|thumb|250px|right|Sebuah segitiga yang terbenam dalam bidang berbentuk pelana kuda ([[paraboloid]]), juga dua garis [[geometri hiperbola|ultra-sejajar]] yang divergen.]]
 
'''Geometri diferensial''' adalah sebuah disiplin [[mathematika]] yang menggunakan teknik-teknik [[kalkulus diferensial]] dan [[kalkulus integral]], juga [[aljabar linear]] dan [[aljabar multilinear]], hingga masalah-masalah kajian dalam [[geometri]]. Teori [[geometri diferensial kurva|kurva]] ruang dan bidang dalam [[ruang euklides]] tiga dimensi membentuk basis untuk pengembangan geometri diferensial pada abad ke-18 dan abad ke-19. Sejak akhir abad ke-19, geometri diferensial telah berkembang menjadi sebuah lapangan yang memperhatikan secara lebih umum dengan struktur geometri pada [[lipatan terdiferensialkan]]. Geometri diferensial berhubungan dekat dengan [[topologi diferensial]], dan dengan aspek-aspek geometri pada teori [[persamaan diferensial]]. [[Geometri diferensial permukaan]] menangkap banyak gagasan penting dan karakteristik teknik pada lapangan ini.
== Sejarah perkembangan ==
{{Synthesis|bagian|date=Agustus 2020}}
Geometri diferensial muncul dan berkembang sebagai hasil dari dan sehubungan dengan analisis matematis kurva dan permukaan.<ref>http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Differential_geometry {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20191104001304/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Differential_geometry |date=2019-11-04 }} be</ref> Analisis matematis dari kurva dan permukaan telah dikembangkan untuk menjawab beberapa pertanyaan yang mengganggu dan tak terjawab yang muncul di [[kalkulus]], seperti alasan hubungan antara bentuk dan kurva kompleks, deret dan fungsi analitik. Pertanyaan yang belum terjawab ini menunjukkan hubungan yang lebih besar dan tersembunyi.
 
Ide umum persamaan natural untuk mendapatkan kurva dari kelengkungan lokal tampaknya pertama kali dipertimbangkan oleh [[Leonhard Euler]] pada tahun 1736, dan banyak contoh dengan perilaku yang cukup sederhana dipelajari pada tahun 1800.<ref>{{cite book|last=Wolfram|first=Stephen|title=Jenis Ilmu Baru|publisher=Wolfram Media, Inc.|year=2002|page=[https://archive.org/details/newkindofscience00wolf/page/1009 1009]|isbn=978-1-57955-008-0|url-access=registration|url=https://archive.org/details/newkindofscience00wolf/page/1009}}</ref>
 
Ketika kurva, permukaan yang dikelilingi oleh kurva, dan titik pada kurva ditemukan secara kuantitatif, dan umumnya, terkait dengan bentuk matematika, studi formal tentang sifat kurva dan permukaan menjadi bidang studi tersendiri, dengan makalah [[Gaspard Monge#Work|Monge]] pada tahun 1795, dan terutama, dengan publikasi artikelnya oleh [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], berjudul 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas', di ''Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores'' tahun 1827.<ref>'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas' (terjemahan literal dari bahasa Latin: Investigasi Umum Permukaan Lengkung), ''Komentar Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores'' (secara harfiah, Perspektif Terkini, Perkumpulan Ilmu Pengetahuan Kerajaan Gottingen). Volume VI, hlm. 99–146. Terjemahan dari karya, oleh A.M.Hiltebeitel dan J.C. Morehead, berjudul, "Investigasi Umum Permukaan Lengkung" diterbitkan 1965 oleh Raven Press, New York. Versi digitalnya tersedia di http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/abr1255.0001.001 {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220528171709/https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/abr1255.0001.001 |date=2022-05-28 }} untuk diunduh gratis, untuk penggunaan pribadi non-komersial. Jika ada informasi lebih lanjut, perpustakaan dapat dihubungi.
 
Selain itu, artikel Wikipedia tentang [[Carl Friedrich Gauss#Writings|Gauss's works]] pada tahun 1827 dapat dilihat di.</ref>
 
Awalnya diterapkan ke ruang Euclidean, eksplorasi lebih lanjut mengarah ke ruang non-Euclidean, dan [[ruang metrik]] dan topologi..
 
== Cabang-cabang geometri diferensial ==
=== Geometri Riemannian ===
{{utama|Geometri Riemannian}}
Geometri Riemannian mengkaji [[lipatan Riemannian]], [[lipatan mulus]] dengan ''metrik Riemannian''. Ini adalah sebuah konsep tentang jarak yang disajikan dalam artian [[bentuk bilinear simetris]] [[bentuk kuadratik definit|definit positif]] [[fungsi mulus|mulus]] yang terdefinisi pada ruang tangen pada tiap-tiap titik. Geometri Riemannian memperumum [[geometri euklides]] kepada ruang-ruang yang tidak harus datar/rata (flat), meskipun mereka masih menyerupai [[ruang euklides]] pada tiap-tiap titik secara infinitesimal, yaitu dalam hampiran orde satu. Berbagai konsep yang didasarkan pada panjang, seperti [[panjang lengkungan]] suatu [[kurva]], [[luas]] suatu bidang, dan [[volume]] suatu padatan; semuanya memiliki analogi natural dalam geometri Riemannian. Gagasan tentang [[turunan berarah]] suatu fungsi dari [[kalkulus peubah banyak]] diperluas dalam geometri Riemannian menjadi gagasan [[turunan kovarian]] suatu [[tensor]]. Ada banyak konsep dan teknik analisis dan persamaan diferensial yang telah diperumum untuk berurusan dengan lipatan Riemannian.
 
[[Difeomorfisma]] yang mengawetkan jarak antara lipatan-lipatan Riemannian disebut [[isometri]]. Gagasan ini dapat pula didefinisikan secara ''lokal'', yaitu untuk lingkungan titik-titik yang kecil. Dua kurva beraturan sembarang adalah isometris secara lokal. Tetapi, [[Theorema Egregium]] yang diajukan [[Carl Friedrich Gauss]] menunjukkan bahwa untuk permukaan, keujudan suatu isometri lokal memaksakan kondisi-kondisi kompatibilitas yang kuat pada metrik-metrik mereka: [[kurvatur Gaussian]] pada titik-titik yang bersesuaian pastilah sama. Dalam dimensi yang lebih tinggi, [[tensor kurvatur Riemann]] adalah suatu invarian titik-demi-titik yang penting yang berasosiasi dengan lipatan Riemannian yang mengukur seberapa dekat ia untuk dikatakan datar/rata. Sebuah kelas penting lipatan Riemannian adalah [[ruang simetris Riemannian]], yang kurvaturnya tidak harus konstan. Hal ini adalah analog terdekat dengan bidang dan ruang "biasa" yang diperhatikan dalam [[geometri euklides]] dan non-euklides.
 
=== Geometri Riemaniann semu ===
[[Lipatan Riemannian semu|Geometri Riemannian semu]] memperumum geometri Riemannian kepada kasus di mana [[tensor metrik]] tidak harus [[bentuk kuadratik definit|definit positif]]. Sebuah kasus khusus hal ini adalah "Lipatan Lorentzian", yakni basis matematika untuk [[relativitas umum|teori relativitas umum tentang gravitasi]]-nya Einstein.
<!--
[[pseudo-Riemannian manifold|Pseudo-Riemannian geometry]] generalizes Riemannian geometry to the case in which the [[metric tensor]] need not be [[Definite bilinear form|positive-definite]].
A special case of this is a [[Lorentzian manifold]], which is the mathematical basis of Einstein's [[General relativity|general relativity theory of gravity]].
-->
 
=== Geometri Finsler ===
Geometri Finsler memiliki ''[[Lipatan Finsler]]'' sebagai objek kajian utama. Ini adalah lipatan diferensial dengan suatu metrik Finsler, yaitu [[ruang Banach|norma Banach]] yang terdefinisi pada tiap-tiap ruang tangen. Metrik Finsler adalah struktur yang jauh lebih umum daripada metrik Riemannian. Struktur Finsler pada suatu lipatan ''M'' adalah fungsi ''F'': T''M'' → [0,∞) sedemikian sehingga:
<!--
# ''F''(''x'', ''my'') = ''|m|F''(''x'',''y'') untuk setiap ''x'', ''y'' pada T''M'',
[[Finsler geometry]] has the ''Finsler manifold '' as the main object of study. This is a differential manifold with a [[Finsler metric]], i.e. a [[Banach norm]] defined on each tangent space. A Finsler metric is a much more general structure than a Riemannian metric. A Finsler structure on a manifold ''M'' is a function ''F'' : T''M'' → [0,∞) such that:
# ''F'' adalah terdiferensialkan secara tak-hingga pada T''M'' − {0},
# ''F''(''x'', ''my'') = ''|m|F''(''x'',''y'') for all ''x'', ''y'' in T''M'',
# Hessian vertikal dari ''F''<sup>2</sup> adalah definit positif.
# ''F'' is infinitely differentiable in T''M'' − {0},
# The vertical Hessian of ''F''<sup>2</sup> is positive definite.
-->
 
=== Geometri simplektis ===
{{utama|Geometri simplektis}}
<!--
[[Geometri simplektis]] adalah kajian tentang [[lipatan simplektis]]. '''Lipatan yang hampir simplektis''' adalah lipatan terdiferensialkan yang diperlengkapi dengan [[bentuk bilinear]] [[matriks asimetris]] [[bentuk degenerat|non-degenerat]] [[fungsi mulus|bervariasi mulus]] pada tiap-tiap ruang tangen, yaitu [[bentuk diferensial|bentuk]]-2 ''ω'' non-degenerat, yang disebut ''bentuk simplektis''. Lipatan simplektis adalah lipatan yang hampir simplektis di mana bentuk simplektis ''ω'' adalah tertutup: d''ω'' = 0.
{{main|Symplectic geometry}}
 
[[Difeomorfisma]] antara dua lipatan simplektis yang mengawetkan bentuk symplektis disebut [[simplektomorfisma]]. Bentuk bilinear asimetris non-degenerat hanya dapat ujud pada [[ruang vektor]] berdimensi genap, sehingga lipatan simplektis haruslah berdimensi genap. Dalam dimensi 2, lipatan simplektis hanyalah [[permukaan]] yang disertai dengan sebentuk luasan, dan simplektomorfisma adalah difeomorfisma yang mengawetkan luas. [[Ruang fasa]] suatu sistem mekanik adalah lipatan simplektis dan mereka hadir secara tersirat dalam karya [[Joseph Louis Lagrange]] tentang [[mekanika analitik]] dan kemudian dalam [[mekanika Hamiltonian]] karya [[Carl Gustav Jacobi]] dan [[William Rowan Hamilton]].
[[Symplectic geometry]] is the study of [[symplectic manifold]]s. An '''almost symplectic manifold''' is a differentiable manifold equipped with a [[smooth function|smoothly varying]] [[non-degenerate]] [[skew-symmetric matrix|skew-symmetric]] [[bilinear form]] on each tangent space, i.e., a nondegenerate 2-[[Differential form|form]] ''ω'', called the ''symplectic form''. A symplectic manifold is an almost symplectic manifold for which the symplectic form ''ω'' is closed: d''ω'' = 0.
 
Berbeda dengan geometri Riemannian, di mana [[kurvatur]] menyediakan invarian lokal dari lipatan Riemannian, [[teorema Darboux]] menyatakan bahwa semua lipatan simplektis adalah isomorfik secara lokal. Invarian-invarian suatu lipatan simplektis adalah global pada sifatnya dan aspek-aspek topologi menainkan peran yang penting dalam geometri simplektis. Hasil pertama dalam topologi simplektis adalah (barangkali) [[teorema Poincaré-Birkhoff]], yang diperdugakan oleh [[Henri Poincaré]] dan kemudian dibuktikan oleh [[G.D. Birkhoff]] pada tahun 1912. Teorema ini mendaku bahwa jika suatu luasan yang mengawetkan peta dari suatu [[anulus (matematika)|anulus]] melilit tiap-tiap komponen perbatasan dalam arah yang bertentangan, maka peta tersebut memiliki paling sedikit dua titik tetap.<ref>Adalah mudah untuk membuktikan bahwa luasan itu mengawetkan syarat (atau syarat lilit) tidak dapat dihilangkan. Dengan catatan bahwa jika seseorang berupaya memperluas teorema ini ke dimensi yang lebih besar, maka orang tersebut mungkin akan menduga bahwa suatu volume yang mengawetkan peta suatu jenis tertentu mestilah memiliki titik tetap. Ini gagal untuk dimensi yang lebih besar daripada 3.</ref>
A [[diffeomorphism]] between two symplectic manifolds which preserves the symplectic form is called a [[symplectomorphism]]. Non-degenerate skew-symmetric bilinear forms can only exist on even dimensional vector spaces, so symplectic manifolds necessarily have even dimension. In dimension 2, a symplectic manifold is just a [[surface]] endowed with an area form and a symplectomorphism is an area-preserving diffeomorphism. The [[phase space]] of a mechanical system is a symplectic manifold and they made an implicit appearance already in the work of [[Joseph Louis Lagrange]] on [[analytical mechanics]] and later in [[Carl Gustav Jacobi]]'s and [[William Rowan Hamilton]]'s [[Hamiltonian mechanics|formulations of classical mechanics]].
 
By contrast with Riemannian geometry, where the [[curvature]] provides a local invariant of Riemannian manifolds, [[Darboux's theorem]] states that all symplectic manifolds are locally isomorphic. The only invariants of a symplectic manifold are global in nature and topological aspects play a prominent role in symplectic geometry. The first result in symplectic topology is probably the [[Poincaré-Birkhoff theorem]], conjectured by [[Henri Poincaré]] and then proved by [[G.D. Birkhoff]] in 1912. It claims that if an area preserving map of an [[annulus (mathematics)|annulus]] twists each boundary component in opposite directions, then the map has at least two fixed points.<ref>It is easy to show that the area preserving condition (or the twisting condition) cannot be removed. Note that if one tries to extend such a theorem to higher dimensions, one would probably guess that a volume preserving map of a certain type must have fixed points. This is false in dimensions greater than 3.</ref>
-->
 
=== Geometri kontak ===
{{utama|Geometri kontak}}
<!--
{{main|Contact geometry}}
 
[[Geometri kontak]] berurusan dengan lipatan tertentu yang berdimensi ganjil. Geometri kontak ini dekat dengan geometri simplektis dan seperti yang belakangan, geometri kontak mulai dipertanyakan dalam [[mekanika klasik]]. Suatu ''struktur kontak'' pada lipatan ''M'' berdimensi (2n+1) diberikan oleh sebuah lapangan bidang-hiper mulus ''H'' dalam [[bundel tangen]], yakni sejauh mungkin berasosiasi dengan himpunan level fungsi terdiferensialkan pada ''M'' (istilah teknisnya adalah "distribusi bidang-hiper tak-terintegralkan lengkap "). Di dekat titik ''p'', distribusi bidang-hiper ditentukan oleh [[bentuk diferensial|bentuk-1]] yang tidak menghilang di manapun <math>\alpha</math>, yang unik terhadap perkalian oleh sebuah fungsi yang tidak menghilang di manapun:
[[Geometri kontak]] deals with certain manifolds of odd dimension. It is close to symplectic geometry and like the latter, it originated in questions of classical mechanics. A ''contact structure'' on a (2n + 1) - dimensional manifold ''M'' is given by a smooth hyperplane field ''H'' in the [[tangent bundle]] that is as far as possible from being associated with the level sets of a differentiable function on ''M'' (the technical term is "completely nonintegrable tangent hyperplane distribution"). Near each point ''p'', a hyperplane distribution is determined by a nowhere vanishing [[Differential form|1-form]] <math>\alpha</math>, which is unique up to multiplication by a nowhere vanishing function:
 
: <math> H_p = \ker\alpha_p\subset T_{p}M.</math>
 
ABentuk-1 locallokal 1-form onpada ''M'' is aadalah ''contactbentuk formkontak'' ifjika the restriction of itsbatasan [[exteriorturunan derivativeeksterior]] toterhadap ''H'' isadalah abentuk-dua non-degeneratedegenerat two-formdan anddengan thusdemikian inducesmenginduksi astruktur symplecticsimplektis structure onpada ''H''<sub>''p''</sub> atdi eachtiap-tiap pointtitik. IfJika the distributiondistribusi ''H'' candapat bedidefinisikan definedoleh by abentuk-satu global one-form <math>\alpha</math>, thenmaka thisbentuk formini isadalah contactkontak ifjika anddan onlyhanya ifjika thebentuk topberdimensi-dimensional formpuncak
 
: <math>\alpha\wedge (d\alpha)^n</math>
 
adalah sebuah [[bentuk volume]] pada '''M''', yaitu tidak menghilang di manapun. Sebuah analog kontak dari teorema Darboux menyatakan: semua struktur kontak pada lipatan berdimensi-ganjil adalah isomorfik secara lokal dan dapat dibawa ke bentuk normal lokal tertentu oleh suatu sistem koordinat terpilih yang sesuai.
is a [[volume form]] on '''M''', i.e. does not vanish anywhere. A contact analogue of the Darboux theorem holds: all contact structures on an odd-dimensional manifold are locally isomorphic and can be brought to a certain local normal form by a suitable choice of the coordinate system.
-->
 
=== Geometri kompleks dan Geometri Kähler ===
''Geometri diferensial kompleks'' adalah kajian [[lipatan kompleks]]. Suatu [[lipatan hampir kompleks]] adalah lipatan ''real'' <math>M</math>, yang diperlengkapi dengan [[tensor]] berjenis (1, 1), yaitu [[bundel vektor|endomorfisma bundel vektor]] (disebut ''[[struktur hampir kompleks]]'')
<!--
:<math> J:TM\rightarrow TM </math>, sedemikian sehingga <math>J^2=-1. \,</math>
''Complex differential geometry'' is the study of [[complex manifolds]].
An [[almost complex manifold]] is a ''real'' manifold <math>M</math>, endowed with a [[tensor]] of [[tensor|type]] (1, 1), i.e. a [[vector bundle|vector bundle endomorphism]] (called an ''[[almost complex structure]]'')
:<math> J:TM\rightarrow TM </math>, such that <math>J^2=-1. \,</math>
 
Berdasarkan definisi berikut ini, suatu lipatan hampir kompleks adalah berdimensi genap.
It follows from this definition that an almost complex manifold is even dimensional.
 
Lipatan hampir kompleks dikatakan ''kompleks'' jika <math>N_J=0</math>, di mana <math>N_J</math> adalah tensor berjenis (2, 1) yang berhubungan dengan <math>J</math>, yang disebut [[tensor Nijenhuis]] (atau kadang-kadang ''torsi''). Lipatan hampir kompleks adalah kompleks jika dan hanya jika ia mengizinkan [[atlas (topologi)|koordinat atlas]] [[holomorfik]]. ''[[Lipatan Hermitian|Struktur hampir Hermitian]]'' diberikan oleh struktur hampir kompleks ''J'', bersama-sama dengan [[metrik Riemannian]] ''g'', memenuhi syarat kompatibilitas
An almost complex manifold is called ''complex'' if <math>N_J=0</math>, where <math>N_J</math> is a tensor of type (2, 1) related to <math>J</math>, called the [[Nijenhuis tensor]] (or sometimes the ''torsion'').
:<math>g(JX,JY)=g(X,Y) \,</math>.
An almost complex manifold is complex if and only if it admits a [[holomorphic]] [[Atlas (topology)|coordinate atlas]].
An ''[[Hermitian manifold|almost Hermitian structure]]'' is given by an almost complex structure ''J'', along with a [[Riemannian metric]] ''g'', satisfying the compatibility condition
:<math>g(JX,JY)=g(X,Y) \,</math>.
 
Struktur hampir Hermitian mendefinisikan secara natural suatu [[bentuk diferensial|bentuk-dua diferensial]]
An almost Hermitian structure defines naturally a [[differential form|differential two-form]]
:<math>\omega_{J,g}(X,Y):=g(JX,Y) \,</math>.
 
Dua syarat berikut ini adalah ekivalen:
The following two conditions are equivalent:
 
# <math> N_J=0\mbox{ and }d\omega=0 \,</math>
# <math>\nabla J=0 \,</math>
 
wheredi mana <math>\nabla</math> is theadalah [[koneksi Levi-Civita connection]] ofdari <math>g</math>. InDalam thiskasus caseini, <math>(J, g)</math> is called adisebut ''[[lipatan Kaehler|struktur manifold|Kähler structure]]'', and adan ''lipatan Kähler manifold'' isadalah alipatan manifoldyang endoweddiperlengkapi withdengan astruktur Kähler structure. Secara In particularkhusus, alipatan Kähler manifold is both a complex and aadalah [[symplecticlipatan manifoldsimplektis]] dan kompleks. AKelas largeyang classlebih ofbesar Kählerdari manifoldslipatan Kähler (the class ofkelas [[lipatan Hodge manifold]]s) isdiberikan givenoleh by all the smoothsemua [[algebraicgeometri geometryaljabar|complexvarietas projectiveprojektif varietieskompleks]] mulus.
-->
 
=== Geometri CR ===
[[Lipatan CR|Geometri CR]] adalah kajian geometri intrinsik dari batas-batas domain di dalam [[lipatan kompleks]].
<!--
[[CR structure|CR geometry]] is the study of the intrinsic geometry of boundaries of domains in [[complex manifold]]s.
-->
 
=== Topologi diferensial ===
[[Topologi diferensial]] adalah kajian invarian geometris (global) tanpa bentuk metrik atau simplektis. Topologi diferensial bermula dari operasi-operasi natural, seperti [[turunan Lie]] dari [[bundel vektor]] natural dan [[turunan eksterior|diferensial de Rham]] dari [[bentuk diferensial]]. Selain [[algebroid Lie]], juga [[algebroid Courant]] mulai memainkan peran yang lebih penting.
<!--
[[Differential topology]] is the study of (global) geometric invariants without a metric or symplectic form. It starts from the natural operations such as [[Lie derivative]] of natural [[vector bundle]]s and [[Exterior derivative|de Rham differential]] of [[Differential form|forms]]. Beside [[Lie algebroid]]s, also [[Courant algebroid]]s start playing a more important role.
-->
 
=== Grup Lie ===
[[Grup Lie]] adalah [[grup (matematika)|grup]] di dalam kategori lipatan mulus. Di samping sifat-sifat aljabar, grup Lie juga memanfaatkan sifat-sifat geometri diferensial. Konstruksi yang paling jelas adalah bahwa aljabar Lie yakni ruang tangen pada unit yang diperlengkapi dengan kurung Lie di antara [[lapangan vektor|lapangan-lapangan vektor]] invarian-kiri. Di samping teori struktur, terdapat juga lapangan luas [[representasi grup Lie|teori representasi]].
<!--
A [[Lie group]] is a [[Group (mathematics)|group]] in the category of smooth manifolds. Beside the algebraic properties this enjoys also differential geometric properties. The most obvious construction is that of a Lie algebra which is the tangent space at the unit endowed with the Lie bracket between left-invariant [[vector field]]s. Beside the structure theory there is also the wide field of [[representation of a Lie group|representation theory]].
-->
 
== Bundel dan koneksi ==
<!--
The apparatus of [[vector bundle]]s, [[principal bundle]]s, and [[connection (mathematics)|connection]]s on bundles plays an extraordinarily important role in modern differential geometry. A smooth manifold always carries a natural vector bundle, the [[tangent bundle]]. Loosely speaking, this structure by itself is sufficient only for developing analysis on the manifold, while doing geometry requires, in addition, some way to relate the tangent spaces at different points, i.e. a notion of [[parallel transport]]. An important example is provided by [[affine connection]]s. For a [[surface]] in '''R'''<sup>3</sup>, tangent planes at different points can be identified using a natural path-wise parallelism induced by the ambient Euclidean space, which has a well-known standard definition of metric and parallelism. In [[Riemannian geometry]], the [[Levi-Civita connection]] serves a similar purpose. (The Levi-Civita connection defines path-wise parallelism in terms of a given arbitrary Riemannian metric on a manifold.) More generally, differential geometers consider spaces with a vector bundle and an arbitrary affine connection which is not defined in terms of a metric. In physics, the manifold may be the [[spacetime|space-time continuum]] and the bundles and connections are related to various physical fields.
-->
 
Aparatus [[bundel vektor]], [[bundel utama]], dan [[koneksi (matematika)|koneksi]] pada berkas memainkan peran yang luar biasa penting dalam geometri diferensial modern. Lipatan halus selalu membawa bundel vektor alami, [[bundel tangen]]. Secara longgar, struktur ini dengan sendirinya cukup hanya untuk mengembangkan analisis pada manifold, saat melakukan geometri membutuhkan, sebagai tambahan, beberapa cara untuk menghubungkan ruang singgung pada titik yang berbeda, yaitu pengertian [[transportasi paralel]]. Contoh penting diberikan oleh [[affine connection]]. Untuk [[Permukaan (topologi)|permukaan]] pada '''R'''<sup>3</sup>, bidang singgung di berbagai titik dapat diidentifikasi menggunakan paralelisme jalur-bijaksana alami yang disebabkan oleh ruang Euclidean ambien, yang memiliki definisi standar metrik dan paralelisme yang terkenal. Dalam [[geometri Riemannian]], [[hubungan Levi-Civita]] memiliki tujuan yang sama. (Sambungan Levi-Civita mendefinisikan paralelisme jalur-bijaksana dalam hal metrik Riemannian sewenang-wenang tertentu pada). Lebih umum, geometer diferensial mempertimbangkan ruang dengan bundel vektor dan koneksi affine sewenang-wenang yang tidak didefinisikan dalam istilah metrik. Dalam fisika, manifoldnya mungkin [[ruang-waktu|kontinum ruang-waktu]] dan bundel serta koneksi terkait dengan berbagai bidang fisik.
== Intrinsik versus ekstrinsik ==
<!--
From the beginning and through the middle of the 18th century, differential geometry was studied from the ''extrinsic'' point of view: [[curve]]s and [[surface]]s were considered as lying in a [[Euclidean space]] of higher dimension (for example a surface in an [[ambient space]] of three dimensions). The simplest results are those in the [[differential geometry of curves]] and [[differential geometry of surfaces]]. Starting with the work of [[Bernhard Riemann|Riemann]], the ''intrinsic'' point of view was developed, in which one cannot speak of moving "outside" the geometric object because it is considered to be given in a free-standing way. The fundamental result here is Gauss's [[theorema egregium]], to the effect that [[Gaussian curvature]] is an intrinsic invariant.
 
The intrinsic point of view is more flexible. For example, it is useful in relativity where space-time cannot naturally be taken as extrinsic (what would be "outside" of it?). With the intrinsic point of view it is harder to define the central concept of [[curvature]] and other structures such as [[connection (mathematics)|connections]], so there is a price to pay.
 
These two points of view can be reconciled, i.e. the extrinsic geometry can be considered as a structure additional to the intrinsic one. (See the [[Nash embedding theorem]].)
-->
 
== Terapan ==
<!--
Below are some examples of how differential geometry is applied to other fields of science and mathematics.
*In [[physics]], three uses will be mentioned:
**Differential geometry is the language in which [[Einstein|Einstein's]] [[general theory of relativity]] is expressed. According to the theory, the universe is a smooth manifold equipped with a pseudo-Riemannian metric, which describes the [[curvature]] of [[space-time]]. Understanding this curvature is essential for the positioning of [[satellites]] into orbit around the earth. Differential geometry is also indispensable in the study of [[gravitational lensing]] and [[black holes]].
**[[Differential forms]] are used in the study of [[electromagnetism]].
**Differential geometry has applications to both [[Lagrangian mechanics]] and [[Hamiltonian mechanics]]. [[Symplectic manifold]]s in particular can be used to study [[Hamiltonian system]]s.
*In [[economics]], differential geometry has applications to the field of [[econometrics]].<ref>Paul Marriott and Mark Salmon (editors), "Applications of Differential Geometry to Econometrics", Cambridge University Press; 1 edition (September 18, 2000).</ref>
*[[Geometric modeling]] (including [[computer graphics]]) and [[computer-aided geometric design]] draw on ideas from differential geometry.
*In [[engineering]], differential geometry can be applied to solve problems in [[digital signal processing]].<ref>Jonathan H. Manton, "On the role of differential geometry in signal processing" [http://ieeexplore.ieee.org/iel5/9711/30654/01416480.pdf?arnumber=1416480].</ref>
* In [[probability]], [[statistics]], and [[information theory]], one can interpret various structures as Riemannian manifolds, which yields the field of [[information geometry]], particularly via the [[Fisher information metric]].
*In [[structural geology]], differential geometry is used to analyze and describe geologic structures.
*In [[computer vision]], differential geometry is used to analyze shapes.<ref>Mario Micheli, "The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature", http://www.math.ucla.edu/~micheli/PUBLICATIONS/micheli_phd.pdf</ref>
*In [[image processing]], differential geometry is used to process and analyse data on non-flat surfaces.<ref>Anand A. Joshi, "Geometric methods for image processing and signal analysis", [http://users.loni.ucla.edu/~ajoshi/final_thesis.pdf]</ref>
*[[Grigori Perelman]]'s proof of the [[Poincaré conjecture]] using the techniques of [[Ricci flow]]s demonstrated the power of the differential-geometric approach to questions in [[topology]] and it highlighted the important role played by its analytic methods.
-->
 
== Lihat pula ==
{{div col|colwidth=15em}}
<!--
* [[Geometri diferensial abstrak]]
*[[Integral geometry]]
* [[Affin geometri diferensial]]
*[[List of differential geometry topics]]
* [[Analisis fraktal]]
*[[Glossary of differential geometry and topology]]
* [[Pengenalan dasar matematika ruangwaktu melengkung]]
*[[List of publications in mathematics#Differential geometry|Important publications in differential geometry]]
* [[Geometri diferensial deskret]]
* [[List of publications in mathematics#Differential topology|Important publications in differential topology]]
* [[Gauss]]
*[[Basic introduction to the mathematics of curved spacetime]]
* [[Glosarium geometri dan topologi diferensial]]
*[[Affine differential geometry]]
* [[Daftar terbitan matematika#Geometri diferensial|Publikasi penting dalam geometri diferensial]]
*[[Projective differential geometry]]
* [[Daftar publikasi dalam matematika#Topologi diferensial|Publikasi penting dalam topologi diferensial]]
*[[Noncommutative geometry]]
* [[Geometri integral]]
*[[Synthetic differential geometry]]
* [[Daftar topik geometri diferensial]]
*[[Abstract differential geometry]]
* [[Geometri nonkomunikasi]]
*[[Discrete differential geometry]]
* [[Geometri diferensial proyektif]]
*[[Analysis on fractals]]
* [[Geometri diferensial sintetis]]
-->
* [[Geometri sistolik]]
* [[Teori pengukuran (matematika)]]
{{div col end}}
 
== Referensi ==
Baris 141 ⟶ 107:
 
== Bacaan lanjutan ==
* {{cite book|title = Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds|author= Wolfgang Kühnel|edition = 2nd ed.|year = 2002|isbn = 0-8218-3988-8}}
* {{cite book|title = The geometry of physics: an introduction|author= Theodore Frankel|edition = 2nd ed.|year = 2004|isbn = 0-521-53927-7}}
* {{cite book|title = A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) | edition = 3rd Edition|first = Michael | last = Spivak | year = 1999}}
* {{cite book |title = Differential Geometry of Curves and Surfaces|first = Manfredo|last = do Carmo| isbn = 0-13-212589-7 | year = 1976}} Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
* {{cite book |title = Differential Geometry|url = https://archive.org/details/differentialgeom0000krey|first = Erwin |last = Kreyszig | isbn = 0-486-66721-9 | year = 1991}} Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
* {{cite book|title = Riemannian Geometry|first=Manfredo Perdigao | last = do Carmo | translator = Francis Flaherty | year = 1994}}
* {{cite book|title = Geometry from a Differentiable Viewpoint|url = https://archive.org/details/geometryfromdiff0000mccl|first = John |last = McCleary | year = 1994}}
* {{cite book|title = A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry|first = Ethan D.|last = Bloch | year = 1996}}
* {{cite book|title = Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica|edition = 2nd ed.|first = Alfred|last = Gray| year = 1998}}
* {{cite book|title = Applied Differential Geometry|url = https://archive.org/details/applieddifferent0000burk|first = William L.|last = Burke|year = 1985}}
* {{cite book|title = Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis| first = Bart M. |last = ter Haar Romeny |isbn = 1-4020-1507-0|year = 2003}}
 
== Pranala luar ==
* [http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/ B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141009113911/http://math.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/ |date=2014-10-09 }}
* [http://www.maths.adelaide.edu.au/michael.murray/teaching_old.html Michael Murray's online differential geometry course, 1996] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130801003701/http://www.maths.adelaide.edu.au/michael.murray/teaching_old.html |date=2013-08-01 }}
* [http://VirtualMathMuseum.org/Surface/a/bk/curves_surfaces_palais.pdf A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190409063941/http://virtualmathmuseum.org/ |date=2019-04-09 }}
* [http://VirtualMathMuseum.org/ Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190409063941/http://virtualmathmuseum.org/ |date=2019-04-09 }}
* [http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090605054825/http://www.cs.elte.hu/geometry/csikos/dif/dif.html |date=2009-06-05 }}
* [http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~yakov/scanlib/hicks.pdf N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090326215210/http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~yakov/scanlib/hicks.pdf |date=2009-03-26 }}
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-950-differential-geometry-fall-2008/ MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140502005910/http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-950-differential-geometry-fall-2008/ |date=2014-05-02 }}
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Geometri]]
 
[[ar:هندسة تفاضلية]]
[[be:Дыферэнцыяльная геаметрыя]]
[[bg:Диференциална геометрия]]
[[ca:Geometria diferencial]]
[[cs:Diferenciální geometrie]]
[[da:Differentialgeometri]]
[[de:Differentialgeometrie]]
[[el:Διαφορική γεωμετρία]]
[[en:Differential geometry]]
[[es:Geometría diferencial]]
[[eo:Diferenciala geometrio]]
[[eu:Geometria diferentzial]]
[[fa:هندسه دیفرانسیل]]
[[fr:Géométrie différentielle]]
[[gl:Xeometría diferencial]]
[[ko:미분기하학]]
[[hi:अवकल ज्यामिति]]
[[hr:Diferencijalna geometrija]]
[[it:Geometria differenziale]]
[[he:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[ka:დიფერენციალური გეომეტრია და ტოპოლოგია]]
[[hu:Differenciálgeometria]]
[[ms:Geometri pembezaan]]
[[nl:Differentiaalmeetkunde]]
[[ja:微分幾何学]]
[[no:Differensialgeometri]]
[[nn:Differensialgeometri]]
[[pl:Geometria różniczkowa]]
[[pt:Geometria diferencial]]
[[ro:Geometrie diferențială]]
[[ru:Дифференциальная геометрия и топология]]
[[simple:Differential geometry]]
[[sk:Diferenciálna geometria]]
[[fi:Differentiaaligeometria]]
[[sv:Differentialgeometri]]
[[tr:Diferansiyel geometri]]
[[uk:Диференціальна геометрія]]
[[vi:Hình học vi phân]]
[[zh:微分几何]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Geometri_diferensial"