Analisis numerik: Perbedaan antara revisi

Salah satu tulisan matematika terdini adalah tabletloh Babilonia [[YBC 7289]], yang memberikan hampiran numerik [[seksagesimal]] dari <math>\sqrt{2}</math>, panjang diagonal dari persegi satuan.<ref>Hampiran akar dari 2 itu adalah empat angka seksagesimal, yaitu sekitar enam angka desimal: 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.41421296... {{br}}[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Foto, ilustrasi dan deskripsi dari tabletloh ''akar (2) dari koleksi Babilonia Universitas Yale] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |date=2012-08-13 }}</ref>

Analisis numerik melanjutkan tradisi panjang perhitungan praktis matematika ini. Seperti hampiran orang Babilonia terhadap <math>\sqrt{2}</math>, analisis numerik modern tidak mencari jawaban eksak, karena jawaban eksak dalam prakteknyapraktiknya tidak mungkin diperoleh. Sebagai gantinya, kebanyakan analisis numerik memperhatikan bagaimana memperoleh pemecahan hampiran, dalam batas galat yang beralasan.

Analisis numerik secara alami diterapkan di semua bidang [[rekayasa]] dan ilmu-ilmu fisis, namuntetapi pada abad ke-21, ilmu-ilmu hayati dan seni mulai mengadopsi unsur-unsur komputasi ilmiah. [[Persamaan diferensial biasa]] muncul dalam pergerakan benda langit ([[planet]], [[bintang]] dan [[galaksi]]. Optimisasi muncul dalam pengelolaan portofolio. [[Aljabar linear numerik]] sangat penting dalam psikologi kuantitatif. [[Persamaan diferensial stokastik]] dan [[rantai Markov]] penting dalam mensimulasikan sel hidup dalam [[kedokteran]] dan [[biologi]]

Sebelum munculnya komputer modern metode numerik kerap kali tergantung pada interpolasi menggunakan pada tabel besar yang dicetak. Sejak pertengahan abad ke-20, sebagai gantinya, komputer menghitung [[fungsi]] yang diperlukan. Namun algoritmaalgoritme [[interpolasi]] mungkin masih digunakan sebagai bagian dari peranti lunak untuk memecahkan [[persamaan diferensial]].

Tujuan keseluruhan bidang analisis numerisnumerik adalah perancangan dan analisis teknik untuk mendapatkan solusi hampiran yang akurat terhadap masalah-masalah yang sukar. Contoh masalah-masalah tersebut akan dipaparkan di bawah.

* Metode numerisnumerik lanjut sangat penting dalam membuat prakiraan cuaca numerisnumerik yang layak

* Perhitungan trajektori wahana antariksa mensyaratkan pemecahan numerisnumerik yang akurat dari sistem [[persamaan diferensial biasa]].

* Perusahaan otomotif dapat meningkatkan keamanan kendaraan dengan menggunakan simulasi tabrakan kendaraan. Simulasi seperti ini pada dasarnya terdiri dari pemecahan [[persamaan diferensial parsial]] secara numerisnumerik.

* Lembaga dana investasi pribadi menggunakan alat-alat dari seluruh bidang analisis numerisnumerik untuk menghitung nilai saham dan derivatif yang lebih tepat daripada peserta pasar lainnya

* Maskapai penerbangan menggunakan [[algoritmaalgoritme]] optimisasi canggih untuk menentukan harga tiket, [[pesawat terbang]] dan penugasan awak, serta keperluan bahan bakar. Bidang ini juga dinamakan [[riset operasi]]

* Perusahaan asuransi menggunakan program numerisnumerik untuk analisis [[aktuaria]].

Bidang analisis numerik sudah sudah dikembangkan berabad-abad sebelum penemuan komputer modern. [[Interpolasi linear]] sudah digunakan lebih dari 2000 tahun yang lalu. Banyak matematikawan besar dari masa lalu disibukkan oleh analisis numerik, seperti yang terlihat jelas dari nama algoritmaalgoritme penting seperti [[metode Newton]], [[polinomial Lagrange|interpolasi polinomial Lagrange]], [[eliminasi Gauss]], atau [[metode Euler]].

Buku-buku besar berisi rumus dan tabel data seperti interpolasi titik dan koefisien fungsi diciptakan untuk memudahkan perhitungan tangan. Dengan menggunakan tabel ini (seringkalisering kali menampilkan perhitungan sampai 16 angka desimal atau lebih untuk beberapa fungsi), kita bisa melihat nilai-nilai untuk diisikan ke dalam rumus yang diberikan dan mencapai perkiraan numerisnumerik sangat baik untuk beberapa fungsi. Karya utama dalam bidang ini adalah penerbitan [[NIST]] yang disunting oleh [[Abramovich dan Stegun]], sebuah buku setebal 1000 halaman lebih. Buku ini berisi banyak sekali rumus yang umum digunakan dan fungsi dan nilai-nilainya di banyak titik. Nilai f-nilai fungsi tersebut tidak lagi terlalu berguna ketika komputer tersedia, namuntetapi senarai rumus masih mungkin sangat berguna.

Metode langsung menghitung pemecahan suatu masalah dalam jumlah langkah terhingga. Metode ini akan memberikan jawaban persis bila dilakukan dalam hitungan dengan ketepatan takhingga. Contohnya adalah [[eliminasi Gauss]], metode pemfaktoran QR untuk memecahkan [[sistem persamaan linear]], dan metode simpleks untuk [[Program linear|pemrograman linear]]. Pada praktiknya, yang digunakan adalah perhitungan ketepatan hingga (titik kambang) dan hasilnya adalah hampiran terhadap pemecahan sebenarnya (dengan andaian tercapai kestabilan numerisnumerik).

Berbeda dengan metode langsung, [[metode iteratif]] tidak diharapkan akan berakhir dalam jumlah langkah terhingga. Dimulai dari tebakan awal, metode iteratif menghasilkan hampiran yang secara berturut-turut akan [[limit barisan|konvergen]] ke pemecahan eksak. Uji kekonvergenan dilakukan untuk memutuskan kapan pemecahan yang cukup akurat dapat dicapai. Bahkan dengan menggunakan aritmetika ketepatan takhingga sekali pun metode seperti ini secara umum tidak akan mencapai pemecahan dalam jumlah langkah terhingga. Contohnya termasuk [[metode Newton]], [[metode bagi dua]], dan [[iterasi Jacobi]]. Dalam aljabar komputasi matriks, metode iteratif biasanya diperlukan untuk masalah besar.

Dalam analisis numerisnumerik metode iteratif lebih jamak daripada metode langsung. Beberapa metode pada intinya adalah langsung, namuntetapi biasanya diterapkan seolah-olah bukan, seperti [[GMRES]] dan [[metode gradien sekawan]]. Untuk metode-metode ini jumlah langkah yang diperlukan untuk mencapai solusi eksak sangat besar sehingga hampiran dapat diterima seperti pada metode iteratif.

Sekali galat diciptakan, galat ini akan merambat ke seluruh perhitungan. Sebagai contoh, kita telah mengetahui bahwa operasi + pada kalkulator atau komputer tidaklah eksak. Karena itu penghitungan a+b+c+d+e lebih tidak eksak lagi.

Apa artinya ketika kita mengaktan bahwa galat pemenggalan diciptakan ketika kita menghampiri sebuah prosedur matematika? Kita mengetahui bahwa untuk mengintegralkan fungsi dengan eksak kita perlu mengetahui jumlahan trapesium yang banyaknya takhingga. Namun secara numerisnumerik kita hanya dapat menemukan jumlahan trapesium hingga, dan karena itu hanyalah hampiran dari prosedur matematika itu. Mirip dengan hal itu, untuk menurunkan suatu fungsi, elemen diferensial mendekati nol, namuntetapi secara numerisnumerik kita hanya dapat memilih nilai hingga dari elemen diferensial.

&=\frac{500}{22.3830+22.3607}\\

&=\frac{500}{44.7437}=11.1748

& =x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}\\

&=x\frac{((\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2)}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}

&=\frac {x}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}