Himpunan (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Fitur saranan suntingan: 2 pranala ditambahkan. |
|||
| (118 revisi perantara oleh 73 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Venn A intersect B.svg|jmpl|Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan [[diagram Venn]]]]
Dalam [[matematika]], '''himpunan''' ({{lang-en|set}}) dapat ''dibayangkan'' sebagai kumpulan benda berbeda yang [[Definisi|terdefinisi]] dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh<ref>{{Cite book|last=Afidah Khairunnisa|date=2018|url=https://scholar.google.co.id/citations?view_op=view_citation&hl=en&user=aX8YzqsAAAAJ&citation_for_view=aX8YzqsAAAAJ:roLk4NBRz8UC|title=Matematika Dasar|location=Depok|publisher=Rajawali Pers|isbn=978-979-769-764-8|url-status=live}}</ref>. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan.
Konsep himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, [[Georg Cantor]], pada akhir [[abad ke-19]]. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".<ref name=":2">{{Cite book|last=Hakim.|first=Nasoetion, Andi|date=1982|url=http://worldcat.org/oclc/974924773|title=Landasan matematika|publisher=Bhratara Karya Aksara|oclc=974924773}}</ref><ref>{{Cite book|last=Prof. Dr. Wahyudin M.Pd.|date=2019|url=https://pustaka.ut.ac.id/lib/pema4101-hakikat-dan-sejarah-matematika-edisi-2|title=Hakikat dan Sejarah Matematika|location=Tanggerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|url-status=live}}</ref>
Himpunan merupakan satu di antara konsep [[Fondasi matematika|dasar]] matematika, karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep himpunan ini.<ref>{{Cite book|last=Ferreirós|first=José|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/settheory-early/|title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Summer 2020}}</ref> Kajian lebih lanjut mengenai himpunan dipelajari dalam [[teori himpunan]].
== Himpunan dan anggotanya ==
{{multiple image
|total_width = 600
|direction = horizontal
|image1 = Example of a set.svg
|caption1 = Suatu himpunan [[Poligon|segibanyak]]
|image2 = Box with polygons.svg
|caption2 = Himpunan yang sama digambarkan dalam "kotak".
|image3 = Transparent box with polygons.svg
|caption3 = Himpunan yang sama digambarkan sebagai "kumpulan benda dalam kotak".
}}Himpunan secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan objek-objek. Pengertian "mengumpulkan" atau "menghimpun" sendiri sudah jelas sebab telah sering dilakukan dalam keseharian''.'' Beberapa organisasi menggunakan kata ''himpunan'' pada namanya menunjukkan hal tersebut <ref>{{Cite book|last=Dumairy|date=2003|title=Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi|location=Yogyakarta|publisher=BPFE|url-status=live}}</ref>. Pengertian himpunan dapat digambarkan sebagai suatu "karung" atau "kotak" yang berisikan unsur-unsurnya<ref>{{Cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|date=1960|url=https://books.google.co.id/books?id=-e1LAAAAMAAJ&q=naive+set+theory&dq=naive+set+theory&hl=id&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjNlqHSzqj5AhUi3HMBHc9LDnUQ6AF6BAgDEAI|title=Naive Set Theory|publisher=Van Nostrand|isbn=978-3-540-90092-4|language=en}}</ref>. Penggambaran ini dinisbatkan pada [[Richard Dedekind]] <ref>{{Cite journal|last=Oliver|first=Alex|last2=Smiley|first2=Timothy|date=2006|title=What Are Sets and What Are They For?|url=https://www.jstor.org/stable/4494502|journal=Philosophical Perspectives|volume=20|pages=123–155|issn=1520-8583}}</ref>, dan terlukiskan dengan baik dengan diagram [[Diagram Euler|Euler]]-[[Diagram Venn|Venn]].
Objek dalam suatu himpunan disebut [[Elemen (matematika)|anggota]] (disebut juga elemen atau unsur). Anggota suatu himpunan dapat berupa apa saja, baik itu bilangan, titik, fungsi, dan lain sebagainya. Himpunan juga boleh jadi berisi objek-objek nyata, seperti sekawanan [[itik]] di sawah, semua buku di perpustakaan, sekalian hari dalam sepekan, seluruh huruf dalam alfabet, dan kelimapuluhdua kartu dalam satu set remi..
Keanggotaan suatu objek dapat dinyatakan dengan notasi <math>\in</math>. Pernyataan dengan notasi <math>a\in S</math> dapat dibaca sebagai "<math>a</math> anggota <math>S</math> "; "<math>a</math> di dalam <math>S</math> " <ref name=":0" />; "<math>a</math> termasuk dalam <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Walpole|first=Ronald E.|date=1995|title=Pengantar Statistika|location=Jakarta|publisher=Gramedia Pustaka Utama|translator-last=Ir. Bambang Sumantri|url-status=live}}</ref>; atau "<math>a</math> milik himpunan <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Dr. Jaka Nugraha|date=2020|title=Pengantar Peluang dan Distribusi|location=Sleman|publisher=Deepublish|url-status=live}}</ref>.
[[Negasi|Ingkaran]] pernyataan tersebut (<math>a</math> bukan anggota <math>S</math>) dapat ditulis sebagai <math>a\not\in S</math>.<ref name=":0">{{Cite book|last=Lipschutz|first=Seymour|date=1995|title=Teori Himpunan|location=Jakarta|publisher=Erlangga|translator-last=Pantur Silaban|url-status=live}}</ref>
Nama himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar, misalnya <math display="inline">S</math>'', <math display="inline">A</math>'' atau <math display="inline">C</math>, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (<math display="inline">a</math>, <math display="inline">c</math>, ''<math display="inline">z</math>'').
=== Menyatakan dan menuliskan himpunan ===
[[Berkas:Amino Acids Venn Diagram.png|jmpl|Hubungan delapan himpunan [[asam amino]] dengan menggunakan diagram Venn.|222x222px]]Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku<ref name=":3">{{Cite book|last=Marsudi|date=2010-10-08|url=https://books.google.co.id/books/about/Logika_dan_Teori_Himpunan.html?id=6pK0DwAAQBAJ&redir_esc=y|title=Logika dan Teori Himpunan|publisher=Universitas Brawijaya Press|isbn=978-979-8074-51-6|language=id}}</ref> dengan dua cara.
Pertama, '''cara pendaftaran,''' yaitu dengan menulis semua anggota himpunan dalam [[Tanda kurung|kurung kurawal]], serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma. Cara ini baik digunakan untuk himpunan dengan banyak anggota berhingga, terutama juka banyaknya lumayan sedikit. Contohnya himpunan buah <math>B = \{\text{apel},\, \text{jeruk},\, \text{mangga},\, \text{pisang}\}</math>. Tanda koma dapat diganti dengan tanda titik koma apabila perlu untuk menghindari kekeliruan dengan tanda koma bilangan desimal, seperti <math>K = \{0,2;0,4;0,6\}</math>.
Jika terlampau banyak untuk dinyatakan satu-persatu bahkan mungkin tak berhingga, tetapi mengikuti pola tertentu, maka dapat digunakan notasi [[elipsis]] (...). Contohnya himpunan huruf dalam alfabet <math>A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}</math> atau himpunan bilangan asli <math>\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}</math>.
Kedua, '''cara merumuskan''', yaitu dengan mendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Untuk cara ini syarat tersebut dapat langsung diperkatakan atau ditulis menggunakan [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]].
: <math>O = \
: <math>E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \land (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}</math>
: <math>P = \{ p\, |\, p \mbox { adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}</math>
== Kesamaan dua himpunan ==
Himpunan didefinisikan berdasar objek-objek yang termasuk di dalamnya. Dua himpunan bisa saja sama walau disajikan dengan cara yang berbeda<ref name=":1">{{Cite book|last=Rinaldi Munir|date=2010|title=Matematika Diskrit|location=Bandung|publisher=Informatika Bandung|url-status=live}}</ref>, seperti urutan anggotanya tidak sama atau dua himpunan itu dinyatakan dengan penggambaran yang berbeda. Himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' disebut ''[[Kesamaan|sama]]'', jika keduanya memiliki anggota yang sama<ref>{{Cite book|last=Julan Hernadi|date=2021|title=Fondasi Matematika & Metode Pembuktian|location=Ponorogo|publisher=UMPO Press|url-status=live}}</ref>, dengan kata lain: setiap anggota ''<math>A</math>'' adalah anggota ''<math>B</math>'' dan sebaliknya, setiap anggota ''<math>B</math>'' adalah anggota ''<math>A</math>''.
: <math>A = B \equiv \forall_x\; x \in {\displaystyle A} \leftrightarrow x \in B</math>.
Prinsip kesamaan dua himpunan seperti ini, yakni dengan "membuka seluas-luasnya" kedua himpunan itu sehingga tampak semua anggotanya baru kemudian diperbandingkan, sering dirumuskan sebagai [[aksioma perluasan]]<ref name=":0" />. Dengan prinsip ini kesamaan <math>\{a,b,c \}=\{b,c,a\}</math> dan <math>\{a,b,c\}=\{a,b,b,c,c,c\}</math> dapat diketahui. Perhatikan bahwa urutan tidak berpengaruh dalam himpunan, dan perulangan anggota yang sama hanya dihitung satu kali. Contoh lainnya, kita dapat mengatakan bahwa himpunan tiga [[bilangan prima]] pertama sama dengan himpunan akar-akar persamaan <math>x^3-10x^2+31x-30=0</math>. Apabila seluruh anggota kedua himpunan itu didaftarkan, keduanya sama-sama <math>\{2,3,5\}</math>.
=== Himpunan bagian ===
[[Berkas:Set subsetBofA.svg|jmpl|<math>B</math> himpunan bagian (sejati) dari <math>A</math>]]{{utama|Himpunan bagian}}
Jika setiap anggota <math>B</math> termasuk dalam <math>A</math>, maka himpunan <math>B</math> dikatakan himpunan bagian dari himpunan <math>A</math>, ditulis sebagai <math>B\subseteq A</math>. Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:<blockquote><math> B \subseteq {\displaystyle A} \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in {\displaystyle A} </math>.</blockquote>Dengan menggunakan definisi himpunan bagian, kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
: <math>A = B \equiv {\displaystyle A} \subseteq B \wedge B \subseteq A</math>.
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan <math>A</math> dan ''<math>B</math>'' adalah sama. Pertama, buktikan dahulu <math>A</math> adalah himpunan bagian ''<math>B</math>'', kemudian buktikan bahwa ''<math>B</math>'' adalah himpunan bagian <math>A</math>.
== Banyak anggota himpunan ==
{{utama|Kardinalitas}}
Kardinalitas suatu himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut.
Secara formal, dua himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat korespondensi satu-satu yang memetakan ''<math>A</math>'' pada ''<math>B</math>''.
Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan <math>\mathbb{N}</math>, yaitu himpunan semua bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut [[Himpunan terhitung|''himpunan terbilang'']].<ref>{{Cite book|last=Hendra Gunawan|date=2017|title=Menuju Tak Terhingga|location=Bandung|publisher=ITB Press|url-status=live}}</ref> Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>. Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>, maka himpunan tersebut adalah ''himpunan berhingga''.
Suatu himpunan disebut ''terhitung'' jika himpunan tersebut adalah berhingga atau terbilang.
Himpunan yang tidak terhitung disebut himpunan ''tak terhitung''. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal. Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah <math display="inline">y=\tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)</math>.
== Syarat keanggotaan himpunan ==
Himpunan dapat didefinisikan dengan merumuskan syarat yang harus dipenuhi seluruh anggotanya. Terkadang syarat ini mengikutkan pula dari himpunan semesta mana anggota himpunan baru itu akan diambil. Dengan notasi pembentuk himpunan, secara umum ditulis sebagai
:<math>A=\{x\in S\mid P(x)\} </math>
yang dapat dibaca "''<math display="inline">A</math>'' adalah himpunan semua anggota himpunan <math>S</math> sedemikian rupa sehingga pernyataan <math>P(x)</math> benar berlaku".
==
=== Gabungan ===
{{utama|Gabungan (teori himpunan)}}
[[Berkas:Venn0111.svg|ka|jmpl|200px|Gabungan himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''.]]
Gabungan himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''. adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota ''A'' [[Logika disjungsi|'''atau''']] ''B.'' Dinotasikan <math>A\cup B</math>.
Contoh:
:* {{nowrap|1={1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}. }}
:* {{nowrap|1={1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}. }}
:* {{nowrap|1={Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}. }}
Beberapa sifat dasar gabungan:
:* {{nowrap|1=''A'' ⊆ (''A'' ∪ ''B'').}}
:* {{nowrap|''A'' ⊆ ''B''}} [[jika dan hanya jika]] {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B'' = ''B''.}}
=== Irisan ===
{{utama|Irisan (teori himpunan)}}
[[Berkas:Venn0001.svg|ka|jmpl|200px|Irisan antara himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''.]]
Irisan himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''. adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota ''A'' '''[[Logika konjungsi|dan]]''' ''B.'' Dinotasikan <math>A\cap B</math>.
Jika <math>A\cap B=\varnothing</math>, maka ''A'' dan ''B'' dapat dikatakan [[Himpunan saling lepas|saling pisah]].
Contoh:
:* {{nowrap|1={1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}. }}
:* {{nowrap|1={1, 2} ∩ {2, 3} = {2}. }}
:* {{nowrap|1={Budi, Cici} ∩ {Dani, Cici} = {Cici}. }}
:* {{nowrap|1={Budi} ∩ {Dani} = ∅. }}
Beberapa sifat dasar irisan:
:* {{nowrap|''A'' ∩ ''B'' ⊆ ''A''.}}
:* {{nowrap|''A'' ⊂ ''B''}} [[jika dan hanya jika]] {{nowrap|1=''A'' ∩ ''B'' = ''A''.}}
=== Komplemen ===
{{utama|Komplemen (teori himpunan)}}
Pelengkap (komplemen) himpunan <math>A</math> adalah himpunan yang anggotanya [[Negasi|bukan]] anggota <math>A</math>. Dinotasikan <math>A^c</math> atau <math>A'</math>.
Contoh:
:* {{nowrap|1={1, 2} \ {1, 2} = ∅.}}
:* {{nowrap|1={1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.}}
Beberapa sifat dasar komplemen:
:* {{nowrap|1=''A'' \ ''B'' ≠ ''B'' \ ''A''}} untuk {{nowrap|1=''A'' ≠ ''B''}}.
:* {{nowrap|1=(''A''′)′ = ''A''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' \ ''A'' = ∅.}}
:* {{nowrap|1=''A'' \ ''B'' = ''A'' ∩ ''B''′}}.
Konsep komplemen dapat diperluas menjadi [[beda setangkup]] (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan ''A'' dan ''B'' atau {{nowrap|1=''A'' - ''B''}} menghasilkan
:<math>A\,\Delta\,B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).</math>
Contohnya, diferensi simetris antara:
* {7, 8, 9, 10} dan {9, 10, 11, 12} adalah {7, 8, 11, 12}.
* {Ana, Budi, Dedi, Felix} dan {Budi, Cici, Dedi, Ela} adalah {Ana, Cici, Ela, Felix}.
<!--
Hasil karya al-azhar 29 BSB
-->
{{gallery
|width=160 | height=148
|align=center
|Berkas:Venn0100.svg
|Komplemen <math>B</math> terhadap ''<math>A</math>''.
|Berkas:Venn1010.svg
|Komplemen ''<math>A</math>'' terhadap <math>U</math>.
|Berkas:Venn0110.svg
|Beda setangkup himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''.
}}
=== Hasil Kali Kartesian ===
[[Berkas:Cartesian Product qtl1.svg|right|thumb|200px|Produk kertesian (perkalian himpunan) {\displaystyle A} X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.]]
atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara ''A'' dan ''B'' didefinisikan dengan ''A'' × ''B''. Anggota himpunan | ''A'' × ''B'' | adalah [[pasangan terurut]] (a,b) dimana a adalah anggota himpunan {\displaystyle A} dan b adalah anggota himpunan B.
Contoh:
:* {{nowrap|1={1, 2} × {x, y} = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}.}}
:* {{nowrap|1={1, 2} × {a, b, c} = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }.}}
:* {{nowrap|1={1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.}}
Beberapa sifat dasar himpunan perkalian:
:* {{nowrap|1=''A'' × ∅ = ∅.}}
:* {{nowrap|1=''A'' × (''B'' ∪ ''C'') = (''A'' × ''B'') ∪ (''A'' × ''C'').}}
:* {{nowrap|1=(''A'' ∪ ''B'') × ''C'' = (''A'' × ''C'') ∪ (''B'' × ''C'').}}
:* | ''A'' × ''B'' | = | ''B'' × ''A'' | = | ''A'' | × | ''B'' |.
== Himpunan khusus ==
[[Berkas:NumberSetinC.svg|jmpl|Himpunan <math>\mathbb{N}</math> termuat dalam <math>\mathbb{Z}</math>, yang termuat dalam <math>\mathbb{Q}</math>, yang termuat dalam <math>\mathbb{R}</math>, yang termuat dalam <math>\mathbb{C}</math>.]]
Sejumlah himpunan yang begitu penting dan sering terpakai dalam matematika, sehingga mendapat nama dan lambang tersendiri, seperti:
* <math>\mathbb{N}</math>, himpunan [[bilangan asli]] {1, 2, 3, 4, ...};
* <math>\mathbb{Z}</math>, himpunan [[bilangan bulat]] {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...};
* <math>\mathbb{Q}</math>, himpunan [[bilangan rasional]];
* <math>\mathbb{R}</math>, himpunan [[bilangan riil]];
* <math>\mathbb{C}</math>, himpunan [[bilangan kompleks]];
* <math>\mathbb{H}</math>, himpunan [[Kuaternion|bilangan kuarternion]].
Himpunan di atas memiliki tak hingga anggota, dan masing-masing merupakah himpunan bagian dari himpunan yang tersenarai di bawahnya.
Himpunan n-rangkap bilangan riil biasa dilambangkan dengan <math>\mathbb{R}^n</math> untuk <math>n</math> sebarang bilangan asli. Sebagai contoh, <math>\mathbb{R}^2</math> adalah himpunan pasangan terurut <math>(a,b)</math> dengan <math>a,b\in\mathbb{R}</math>.
== Lihat juga ==
* [[Kelas (teori himpunan)]], himpunan dari himpunan-himpunan.
* [[Aljabar himpunan]], sifat-sifat operasi himpunan.
* [[Fungsi indikator|Fungsi karakteristik]], fungsi yang menunjukkan apakah sesuatu itu anggota himpunan atau bukan.
== Referensi ==
{{reflist}}
== Bacaan lanjutan ==
* Dauben, Joseph W., ''Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite'', Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
* Halmos, Paul R., ''Naive Set Theory'', Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
* Stoll, Robert R., ''Set Theory and Logic'', Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
* Velleman, Daniel, ''How To Prove It: A Structured Approach'', Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4
== Pranala luar ==
* [http://www.c2.com/cgi/wiki?SetTheory C2 Wiki Contoh operasi himpunan menggunakan operator Inggris.]
* [http://education-portal.com/academy/lesson/mathematical-sets-elements-intersections-unions.html Himpunan Matematika: Anggota, Irisan & Gabungan, Education Portal Academy]
{{Teori himpunan}}{{Himpunan berdasarkan cabang matematika}}
[[Kategori:Konsep logika]]
[[Kategori:Teori himpunan]]
| |||