Limit (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k r2.7.3) (bot Menambah: simple:Limit (mathematics) |
Wadaihangit (bicara | kontrib) k Menambahkan foto ke halaman #WPWP |
||
| (26 revisi perantara oleh 21 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Limit-at-infinity-graph.png|jmpl|Ilustrasi limit suatu fungsi di mana x bertambah hingga tak terhingga.]]
Dalam [[matematika]], [[konsep]] '''limit''' digunakan untuk menjelaskan
Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap [[kalkulus]], dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.
== Limit
{{utama|Limit fungsi}}
Baris 22 ⟶ 23:
Semakin ''x'' mendekati 2, nilai ''f''(''x'') mendekati 0.4, dan karena itu <math>\lim_{x\to 2}f(x)=0.4</math>.
Dalam kasus
Namun, kasus ini tidak selalu berlaku.
Sebagai contoh,
:<math>g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if
Limit ''g''(''x'') pada saat ''x'' mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti ''f''(''x'')),
Atau, bisa diambil contoh
:<math> f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} </math>
Dalam contoh ini, pada saat ''x'' mendekati 1, ''f''(''x'') tidak terdefinisikan pada titik ''x'' = ''1'' namun limitnya
{| class="wikitable"
Baris 43 ⟶ 44:
Jadi, ''x'' dapat dibuat sedekat mungkin dengan ''1'', asal bukan persis sama dengan ''1'', jadi limit dari <math> f(x) </math> adalah ''2''.
=== Definisi formal ===
Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila <math>f</math> adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik <math>c</math> (dengan kemungkinan pengecualian pada titik <math>c</math>) dan <math>L</math> adalah bilangan real, maka
:<math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math>
berarti bahwa untuk setiap <math> \varepsilon\ >0</math> terdapat <math> \delta\ >0</math> yang untuk semua <math> x </math>
=== Limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga ===
Baris 67 ⟶ 66:
== Limit barisan ==
{{Lihat|Limit barisan}}
Perhatikan [[barisan]] berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.
Baris 77 ⟶ 78:
:Untuk setiap [[bilangan riil]] ε > 0, terdapat sebuah [[bilangan asli]] ''n''<sub>0</sub> sehingga untuk semua ''n'' > ''n''<sub>0</sub>, |''x''<sub>''n''</sub> − ''L''| < ε.
Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena [[nilai absolut]] |''x''<sub>''n''</sub> − ''L''| adalah jarak antara ''x''
Limit barisan dan [[limit fungsi]] berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada [[bilangan asli]]. Di sisi lain, limit sebuah fungsi ''f'' pada ''x'', bila ada, sama dengan limit barisan ''x''<sub>''n''</sub> = ''f''(''x'' + 1/''n'').
==
Dalam [[analisis non-standar]] (yang melibatkan pembesaran [[bilangan hiperreal]] dari sistem bilangan), batas urutan <math>(a_n)</math> dapat diekspresikan sebagai [[fungsi bagian standar|bagian standar]] dari nilai <math>a_H</math> dari perluasan alami urutan pada indeks [[hipernatural]] tak terbatas ''n=H''. Jadi,
* {{id}} {{cite book |last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink= |coauthors= |title= Matematika SMA dan MA Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS|year= 2007|publisher= Esis|location= Jakarta|isbn=979-734-564-5}}▼
:<math> \lim_{n \to \infty} a_n = \operatorname{st}(a_H) </math>.
[[Kategori:Kalkulus]]▼
Di sini, fungsi bagian standar "st" membulatkan setiap bilangan hiperreal berhingga ke bilangan real terdekat (selisihnya adalah [[infinitesimal]]). Ini memformalkan intuisi alami bahwa untuk nilai indeks yang "sangat besar", istilah dalam urutan "sangat dekat" dengan nilai batas urutan. Sebaliknya, bagian standar dari sebuah hyperreal <math>a=[a_n]</math> diwakili dalam konstruksi ultrapower oleh barisan Cauchy <math>(a_n)</math>, hanyalah batas dari urutan itu:
:<math> \operatorname{st}(a)=\lim_{n \to \infty} a_n </math>.
Dalam pengertian ini, mengambil limit dan mengambil bagian standar adalah prosedur yang setara.
== Lihat pula ==
{{wikibooks|Kalkulus|Limit}}
{{Lihat pula|Daftar topik kalkulus}}
*[[Analisis asimtotik]]: metode untuk menggambarkan perilaku yang membatasi
**[[Notasi Big O]]: digunakan untuk mendeskripsikan perilaku pembatas dari suatu fungsi ketika argumennya cenderung ke arah nilai tertentu atau tak terbatas
* [[Banach limit]] didefinisikan di [[ruang Banach]] yang memperluas Limit.
* [[Barisan Cauchy]]
** [[Ruang metrik lengkap]]
* [[Konvergensi variabel acak]]
* [[Matriks konvergen]]
* [[Limit (teori kategori)|Limit dalam teori kategori]]
**[[Limit langsung]]
* [[Limit fungsi]]
** [[Berat sebelah limit]]: salah satu dari dua batas fungsi variabel nyata ''x'', sebagai ''x'' mendekati suatu titik dari atas atau bawah
** [[Daftar limit]]: daftar limit untuk fungsi umum
** [[Teorema Squeeze]]: menemukan batas suatu fungsi melalui perbandingan dengan dua fungsi lainnya
* Nilai Limit
* Himpunan Limit
* [[Limit superior dan limit inferior]]
* [[Mode konvergensi]]
** Sebuah [[Mode konvergensi (indeks beranotasi)|indeks beranotasi]]
* [[Tingkat konvergensi]]: tingkat di mana urutan konvergen mendekati nya limit
== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-503-3 }}
▲*
▲[[Kategori:Kalkulus]]
▲[[tr:Limit]]
| |||