Gabungan (teori himpunan): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Rescuing 2 sources and tagging 0 as dead.) #IABot (v2.0.9.5 |
||
| (62 revisi perantara oleh 37 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Venn0111.svg|thumb|300x300px|Gabungan dari dua himpunan<math>~A \cup B</math>]]Dalam [[teori himpunan]], '''gabungan''' ({{Lang-en|union}}) dari koleksi [[himpunan]] adalah himpunan semua anggota dalam koleksi.<ref>{{cite web|author=Weisstein, Eric W|title=Union|url=http://mathworld.wolfram.com/Union.html|publisher=Wolfram's Mathworld|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090207202412/http://mathworld.wolfram.com/Union.html|archivedate=2009-02-07|accessdate=2009-07-14|url-status=live}}</ref> Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪.
Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat [[tabel dari simbol matematika]]
== Gabungan dari dua himpunan ==
Gabungan dari himpunan <math>A </math> dan <math>B</math> adalah himpunan anggota yang berada di <math>A </math>, atau <math>B </math>, atau bahkan kedua-duanya.<ref name=":3">{{Cite book|last=Hernadi|first=Julan|date=2017|title=Fondasi Matematika dan Metode Pembuktian|location=Ponorogo|publisher=Penerbit UMPO Press|url-status=deas}}</ref> Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam [[notasi ungkapan himpunan]].<ref name=":03">{{Cite book|last=Vereshchagin|first=Nikolai Konstantinovich|last2=Shen|first2=Alexander|date=2002-01-01|url=https://books.google.com/books?id=LBvpfEMhurwC|title=Basic Set Theory|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=9780821827314|language=en}}</ref><math display="block">A \cup B = \{ x : x \in A \text{ atau } x \in B \}.</math>Sebagai contoh, jika <math>A = \{1,3,5,7\}</math> dan <math>B=\{1,2,4,6,7\}</math>, maka <math>A \cup B =\{1,2,3,4,5,6,7\}</math>. Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː<math display="block">A = \{x \text{ adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1}\}</math><math display="block">B = \{x \text{ adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1}\}</math><math display="block">A \cup B = \{2,3,4,5,6,\dots\}.</math>
Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan [[bilangan prima]] <math>\{2,3,5,7,11,\dots\}</math> dan juga himpunan dari [[bilangan genap]] <math>\{2,4,6,8,10.\dots\}</math>, sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.
Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali,<ref name=":03" /> karena itu gabungan dari <math>\{1,2,3\}</math> dan <math>\{2,3,4\}</math> adalah <math>\{1,2,3,4\}</math>. Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak mempengaruhi [[kardinalitas]] himpunan ataupun isi himpunannya.
== Sifat aljabar ==
Gabungan biner adalah operasi [[Sifat asosiatif|asosiatif]]. Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan <math>A </math>, <math>B </math>, dan <math>C </math>, berlaku<math display="block">A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.</math>
Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai <math>A \cup B \cup C</math>. Gabungan merupakan operasi [[Sifat komutatif|komutatif]], sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan.<ref>{{Cite book|last=Halmos|first=P. R.|date=2013-11-27|url=https://books.google.com/books?id=jV_aBwAAQBAJ|title=Naive Set Theory|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781475716450|language=en}}</ref> Himpunan kosong adalah [[Elemen identitas|anggota identitas]] untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa <math>A \cup \varnothing = A</math>, untuk setiap himpunan <math>A </math>. Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari [[logika disjungsi]].
Adapun sifat aljabar lainnya, yakni [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] distribusi atas gabungan<math display="block">A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C),</math>dan gabungan distribusi atas irisan<ref name=":32">{{Cite web|title=Set Operations {{!}} Union {{!}} Intersection {{!}} Complement {{!}} Difference {{!}} Mutually Exclusive {{!}} Partitions {{!}} De Morgan's Law {{!}} Distributive Law {{!}} Cartesian Product|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php|website=www.probabilitycourse.com|access-date=2020-09-05|archive-date=2023-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230506115739/https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php|dead-url=no}}</ref><math display="block">A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).</math>[[Himpunan kuasa]] dari himpunan <math>U</math>, beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan [[Komplemen (teori himpunan)|komplemen]], merupakan [[aljabar Boole]]. Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen.<math display="block">A \cup B = \left(A^\text{c} \cap B^\text{c} \right)^\text{c},</math>dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam [[himpunan semesta]] <math>U</math>.
== Gabungan terhingga ==
[[Berkas:Venn 0111 1111.svg|thumb|300x300px|Gabungan dari tiga himpunan<math>~A \cup B \cup C</math>]]
Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> mengandung semua anggota dari <math>A</math>, semua anggota dari <math>B</math>, dan semua anggota dari <math>C</math>, dan tidak ada lagi. Dengan demikian, <math>x</math> adalah anggota dari <math>A \cup B \cup C</math> jika dan hanya jika <math>x</math> setidaknya ada di dalam salah satu himpunan <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math>.
'''Gabungan terhingga''' adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah [[himpunan terbatas]].<ref>{{Cite book|last=Dasgupta|first=Abhijit|date=2013-12-11|url=https://books.google.com/books?id=u06-BAAAQBAJ|title=Set Theory: With an Introduction to Real Point Sets|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461488545|language=en}}</ref><ref>{{cite web|title=Finite Union of Finite Sets is Finite - ProofWiki|url=https://proofwiki.org/wiki/Finite_Union_of_Finite_Sets_is_Finite|website=proofwiki.org|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140911224545/https://proofwiki.org/wiki/Finite_Union_of_Finite_Sets_is_Finite|archivedate=11 September 2014|accessdate=29 April 2018|url-status=live}}</ref>
== Gabungan sebarang ==
Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut ''gabungan tak terhingga''. Jika <math>\mathbf{M}</math> adalah himpunan atau [[Kelas (teori himpunan)|kelas]] yang anggotanya ada di himpunan, maka <math>x</math> adalah gabungan dari <math>\mathbf{M}</math> [[jika dan hanya jika]] [[Kuantifikasi eksistensial|setidaknya ada satu]] anggota <math>A</math> dari <math>\mathbf{M}</math> sehingga <math>x</math> anggota dari <math>A</math>.<ref name=":1">{{Cite book|last=Smith|first=Douglas|last2=Eggen|first2=Maurice|last3=Andre|first3=Richard St|date=2014-08-01|url=https://books.google.com/books?id=DOUbCgAAQBAJ|title=A Transition to Advanced Mathematics|publisher=Cengage Learning|isbn=9781285463261|language=en}}</ref> Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbol<math display="block">x \in \bigcup \mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A.</math>Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh, <math>A \cup B \cup C</math> adalah gabungan dari koleksi <math>\{A,B,C\}</math>. Juga, jika <math>\mathbf{M}</math> adalah koleksi kosong, maka gabungan dari <math>\mathbf{M}</math> adalah himpunan kosong
=== Notasi ===
Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan <math>S_1, S_2, S_3, \dots , S_n</math>, acapkali ditulis sebagai <math>S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup \dots \cup S_n</math> atau<math display="block">\bigcup_{i=1}^n S_i.</math>Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti <math display="inline">\bigcup \mathbf{M}</math>, <math display="inline">\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A</math>, atau <math display="inline">\bigcup_{i\in I} A_{i}</math>, yang mengacu pada gabungan dari koleksi <math>\left\{A_i : i \in I\right\}</math>, dengan <math>I</math> adalah [[himpunan indeks]], dan <math>A_i</math> adalah himpunan untuk <math>i \in I</math>. Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks <math>I</math> yang merupakan himpunan [[bilangan asli]], dapat menggunakan notasi<math display="block">\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i},</math>yang mirip seperti [[Deret (matematika)|jumlah tak terhingga]] dalam deret.<ref name=":1" />
== Lihat pula ==
* [[Aljabar dari himpunan]]
* [[Alternasi (teorema bahasa formal)]], gabungan dari himpunan dari benang.
* [[Aksioma dari gabungan]]
* [[Gabungan penguraian]]
* [[Irisan (teori himpunan)]]
* [[Operasi biner berulang]]
* [[Teori himpunan naif]]
* [[Beda setangkup]]
== Catatan ==
{{Reflist|colwidth=30em}}
== Pranala luar ==
* {{springer|title=Union of sets|id=p/u095390}}
* [http://www.apronus.com/provenmath/sum.htm Infinite Union and Intersection at ProvenMath] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230107181616/https://www.apronus.com/provenmath/sum.htm |date=2023-01-07 }} De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.
{{Teori himpunan}}{{Operator besar}}
[[Kategori:Konsep dasar dalam teori himpunan]]
[[Kategori:Operasi biner]]
| |||