Barisan dan deret aritmetika: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
|||
| (76 revisi perantara oleh 22 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Dalam [[matematika]], '''barisan dan deret aritmetika''' atau dikenal sebagai '''barisan dan deret hitung''' adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku usebelumnya dengan menambah bilangan tetap.<ref name=":">Sahid, MSc, [http://staffnew.uny.ac.id/upload/131930136/pendidikan/BarisaNderetTakHingga.pdf ''Kalkulus Lanjutan''], hlm. 4.</ref> Misalnya,
:<math>3</math>, <math>5</math>, <math>7</math>, <math>9</math>, <math>11</math>, <math>13</math>, <math>\dots</math>.
Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
:<math>a</math>, <math>a+b</math>, <math>a+2b</math>, <math>a+3b</math>, <math>\dots</math>.<ref name=":0" />
== Suku barisan aritmetika ==
Misal <math>a_n</math> adalah suku barisan ke-<math>n</math>, maka
:<math>\ a_n = a + (n - 1)b</math>.
{{collapse top|title=Bukti}}
Kita mulai mengurutkannya dari suku <math>a_1 = a</math>. Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga <math>n</math>.
:<math>
&\vdots
Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh <math> a_n = a + (n-1)b \quad \blacksquare </math>.<ref name=":0">{{cite book|last=Kurnianingsih|first=Sri|year=2007|title=Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA|location=Jakarta|publisher=Esis/Erlangga|pages=14|id=ISBN 979-734-505-X|authorlink=|url-status=live|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono}}</ref>
{{collapse bottom}}
:<math>a_n = a_m + (n - m)b</math>
=== Beda ===
Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal <math>b</math> adalah beda antar suku, maka secara matematis dapat ditulis
:<math>b = a_{n}-a_{n-1}</math>.<ref name=":1" />
=== Suku tengah ===
Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa [[Bilangan ganjil|ganjil]].<ref name=":0" /> Misal <math>a_m</math> dan <math>a_n</math> dengan <math>m < n</math> mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain pada suatu barisan aritmetika. Karena itu, <math>n-m</math> maupun <math>n+m</math> adalah bilangan [[Bilangan genap|genap]]. Suku yang terletak antara <math>a_m</math> dan <math>a_n</math> adalah
:<math>a_{\frac{m+n}{2}} = a_m + \left(\frac{m+n}{2} - m \right)b</math>
dengan
:<math>b = \frac{a_n - a_m}{n - m}</math>.
Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati
:<math>a_\frac{m+n}{2} = a_m + \left(\frac{n-m}{2}\right) \left(\frac{a_n - a_m}{n - m}\right) = \frac{a_m + a_n}{2}</math>.<ref>Sahid, MSc, [http://staffnew.uny.ac.id/upload/131930136/pendidikan/BarisaNderetTakHingga.pdf ''Kalkulus Lanjutan''], hlm. 6.</ref>
== Deret aritmetika ==
Deret aritmetika ialah jumlah suku barisan aritmetika, dan dapat kita rumuskan sebagai
:<math> S_n=\frac{n}{2}(a + a_n)=\frac{n}{2}[2a + (n-1)b].</math><ref name=":0" />
{{collapse top|title=Bukti deret suku}}
[[Berkas:Arithmetic progression.svg|jmpl|Ilustrasi dengan gambar bagaimana rumus deret aritmetika dapat dibuktikan.]]
Misal <math>a_n</math> adalah barisan suku aritmetika ke-<math>n</math>.
{{NumBlk|::|<math> S_n = a + [a+b] + [a+2b] + \cdots + [a+(n-1)b] </math>|{{EquationRef|1}}}}
Dengan menggunakan [[sifat komutatif]], akan memperoleh{{NumBlk|::|<math> S_n = [a+(n-1)b] + [a+(n-2)b] + [a+(n-3)b] + \cdots + a </math>|{{EquationRef|2}}}}
Persamaan '''(1)''' ditambah '''(2)''' menjadi:
: <math>2S_n = 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b + \cdots + 2a+(n-1)b</math>
Karena <math>2a+(n-1)b</math> sama banyaknya menjadi jumlah <math>n</math>, maka
:<math>\begin{align}
2 S_n &= n [2a+(n-1)b] \\
S_n &= \frac{n}{2} [2a+(n-1)b] \quad \blacksquare
\end{align}</math>
Demikian, kita membuktikannya.<ref name=":1">Sahid, MSc, [http://staffnew.uny.ac.id/upload/131930136/pendidikan/BarisaNderetTakHingga.pdf ''Kalkulus Lanjutan''], hlm. 7.</ref>
{{collapse bottom}}
Mirip dengan [[Barisan dan deret aritmetika#Beda|beda]] suku aritmetika, selisih antara deret suku memberikan suku ke-<math>n</math>.
:<math>a_n = S_n - S_{n-1}</math>.<ref>Atmini Dhoruri, MS, [http://staffnew.uny.ac.id/upload/131568306/pendidikan/buku-panduan-ujian-tulis-keterampilan-snmptn2011.pdf ''Barisan dan Deret Bilangan''], hlm. 6.</ref>
{{collapse top|title=Bukti selisih antar deret suku}}
Kita cukup menjabarkan <math>S_n</math> dan <math>S_{n-1}</math>,
:<math>\begin{align}
S_n &= a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n \\
S_{n-1} &= a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1}
\end{align}</math>
lalu kurangi persamaan sehingga di dapati persamaan di atas.
:<math>S_n - S_{n-1} = a_n</math>. <math>\blacksquare</math><ref>{{Cite book|last=Salamah|first=Umi|date=2019|title=Berlogika dengan Matematika untuk Kelas VIII SMP dan MTs|publisher=Tiga Serangkai Pustaka Mandiri|isbn=978-602-320-165-5|pages=26|url-status=live}}</ref>
{{collapse bottom}}
== Barisan aritmetika bertingkat ==
Pada kasus ini, barisan aritmetika bertingkat ini merupakan barisan aritmetika tingkat yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat sebelumnya. Sebagai contohnya, barisan aritmetika tingkat dua dapat didefinisikan barisan aritmetika tingkat kedua yang menghasilkan barisan aritmetika tingkat pertama.<ref>Drs. Sumarno Imail, M.Pd, [https://adoc.pub/syarat-atau-nilai-awal-a-dengan-solusi-umum-pola-barisan-ari.html ''Suku Ke-<math>n</math> Barisan Aritmetika Tingkat Dua, Tiga dan Empat dengan Pendekatan Akar Karakteristik''], hlm. 3.</ref> Untuk tingkatan <math>n</math>, diperoleh
:<math>u_n = a_n + \frac{a_{n-1}(n-1)}{1!} + \frac{a_{n-2}(n-1)(n-2)}{2!} + \frac{a_{n-3}(n-1)(n-2)(n-3)}{3!} + \cdots + \frac{a_1(n-1)(n-2)(n-3)\cdots(2)(1)}{(n-1)!}</math>,<ref name=":2">Yeni Azrida, Mashadi, Sri Gemawati, [https://repository.unri.ac.id/xmlui/bitstream/handle/123456789/9193/03%20Yeni_Azrida-Edited%20Paper.pdf?sequence=1&isAllowed=y ''Barisan Bertingkat''], ISBN 978-979-792-552-9, hlm. 18.</ref>
di mana <math>u_n</math> adalah tingkat ke-<math>n</math> pada barisan aritmetika, <math>a_n, a_{n-1},\dots,a_1</math> adalah suku pertama dari masing-masing barisan pertama, kedua, dan seterusnya. Hasil rumus di atas dapat kita pakai untuk rumusan barisan aritmetika bertingkat dengan uraian berikut.
* Jika berupa barisan linear (yakni ketika <math>n = 2</math>), maka <math>u_2 = a_2 + a_1(n-1)</math>;
* Jika berupa barisan berpangkat dua (yakni ketika <math>n=3</math>), maka <math>u_3 = a_3 + a_2(n-1) + \frac{a_1(n-1)(n-2)}{2}</math>;
Hal tersebut berlanjut hingga seterusnya sehingga mendapat rumus umum di atas.<ref name=":2" />
=== Bentuk rekursif ===
Pada barisan aritmetika tingkat kedua, kita misalkan <math>b_i</math>, <math>a_i</math> adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama dan kedua, dengan <math>i = 1,\dots, n</math>. Misalkan juga <math>c</math> adalah bilangan tetap dari barisan tingkat kedua. Secara rekursif, suku <math>a_n</math> dapat dirumuskan sebagai
:<math>a_n = 3a_{n-1} - 3a_{n-2} + a_{n-3}</math>.
{{collapse top|title=Bukti barisan aritmetika tingkat kedua}}
Karena <math>b_1, \dots, b_n</math> adalah barisan tingkat kedua, maka <math>b_n = a_{n+1} - a_n</math>. Oleh karena itu, kita memperoleh<math display="block">\begin{matrix}
a_2 - a_1 = b_1 &\quad (1.1) &\quad b_2 - b_1 = k &\quad (2.1) \\
a_3 - a_2 = b_2 &\quad (1.2) &\quad b_3 - b_2 = k &\quad (2.2) \\
a_4 - a_3 = b_3 &\quad (1.3) &\quad b_4 - b_3 = k &\quad (2.3) \\
a_5 - a_4 = b_4 &\quad (1.4) &\quad b_5 - b_4 = k &\quad (2.4) \\
a_6 - a_5 = b_5 &\quad (1.5) &\quad b_6 - b_5 = k &\quad (2.5) \\
a_7 - a_6 = b_6 &\quad (1.6) &\quad b_7 - b_6 = k &\quad (2.6) \\
\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots \\
a_n - a_{n-1} = b_n &\quad (1.n) &\quad b_n - b_{n+1} = k &\quad (2.n)
\end{matrix}</math>Kita akan mengurangi masing-masing persamaan di atas, dimulai dari <math>(1.1)</math> dengan <math>(1.2)</math>, <math>(1.2)</math> dengan <math>(1.3)</math>, dan seterusnya. Dari kumpulan persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh
<math display="block">\begin{matrix}
a_3 - 2a_2 + a_1 &= &b_2 - b_1 &= &k & (3.1)\\
a_4 - 2a_3 + a_2 &= &b_3 - b_2 &= &k &(3.2)\\
a_5 - 2a_4 + a_3 &= &b_4 - b_3 &= &k &(3.3)\\
a_6 - 2a_5 + a_4 &= &b_5 - b_4 &= &k &(3.4)\\
\vdots &&\vdots &&\vdots &\vdots\\
\end{matrix}</math>Pada persamaan <math>(3.1)</math> dengan <math>(3.2)</math>, kita memperoleh
:<math>a_3 - 2a_2 + a_1 = a_4 - 2a_3 + a_2 \iff a_4 = 3a_3 - 3a_2 + a_1</math>
Hal yang serupa pada <math>(3.2)</math> dengan <math>(3.3)</math>, <math>(3.4)</math> dengan <math>(3.5)</math>, dst. Dengan mengikuti cara di atas, kita memperoleh
<math display="block">\begin{matrix}
a_4 - 2a_3 + a_2 = a_5 - 2a_4 + a_3 &\iff a_5 = 3a_4 - 3a_3 + a_2 \\
a_5 - 2a_4 + a_3 = a_6 - 2a_5 + a_4 &\iff a_6 = 3a_5 - 3a_4 + a_3 \\
a_6 - 2a_5 + a_4 = a_7 - 2a_6 + a_5 &\iff a_7 = 3a_6 - 3a_5 + a_4 \\
\vdots &\vdots
\end{matrix}</math>
Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa
:<math>a_n = 3a_{n-1} - 3a_{n-2} + a_{n-3}</math>. <math>\blacksquare</math><ref>Drs. Sumarno Imail, M.Pd, [https://adoc.pub/syarat-atau-nilai-awal-a-dengan-solusi-umum-pola-barisan-ari.html ''Suku Ke-<math>n</math> Barisan Aritmetika Tingkat Dua, Tiga dan Empat dengan Pendekatan Akar Karakteristik''], hlm. 4-5.</ref>
{{collapse bottom}}
Kita lakukan lagi pada barisan tingkat tiga. Misalkan <math>c_i</math>, <math>b_i</math>, <math>a_i</math> adalah masing-masing suku pada barisan tingkat pertama, kedua, dan ketiga, dengan <math>i = 1,\dots, n</math>. Misalkan <math>k</math> adalah bilangan tetap dari barisan tingkat ketiga. Suku <math>a_n</math> dapat dirumuskan secara rekursif, yakni
: <math>a_n = 4a_{n-1} - 6a_{n-2} + 4a_{n-3} - a_{n-4}</math>.
{{collapse top|title=Bukti barisan aritmetika tingkat ketiga}}
<math display="block">\begin{matrix}
a_2 - a_1 = b_1 &\quad (1.1) &\quad b_2 - b_1 = c_1 &\quad (2.1) & c_2 - c_1 = k &\quad (3.1) \\
a_3 - a_2 = b_2 &\quad (1.2) &\quad b_3 - b_2 = c_2 &\quad (2.2) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_4 - a_3 = b_3 &\quad (1.3) &\quad b_4 - b_3 = c_3 &\quad (2.3) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_5 - a_4 = b_4 &\quad (1.4) &\quad b_5 - b_4 = c_4 &\quad (2.4) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_6 - a_5 = b_5 &\quad (1.5) &\quad b_6 - b_5 = c_5 &\quad (2.5) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
a_7 - a_6 = b_6 &\quad (1.6) &\quad b_7 - b_6 = c_6 &\quad (2.6) & c_3 - c_2 = k &\quad (3.2) \\
\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad &\vdots &\quad \vdots\\
a_n - a_{n-1} = b_n &\quad (1.n) &\quad b_n - b_{n+1} = c_n &\quad (2.n) &c_{n+1} - c_n = k &\quad (3.n)
\end{matrix}</math>Dengan cara yang serupa (pada barisan tingkat dua), kita memperoleh
<math display="block">\begin{matrix}
b_3 - 2b_2 + b_1 = c_2 - c_1 = k & (4.1) \\
b_4 - 2b_3 + b_2 = c_3 - c_2 = k & (4.2) \\
b_5 - 2b_3 + b_3 = c_3 - c_2 = k & (4.3) \\
b_6 - 2b_5 + b_4 = c_4 - c_3 = k & (4.4) \\
\vdots & \vdots
\end{matrix}</math>sehingga
<math display="block">\begin{matrix}
b_4 &= 3b_3 - 3b_2 + b_1 \\
b_5 &= 3b_4 - 3b_3 + b_2 \\
b_6 &= 3b_5 - 3b_4 + b_3 \\
\vdots &\vdots
\end{matrix}</math>dan didapati <math>b_n = 3b_{n-1} - 3b_{n-2} + b_{n-3}</math>. Karena <math>a_n - a_{n-1} = b_{n-1}</math>, maka didapati
:<math>\begin{align}
a_n - a_{n-1} &= 3(a_{n-1} - a_{n-2}) - 3(a_{n-2} - a_{n-3}) + (a_{n-3} - a_{n-4}) \\
a_n &= 4a_{n-1} - 6a_{n-2} + 4a_{n-3} - a_{n-4} \quad \blacksquare
\end{align}</math>
Demikian, kita telah membuktikannya.<ref>Drs. Sumarno Imail, M.Pd, [https://adoc.pub/syarat-atau-nilai-awal-a-dengan-solusi-umum-pola-barisan-ari.html ''Suku Ke-<math>n</math> Barisan Aritmetika Tingkat Dua, Tiga dan Empat dengan Pendekatan Akar Karakteristik''], hlm. 9–11.</ref>
{{collapse bottom}}
Ini akan terus berlanjut untuk barisan tingkat keempat, kelima, dst.
== Lihat pula ==
* [[Barisan]]
* [[Deret (matematika)]]
* [[Barisan dan deret geometri]]
== Referensi ==
<references responsive="" />
* {{cite book
|title = Fibonacci's Liber Abaci
|url = https://archive.org/details/fibonaccislibera00sigl
|author = Sigler, Laurence E. (trans.)
|publisher = Springer-Verlag
|year = 2002
|isbn = 0-387-95419-8
|pages = [https://archive.org/details/fibonaccislibera00sigl/page/n260 259]–260}}
== Bacaan lebih lanjut ==
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-505-X }} {{id icon}}
* {{cite book|last= Kurnianingsih|first= Sri|authorlink=|coauthors=Kuntarti, Sulistiyono|title=Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS|year= 2007|publisher= Esis/Erlangga|location= Jakarta|id= ISBN 979-734-568-8 }} {{id icon}}
== Pranala luar ==
* {{springer|title=Arithmetic series|id=p/a013370}}
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticProgression|title=Arithmetic progression}}
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticSeries|title=Arithmetic series}}
{{Deret (matematika)}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Matematika]]
| |||