Teorema binomial: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
| (13 revisi perantara oleh 11 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[
Dalam [[aljabar elementer]], '''teorema binomial''' adalah [[teorema]] yang menjelaskan mengenai pengembangan [[eksponen]] dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). Berdasarkan teorema ini, dimungkinkan untuk mengembangkan eksponen (''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup> menjadi sebuah [[penjumlahan]] dari suku-suku dengan bentuk ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup>, dimana eksponen ''b'' dan ''c'' adalah [[bilangan asli|bilangan bulat non negatif]] dengan {{nowrap|''b'' + ''c'' {{=}} ''n''}}, dan [[koefisien]] ''a'' dari setiap suku adalah bilangan bulat positif tertentu tergantung pada ''n'' dan ''b''. Ketika suatu eksponen adalah nol, faktor yang bereksponen nol tersebut biasanya dihilangkan dari sukunya. Contohnya,
Baris 8:
Koefisien ''a'' pada suku ''ax''<sup>''b''</sup>''y''<sup>''c''</sup> dikenal sebagai [[koefisien binomial]] <math>\tbinom nb</math> atau <math>\tbinom nc</math> (keduanya memiliki nilai yang sama). Koefisien untuk setiap variasi ''n'' dan ''b'' dapat disusun membentuk [[segitiga Pascal]]. Angka-angka ini juga muncul dalam [[kombinatorika]], dimana <math>\tbinom nb</math> menunjukkan banyaknya [[kombinasi]] yang berbeda dari [[unsur (matematika)|unsur]] ''b'' yang dapat dipilih dari suatu [[himpunan (matematika)|himpunan]] dengan unsur sebanyak ''n''.
== Sejarah ==
Peristiwa-peristiwa khusus terkait teorema binomial yang diketahui sejak zaman kuno diikhtisarkan berikut ini:
Abad ke-4 SM [[[[Matematika Yunani|matematikawan Yunani]]]] [[Euklides]] menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen 2.<ref name=wolfram>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html|title=Binomial Theorem|website=Wolfram MathWorld|last=Weisstein|first=Eric W.}}</ref><ref name="Coolidge">{{cite journal|url=http://www.jstor.org/pss/2305028|title=The Story of the Binomial Theorem|first=J. L.|last=Coolidge|journal=The American Mathematical Monthly|volume=56|issue=3|date=1949|pp=147–157|doi=10.2307/2305028}}</ref> Ada bukti bahwa teorema binomial untuk [[kubus]] telah diketahui pada abad ke-6 di [[India]].<ref name=wolfram /><ref name="Coolidge" />
Koefisien binomial, seperti jumlah kombinasi yang menunjukkan banyak cara untuk memilih ''k'' objek dari ''n'' tanpa penggantian, telah menjadi perhatian orang-orang Hindu kuno. Referensi paling awal yang diketahui mengenai permasalahan kombinasi ini adalah ''Chandaḥśāstra'' karya penulis Hindu, [[Pingala]] (sekitar 200 SM), yang memuat suatu metode untuk solusinya.<ref name=Chinese>{{cite book|title=A history of Chinese mathematics |author1=Jean-Claude Martzloff|author2=S.S. Wilson|author3=J. Gernet|author4=J. Dhombres|publisher=Springer|year=1987}}</ref>{{rp|230}} Seorang peneliti bernama [[Halayudha]] dari abad ke-10 M menjelaskan mengenai metode ini menggunakan yang kini dikenal sebagai [[segitiga Pascal]].<ref name=Chinese /> Pada abad ke-6 M, matematikawan Hindu mungkin telah mengetahui cara menunjukkannya dalam sebuah persamaan <math>\frac{n!}{(n-k)!k!}</math>,<ref name="Biggs">{{cite journal|last=Biggs|first=N. L.|title=The roots of combinatorics|journal=Historia Math. |volume=6 |date=1979 |issue=2|pp=109–136|doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0}}</ref> dan suatu pernyataan yang jelas mengenai aturan ini dapat ditemukan dalam naskah abad ke-12 ''Lilavati'' karya [[Bhāskara II|Bhaskara]].<ref name="Biggs" />
Teorema binomial yang sama dapat ditemukan pada hasil tulisan [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Persia]] abad ke-11, [[Al-Karaji]], yang menggambarkan pola segitiga dari koefisien binomial.<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> Ia juga memberikan [[pembuktian matematika]] dari teorema binomial dan segitiga dengan menggunakan suatu bentuk sederhana dari [[induksi matematika]].<ref name=Karaji /> Penyari dan matematikawan Persia [[Umar Khayyām]] mungkin telah akrab dengan rumus-rumus dengan pangkat yang lebih tinggi, meskipun banyak karya-karya matematikanya hilang.<ref name="Coolidge" /> Ekspansi binomial dengan derajat kecil telah diketahui oleh matematikawan abad ke-13 bernama [[Yang Hui]]<ref>{{cite web
| last = Landau
| first = James A.
| title =
| work = Archives of Historia Matematica
| format = mailing list email
| accessdate =
| date =
| url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
| archive-date = 2021-02-24
| archive-url = https://web.archive.org/web/20210224081637/http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
| dead-url = yes
}}</ref> dan [[Zhu Shijie]].<ref name="Coolidge" /> Yang Hui menghubungkan metode itu dengan naskah yang jauh lebih awal berasal dari abad ke-11 tulisan [[Jia Xian]], meskipun tulisan-tulisannya kini juga hilang.<ref name=Chinese />{{rp|142}}
== Pernyataan teorema ==
Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari ''x'' + ''y'' menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk
:<math>(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,
Baris 36 ⟶ 45:
:<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.</math>
== Contoh ==
[[
Contoh paling dasar teorema binomial adalah rumus untuk ''x'' + ''y'' [[kuadrat (aljabar)|kuadrat]]
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!</math>
Baris 67 ⟶ 76:
&= x^3 + 12x^2 + 48x + 64.\end{align}</math>
Untuk binomial dalam pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan menggunakan
:<math>(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!</math>
=== Penjelasan geometris ===
[[Berkas:binomial expansion visualisation.svg|jmpl|300px|Visualisasi ekspansi binomial hingga pangkat 4]]
Untuk setiap ''a'' dan ''b'' bernilai positif, teorema binomial dengan ''n'' = 2 adalah fakta bukti geometris bahwa sebuah bujur sangkat dengan sisi {{nowrap|''a'' + ''b''}} dapat dipotong menjadi sebuah bujur sangkar dengan sisi ''a'', sebuah bujur sangkar dengan sisi ''b'', dan dua [[persegi panjang]] dengan sisi ''a'' dan ''b''. Dengan ''n'' = 3, teorema binomial menyatakan bahwa sebuah kubus dengan sisi {{nowrap|''a'' + ''b''}} dapat dipotong-potong menjadi sebuah kubus dengan sisi ''a'', sebuah kubus dengan sisi ''b'', tiga buah kotak persegi panjang berdimensi ''a''×''a''×''b'', dan tiga buah kotak persegi panjang berdimensi ''a''×''b''×''b''.
Dalam [[kalkulus]], gambar ini juga memberikan bukti geometris bahwa [[turunan]] <math>(x^n)'=nx^{n-1}:</math><ref name="barth2004">{{cite journal | last = Barth | first = Nils R.| title = Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the ''n''-Cube | doi = 10.2307/4145193 | jstor = 4145193 | journal = The American Mathematical Monthly| publisher = Mathematical Association of America| issn = 0002-9890| volume = 111| issue = 9| pages = 811–813 | date=2004 | pmid = | pmc =| postscript = , [http://nbarth.net/math/papers/barth-01-cavalieri.pdf salinan penulis], [http://nbarth.net/math/papers/ penjelasan dan sumber lebih lanjut]}}</ref> jika ditentukan <math>a=x</math> dan <math>b=\Delta x,</math> dengan menginterpretasi ''b'' sebagai suatu perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam ''a,'' maka gambar ini menunjukkan perubahan yang sangat kecil (mendekati nol) dalam volume sebuah hiperkubus berdimensi ''n'', <math>(x+\Delta x)^n,</math> dengan suku koefisien linearnya (dalam <math>\Delta x</math>) adalah <math>nx^{n-1},</math> wilayah dengan ''n'' permukaan, dimensi masing-masing <math>(n-1):</math>
:<math>(x+\Delta x)^n = x^n + nx^{n-1}\Delta x + \tbinom{n}{2}x^{n-2}(\Delta x)^2 + \cdots.</math>
Dengan menggantinya menjadi suatu turunan melalui suatu kuosien diferensiasi dan memasukkan limit berarti bahwa suku berpangkat lebih tinggi – <math>(\Delta x)^2</math> dan lebih tinggi – sehingga diabaikan, dan menghasilkan rumus <math>(x^n)'=nx^{n-1},</math> yang diinterpretasikan sebagai
:"tingkat perubahan sangat kecil dalam volume suatu kubus dengan panjang sisi ''n'' bervariasi pada rentang ''n'' dari permukaannya yang berdimensi <math>(n-1)</math>".
{{clear}}
== Catatan ==
{{reflist}}
== Referensi ==
{{refbegin}}
* {{cite journal|last=Bag|first=Amulya Kumar|year=1966|title=Binomial theorem in ancient India|journal=Indian J. History Sci|volume=1|issue=1|pages=68–74}}
* {{cite journal
|last1 = Barth
|first1 = N. R.
Baris 92 ⟶ 107:
|doi = 10.2307/4145193
}}
* {{cite book|last1=Graham|first1=Ronald|first2=Donald |last2=Knuth|first3= Oren|last3= Patashnik|title=Concrete Mathematics|url=https://archive.org/details/concretemathemat00grah_505|publisher=Addison Wesley|year=1994|edition=2nd|pages=
{{refend}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Aljabar]]
| |||