Logaritma: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''logaritma''' merupakanadalah [[fungsi invers]] dari [[eksponensiasi]]. Dengan kata lain, logaritma dari {{mvar|x}} merupakan [[eksponen]] dengan [[bilangan pokok]] {{mvar|b}} yang dipangkatkan dengan bilangan konstan lain agar memperoleh nilai {{mvar|x}}. Kasus sederhana dalam logaritma adalah menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh, {{math|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10³}} dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai {{math|¹⁰log (1000) {{=}} 3}}. Logaritma dari {{mvar|x}} dengan ''bilangan pokok'' {{mvar|b}} dilambangkan {{math|^''b''log ''x''}}. Terkadang logaritma dilambangkan sebagai {{math|log_''b'' (''x'')}} atau tanpa menggunakan tanda kurung, {{math|log_''b'' ''x''}}, atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok khusus, {{math|log ''x''}}.

Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Selain {{math|^''b''log&thinsp;''x''}}, adapula notasi logaritma lain yang ditulis sebagai {{math|log_''b''&thinsp;''x''}}, dan juga seperti {{math|log&thinsp;''x''}}. Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankan [[Organisasi Standardisasi Internasional]], yakni [[ISO 80000-2]].<ref>Quantities and units – Partunits–Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2</ref> Karena notasi {{math|log {{mvar|x}}}} telah dipakai untuk ketiga bilangan pokok di atas (atau ketika bilangan pokok belum ditentukan), bilangan pokok yang dimaksud harus sering diduga tergantung konteks atau bidangnya. Sebagai contoh, {{Math|log}} biasanya mengacu pada {{math|²log}} dalam ilmu komputer, dan {{Math|log}} mengacu pada {{math|^''e''log}}.<ref>{{citation|first1=Michael T.|last1=Goodrich|author1-link=Michael T. Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|publisher=John Wiley & Sons|date=2002|page=23}}{{quote|1=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms&nbsp;... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base {{mvar|b}} of the logarithm when {{math|1=''b'' = 2}}.}}Terjemahan:{{quote|1=Salah satu hal yang menarik dan terkadang yang paling mengejutkan dalam aspek dari analisis struktur data beserta algoritma adalah bahwa keberadaan logaritma ada dimana-mana&nbsp;... Menjadi kebiasaan dalam literatur komputer, kita menghilangkan penulisan bilangan pokok {{mvar|b}} dari logaritma ketika {{math|1=''b'' = 2}}.}}</ref> Dalam konteks lainnya, {{Math|log}} seringkali mengacu pada {{math|¹⁰log}}.<ref>{{citation|title=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science|edition=illustrated|first1=David F.|last1=Parkhurst|publisher=Springer Science & Business Media|date=2007|isbn=978-0-387-34228-3|page=288|url={{google books |plainurl=y |id=h6yq_lOr8Z4C|page=288 }}}}</ref>

'''Sejarah logaritma''' yang dimulai dari Eropa pada abad ketujuh belas merupakan penemuan [[Fungsi (matematika)|fungsi]] terbaru yang memperluas dunia analisis di luar keterbatasan metode aljabar. Metode logaritma dikemukakan secara terbuka oleh [[John Napier]] pada tahun 1614, dalam bukunya yang berjudul ''[[Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio]]''.<ref>{{citation|first=John|last=Napier|author-link=John Napier|title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|trans-title=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms|language=la|location=Edinburgh, Scotland|publisher=Andrew Hart|year=1614|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001}}</ref><ref>{{Citation|first=Ernest William|last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Namun, teknik-teknik lain sebelum penemuan Napier sudah ada dengan keterbatasan metode yang serupa, contohnya seperti [[prosthafaeresis]] atau penggunaan tabel barisan, yang dikembangkan dengan luas oleh [[Jost Bürgi]] sekitar tahun 1600.<ref name="folkerts">{{citation|last1=Folkerts|first1=Menso|last2=Launert|first2=Dieter|last3=Thom|first3=Andreas|arxiv=1510.03180|doi=10.1016/j.hm.2016.03.001|issue=2|journal=[[Historia Mathematica]]|mr=3489006|pages=133–147|title=Jost Bürgi's method for calculating sines|volume=43|year=2016|s2cid=119326088}}</ref><ref>{{MacTutor|id=Burgi|title=Jost Bürgi (1552 – 16321552–1632)}}</ref> Napier menciptakan istilah untuk logaritma dalam bahasa Latin Tengah, “logaritmus”, yang berasal dari gabungan dua kata Yunani, ''logos'' “proporsi, rasio, kata” + ''arithmos'' “bilangan”. Secara harfiah, "logaritmus" berarti “bilangan rasio”.

[[Logaritma umum]] dari bilangan adalah indeks dari perpangkatan sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut.<ref>William Gardner (1742) ''Tables of Logarithms''</ref> Bilangan yang sangat membutuhkan banyak angka merupakan kiasan kasar untuk logaritma umum, dan [[Archimedes]] menyebutnya sebagai “orde bilangan”.<ref>{{citation|last=Pierce|first=R. C. Jr.|date=January 1977|doi=10.2307/3026878|issue=1|journal=[[The Two-Year College Mathematics Journal]]|jstor=3026878|pages=22–26|title=A brief history of logarithms|volume=8}}</ref> Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Ada beberapa metode yang menggunakan tabel yang diperoleh dari identitas trigonometri,<ref>Enrique Gonzales-Velasco (2011) ''Journey through Mathematics – CreativeMathematics–Creative Episodes in its History'', §2.4 Hyperbolic logarithms, hlm. 117, Springer {{isbn|978-0-387-92153-2}}</ref> dan metode tersebut dinamakan [[prosthafaeresis]].

\ln (z) = 2\cdot\operatorname{artanh}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),

: <math>z = x + iy = r (\cos \varphi + i \sin \varphi )= r (\cos (\varphi + 2k\pi) + i \sin (\varphi + 2k\pi)),</math>

: <math>a_k = \ln (r) + i ( \varphi + 2 k \pi ),\quad</math> untuk bilangan bulat sembarang&nbsp;{{mvar|k}}.