Wikipedia

Pengguna:Kekavigi/bak pasir: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
k ~
k ~
Baris 1:
{{Short description|Determinan dari suatu subbagian dari matriks persegi}}{{About|konsep dalam aljabar linear|konsep ''minor'' dalam teori graf|Graf minor}}
 
Dalam [[aljabar linear]], '''minor''' dari matriks <math>\mathbf{A}</math> adalah [[determinan]] dari beberapa [[matriks persegi]] kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris-dan-kolom matriks <math>\mathbf{A}</math>. Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (disebut dengan '''minor pertama''') diperlukan untuk menghitung matriks '''kofaktor''', yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan [[Matriks yang dapat dibalik|invers]] dari matriks persegi.
Baris 19:
\,\,\,1 & 4\, \\
-1 & 9\, \\
\end{bmatrix} = (9-(-4)) = 13.,</math>dan kofaktor <math>C_{2,3}</math> adalah<math display="block">\ C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.</math>
 
: <math>\ C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.</math>
 
=== Definisi umum ===
Misalkan <math>\mathbf{A}</math> adalah sebuah matriks berukuran <math>m\times n</math> dan <math>k</math> adalah sebuah [[bilangan bulat]] dengan <math>0 < k \leq m</math>, dan <math>k \leq n</math>. Sebuah ''minorMinor'' <math>k \times k</math> dari <math>\mathbf{A}</math> adalah determinan dari sebuahsuatu matriks berukuran <math>k \times k</math> yang diperoleh dengan menghapus <math>(m-k)</math> baris dan <math>(n-k)</math> kolom dari ''<math>\mathbf{A}</math>''. Determinan ini juga disebut sebagai ''determinan minor dengan orde -<math>k</math> dari <math>\mathbf{A}</math>'', atau jikaketika <math>m = n</math>, disebut dengan ''determinan minor ke-''<math>(n-k)</math> dari ''<math>\mathbf{A}</math>''.<ref (katagroup="note">Kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde"). Terkadang istilah ini digunakan untuk merujuk ke matriks <math>k \times k</mathref> yangUntuk diperoleh darimatriks ''<math>\mathbf{A}</math>'' dengantersebut, caraterdapat disebanyak atas<math (yaknidisplay="inline">{m dengan\choose menghapusk} \cdot {n \choose k}</math> minor berukuran <math>(m-k) \times k</math>. baris''Minor danorde-nol'' sering didefinisikan bernilai <math>(n-k)1</math>. kolom),Pada tetapikasus matriks inipersegi, harus dirujuk''minor ke-nol'' sama saja dengan determinan dari matriks ini.<!--Terjemahanref kalimatname="Hohn2">Elementary iniMatrix membingungkanAlgebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-Kekavigi02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics3">{{cite book|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176|title=Encyclopedia of Mathematics|chapter=Minor}}</ref>
 
Misalkan <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> dan <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> adalah suatu [[barisan]] terurutdari indeks,<ref group="note">denganDengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.</ref> dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai <math>I </math> dan <math>J</math>. Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor<math display="block">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan dari indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor tersebutdapat adalahberupa <math display="inline">\det_{I,J} A</math>, <math display="inline">[A]_{I,J}</math>, <math display="inline">M_{I,J}</math>, <math display="inline">M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math>, atau <math>M_{(i),(j)}</math> (dengan <math>(i)</math> melambangkan barisan indeks <math>I </math>, dan seterusnyadst.). JugaLebih lanjut, terdapat dua tipegaya dari denotasi-denotasinotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks <math>I </math> dan <math>J</math>, beberapa penulis<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> bermaksudmenganggap minor dengan indeks <math>I </math> dan <math>J</math>, merujuk pada determinan dari matrikssubmatriks yangsesuai dibentuk sepertidefinisi di atas, dengan mengambilyang anggota-anggotaanggotanya berasal dari matriks asli, daridengan barisindeks yang indeksnyabarisnya ada di <math>I </math> dan kolom yangindeks indeksnyakolomnya ada di <math>J</math>,. sedangkanSedangkan beberapa penulis lainnya, bermaksudmerujuk denganpada sebuahsubmatriks minoryang dikaitkan ke <math>I </math> dan <math>J</math> determinandihasilkan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskanmenghapus baris-baris dalamdi <math>I </math> dan menghapus kolom-kolom dalamdi <math>J</math>.<ref name="Hohn2" /> YangPilihan notasinyanotasi yang digunakan seharusnyaperlu selalui diperiksadipastikan dari sumber dalamyang pertanyaandigunakan. Dalam artikelArtikel ini, kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota-anggota dari baris standar<math>I </math> dan kolom <math>J</math>. Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke-<math>(i,j)</math> dijelaskan di atas; dalam kasus itu, notasi yang eksklusif <mathdisplay="block">M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right).</math>---▼
Untuk matriks ''<math>\mathbf{A}</math>'' di atas, terdapat <math>{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> minor berukuran <math>k \times k</math>. ''Minor dengan orde nol'' sering didefinisikan bernilai <math>1</math>. Pada kasus matriks persegi, ''minor ke-nol'' hanyalah determinan dari matriks.<ref name="Hohn2">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics3">{{cite book|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176|title=Encyclopedia of Mathematics|chapter=Minor}}</ref>
 
▲Misalkan <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> dan <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> adalah suatu barisan terurut<ref>dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain.</ref> dari indeks, sebut mereka masing-masing sebagai <math>I </math> dan <math>J</math>. Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minor<math display="block">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>yang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan dari indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor tersebut adalah <math>\det_{I,J} A</math>, <math>[A]_{I,J}</math>, <math>M_{I,J}</math>, <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math>, atau <math>M_{(i),(j)}</math> (dengan <math>(i)</math> melambangkan barisan indeks <math>I </math>, dan seterusnya). Juga, terdapat dua tipe dari denotasi-denotasi digunakan dalam literaturː dengan minor dikaitkan ke barisan yang diurutkan dari indeks <math>I </math> dan <math>J</math>, beberapa penulis<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> bermaksud determinan dari matriks yang dibentuk seperti di atas, dengan mengambil anggota-anggota dari matriks asli dari baris yang indeksnya ada di <math>I </math> dan kolom yang indeksnya ada di <math>J</math>, sedangkan beberapa penulis lainnya bermaksud dengan sebuah minor dikaitkan ke <math>I </math> dan <math>J</math> determinan dari matriks dibentuk dari matriks asli dengan menghapuskan baris dalam <math>I </math> dan kolom dalam <math>J</math>.<ref name="Hohn2" /> Yang notasinya digunakan seharusnya selalui diperiksa dari sumber dalam pertanyaan. Dalam artikel ini, kita menggunakan definisi yang inklusif dalam memilih anggota-anggota dari baris <math>I </math> dan kolom <math>J</math>. Kasus luar biasanya adalah kasus dari minor pertama atau minor ke-<math>(i,j)</math> dijelaskan di atas; dalam kasus itu, notasi yang eksklusif <math>M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math>
 
standar di mana-mana di literatur dan digunakan dalam artikel ini juga.
 
=== Komplemen ===
Komplemen, <math>B_{ijk\dots,pqr\dots}</math>, dari sebuah minor <math>M_{ijk\dots,pqr\dots}</math>, dari sebuah matriks persegi, <math>\mathbf{A} </math>, dibentuk oleh determinan dari matriks <math>\mathbf{A} </math> dari mana semua baris <math>(ijk\dots)</math> dan kolom <math>(pqr\dots)</math> dikaitkan dengan <math>M_{ijk\dots,pqr\dots}</math> telah dihapus. Komplemen dari minor pertama dari sebuah anggota <math>a_{ij}</math> hanyalah anggota itu.<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.co.uk/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 {{isbn|0-521-66402-0}}.</ref>
 
The complement, ''B<sub>ijk...,pqr...</sub>'', of a minor, ''M<sub>ijk...,pqr...</sub>'', of a square matrix, '''A''', is formed by the determinant of the matrix '''A''' from which all the rows (''ijk...'') and columns (''pqr...'') associated with ''M<sub>ijk...,pqr...</sub>'' have been removed. The complement of the first minor of an element ''a<sub>ij</sub>'' is merely that element.<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.com/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 {{isbn|0-521-66402-0}}.</ref>▼
 
== Penerapan minor dan kofaktor ==
Baris 138 ⟶ 134:
 
* [[Matriks (matematika)#Submatriks|Submatriks]]
 
== Catatan kaki ==
<references group="note" />
 
== Referensi ==
<references group="" responsive="1"></references>
 
== Pranala luar ==
Baris 147 ⟶ 146:
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath entry of ''Cofactors''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120408004640/http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html|date=2012-04-08}}
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minor Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor'']
{{Aljabar linear}}▼
 
 
---
 
{{Short description|Determinant of a subsection of a square matrix}}
 
== Definition and illustration ==
 
=== First minors ===
If '''A''' is a square matrix, then the ''minor'' of the entry in the ''i''th row and ''j''th column (also called the (''i'', ''j'') ''minor'', or a ''first minor''<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) is the [[determinant]] of the [[submatrix]] formed by deleting the ''i''th row and ''j''th column. This number is often denoted ''M<sub>i,j</sub>''. The (''i'', ''j'') ''cofactor'' is obtained by multiplying the minor by <math>(-1)^{i+j}</math>.
 
To illustrate these definitions, consider the following 3 by 3 matrix,
 
: <math>\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
3 & 0 & 5 \\
-1 & 9 & 11 \\
\end{bmatrix}</math>
 
To compute the minor ''M''<sub>2,3</sub> and the cofactor ''C''<sub>2,3</sub>, we find the determinant of the above matrix with row 2 and column 3 removed.
 
: <math> M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
1 & 4 & \Box \\
\Box & \Box & \Box \\
-1 & 9 & \Box \\
\end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}
1 & 4 \\
-1 & 9 \\
\end{bmatrix} = 9-(-4) = 13</math>
 
So the cofactor of the (2,3) entry is
 
: <math>\ C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.</math>
 
=== General definition ===
Let '''A''' be an ''m''&#x2009;×&#x2009;''n'' matrix and ''k'' an [[integer]] with 0 < ''k'' ≤ ''m'', and ''k'' ≤ ''n''. A ''k''&#x2009;×&#x2009;''k'' ''minor'' of '''A''', also called ''minor determinant of order k'' of '''A''' or, if ''m'' = ''n'', (''n''−''k'')''th minor determinant'' of '''A''' (the word "determinant" is often omitted, and the word "degree" is sometimes used instead of "order") is the determinant of a ''k''&#x2009;×&#x2009;''k'' matrix obtained from '''A''' by deleting ''m''−''k'' rows and ''n''−''k'' columns. Sometimes the term is used to refer to the ''k''&#x2009;×&#x2009;''k'' matrix obtained from '''A''' as above (by deleting ''m''−''k'' rows and ''n''−''k'' columns), but this matrix should be referred to as a ''(square) submatrix'' of '''A''', leaving the term "minor" to refer to the determinant of this matrix. For a matrix '''A''' as above, there are a total of <math display="inline">{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> minors of size ''k''&#x2009;×&#x2009;''k''. The ''minor of order zero'' is often defined to be 1. For a square matrix, the ''zeroth minor'' is just the determinant of the matrix.<ref name="Hohn">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics">{{cite book|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176|title=Encyclopedia of Mathematics|chapter=Minor}}</ref>
 
Let <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> and <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> be ordered sequences (in natural order, as it is always assumed when talking about minors unless otherwise stated) of indexes, call them ''I'' and ''J'', respectively. The minor <math display="inline">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math> corresponding to these choices of indexes is denoted <math>\det_{I,J} A</math> or <math>\det A_{I, J}</math> or <math>[A]_{I,J}</math> or <math>M_{I,J}</math> or <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math> or <math>M_{(i),(j)}</math> (where the <math>(i)</math> denotes the sequence of indexes ''I'', etc.), depending on the source. Also, there are two types of denotations in use in literature: by the minor associated to ordered sequences of indexes ''I'' and ''J'', some authors<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> mean the determinant of the matrix that is formed as above, by taking the elements of the original matrix from the rows whose indexes are in ''I'' and columns whose indexes are in ''J'', whereas some other authors mean by a minor associated to ''I'' and ''J'' the determinant of the matrix formed from the original matrix by deleting the rows in ''I'' and columns in ''J''.<ref name="Hohn" /> Which notation is used should always be checked from the source in question. In this article, we use the inclusive definition of choosing the elements from rows of ''I'' and columns of ''J''. The exceptional case is the case of the first minor or the (''i'', ''j'')-minor described above; in that case, the exclusive meaning <math display="inline">M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math> is standard everywhere in the literature and is used in this article also.
 
=== Complement ===
▲The complement, ''B<sub>ijk...,pqr...</sub>'', of a minor, ''M<sub>ijk...,pqr...</sub>'', of a square matrix, '''A''', is formed by the determinant of the matrix '''A''' from which all the rows (''ijk...'') and columns (''pqr...'') associated with ''M<sub>ijk...,pqr...</sub>'' have been removed. The complement of the first minor of an element ''a<sub>ij</sub>'' is merely that element.<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.com/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 {{isbn|0-521-66402-0}}.</ref>
 
== Applications of minors and cofactors ==
 
=== Cofactor expansion of the determinant ===
{{main|Laplace expansion}}
The cofactors feature prominently in [[Laplace expansion|Laplace's formula]] for the expansion of determinants, which is a method of computing larger determinants in terms of smaller ones. Given an {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} matrix <math>A = (a_{ij})</math>, the determinant of ''A'', denoted det(''A''), can be written as the sum of the cofactors of any row or column of the matrix multiplied by the entries that generated them. In other words, defining <math>C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</math> then the cofactor expansion along the ''j''{{Hair space}}th column gives:
 
: <math>\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j} M_{ij} </math>
 
The cofactor expansion along the ''i''{{Hair space}}th row gives:
 
: <math>\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} </math>
Baris 238 ⟶ 196:
 
* If ''I'' = ''J'', then ['''A''']<sub>''I'',''J''</sub> is called a ''principal minor''.
* If the matrix that corresponds to a principal minor is a square upper-left [[Matrix (mathematics)#Submatrix|submatrix]] of the larger matrix (i.e., it consists of matrix elements in rows and columns from 1 to ''k'', also known as a leading principal submatrix), then the principal minor is called a ''leading principal minor (of order k)'' or ''corner (principal) minor (of order k)''.<ref name="Encyclopedia of Mathematics">{{cite book|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176|title=Encyclopedia of Mathematics|chapter=Minor}}</ref> For an ''n''&#x2009;×&#x2009;''n'' square matrix, there are ''n'' leading principal minors.
* A ''basic minor'' of a matrix is the determinant of a square submatrix that is of maximal size with nonzero determinant.<ref name="Encyclopedia of Mathematics" />
* For [[Hermitian matrix|Hermitian matrices]], the leading principal minors can be used to test for [[Positive-definite matrix|positive definiteness]] and the principal minors can be used to test for [[Positive-semidefinite matrix|positive semidefiniteness]]. See [[Sylvester's criterion]] for more details.
Baris 292 ⟶ 250:
 
Keep in mind that ''adjunct'' is not [[adjugate]] or [[adjoint]]. In modern terminology, the "adjoint" of a matrix most often refers to the corresponding [[adjoint operator]].
 
== See also ==
 
* [[Submatrix]]
* [[Compound matrix]]
 
== References ==
{{reflist}}
 
== External links ==
 
* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-19-determinant-formulas-and-cofactors/ MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath entry of ''Cofactors'']
* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minor Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor'']
▲{{Aljabar linear}}
[[Kategori:Aljabar linear]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Kekavigi/bak_pasir"