Teorema binomial: Perbedaan antara revisi

 

Dalam [[aljabar elementer]], '''teorema binomial''' adalah [[teorema]] yang menjelaskan mengenai pengembangan [[eksponen]] dari penjumlahan antara dua variabel (binomial). B

Dari Wikipedia bahasa

 

 

:<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 y^0 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, x^0y^4.</math>

:<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.</math>

 

 

Rumus dan susunan segitiga dari koefisien binomial ini sering dikaitkan dengan [[Blaise Pascal]], yang menguraikannya pada abad ke-17. Tetapi, sebenarnya rumus dan susunan tersebut telah dikenal oleh banyak matematikawan jauh sebelum Pascal. Contohnya, Sir Isaac Newton dihargai atas jasanya yang menjelaskan mengenai teorema binomial umum, yang berlaku untuk setiap eksponen. [[Matematika Yunani|Matematikawan Yunani]] abad ke-4 SM [[Euklides]] menyebutkan kasus khusus teorema binomial untuk eksponen&nbsp;2<ref>[http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html Binomial Theorem]</ref><ref>[http://www.jstor.org/pss/2305028 The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge], ''The American Mathematical Monthly'' '''56''':3 (1949), pp. 147–157</ref> seperti yang dilakukan oleh [[matematika India|matematikawan India]] abad ke-3 SM [[Pingala]] untuk tingkat yang lebih tinggi. Sebuah teorema binomial yang lebih umum dan kemudian disebut "[[segitiga Pascal]]" telah dikenal pada abad ke-10 M oleh matematikawan India [[Halayudha]] dan [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Persia]] [[Al-Karaji]],<ref name=Karaji>{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}</ref> pada abad ke-11 oleh penyair dan matematikawan Persia [[Umar Khayyām]],<ref>{{cite book|last=Sandler|first=Stanley|title=An Introduction to Applied Statistical Thermodynamics|year=2011|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|location=Hoboken NJ|isbn=978-0-470-91347-5}}</ref> dan pada abad ke-13 oleh [[Matematika Cina|matematikawan Cina]] [[Yang Hui]], yang semuanya memperoleh hasil yang sama.<ref>{{Cite web

| last = Landau

}}</ref> Al-Karaji juga memberikan sebuah [[pembuktian matematika]] dari teorema binomial dan segitiga Pascal, dengan menggunakan [[induksi matematika]].<ref name=Karaji/>

 

Berdasarkan teorema binomial, dimungkinkan untuk mengembangkan setiap eksponen dari ''x''&nbsp;+&nbsp;''y'' menjadi suatu penjumlahan dengan bentuk

:<math>(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,

</math>

 

:<math>(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.

</math>

:<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.</math>

 

 

:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!</math>

:<math>(1+x)^{-0.5} = \textstyle 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>

 

{{reflist}}

 

{{refbegin}}

|last1 = Barth

|first1 = N. R.

|doi = 10.2307/4145193

}}

{{refend}}