Revisi per 28 November 2017 17.57 sunting HsfBot (bicara \| kontrib) Bot 1.193.028 suntingan k Bot: Perubahan kosmetika ← Revisi sebelumnya		Revisi per 23 Juni 2019 08.25 sunting balikkan LaninBot (bicara \| kontrib) Bot 268.871 suntingan k Perubahan kosmetik tanda baca Tag: PAWS [1.2] Revisi selanjutnya →
Baris 26: Pilih subruang <math> v_n \subset V</math> dengan dimensi yang lebih kecil (sebenarnya, kita akan mengasumsikan bahwa indeks ''n'' menujukkan dimensinya) dan memecahkan masalah yang perhitungkan. Jika diketahui <math> u_n \in V_n </math> dan untuk setiap <math> v_n \in V_n </math> maka <center><math> a(u_n ,v_n) = f(v_n) </math>.</center> Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat diubah dan hanya ruangnya yang dapat diubah. '''c. Ortogonalitas Galerkin''' Hal ini merupakan sifat mendasar yang membuat analisis matematika dari metode Galerkin sangat jelas. Karena <math>v_n \subset V</math> , kita dapat menggunakan <math> v_n </math> sebagai vector dalam persamaan awal. Substitusi persamaan yang kedua, kita dapati ortogonalitas Galerkin untuk galat <center><math> a(e_n , v_n) = a(u ,v_n) - a(u_n , v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0 </math>.</center> Sekarang, <math>e_n</math> = ''u'' – <math>u_n</math> adalah galat antara solusi masalah awal ''u'' dan persamaan Galerkin <math>u_n</math> secara berturut-turut. Baris 38: Karena tujuan dari metode Galerkin adalah membentuk sistem persamaan linear, maka kita membangun bentuk matriksnya, sehingga dapat digunakan untuk menghitung solusi dengan program computer. Misal <math>e_1 , e_2 , \cdots ,e_n </math> basis untuk <math> v_n </math>. Maka hal ini cukup untuk menguji coba persamaan Galerkin, sebagai contoh: Diketahui <math> u_n \in V_n </math> sehingga <center><math> a(u_n , e_i) = f(e_i) </math>.</center> Kita akan mengembangkan <math> u_n </math> menjadi basis seperti ini, <math> u_n = \sum_{j=1}^n u_j e_j</math> dan memasukkannya kedalam persamaan di atas, sehingga diperoleh <center><math> a(\sum_{j=1}^n u_j e_j , e_i) = \sum_{j=1}^n u_j a(e_j,e_i) = f(e_i) </math> untuk <math>i = 1 , \cdots, n</math>.</center> Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear <math> A_u = f </math>, dimana <math> a_ij = a(e_j , e_i) </math> dengan <math> f_i = f(e_i) </math> Baris 59: Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni: * Pembatasan: untuk setiap <math> u , v \in V</math> adalah benar bahwa <center><math> a(u,v) \le C \lVert u \rVert \lVert v \rVert </math> untuk konstanta C > 0.</center> * Eliptisitas: untuk setiap setiap <math> u \in V</math> adalah benar bahwa Baris 82: Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk [[bilinear]](pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya <math> v_n \in V_n</math> sehingga: <center><math> c\lVert u\rVert ^2 \le a(e_n , e_n) = a(e_n , u-v_n) \le C\lVert e_n \rVert \lVert u-v_n \rVert </math>.</center> Bagi dengan <math> c\lVert e_n \rVert</math> dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma <math>v_h</math>.

Metode Galerkin: Perbedaan antara revisi