Uji kekonvergenan: Perbedaan antara revisi

'''TesUji konvergensikekonvergenan''' ('''Uji konvergensi'''; {{lang-en|convergence tests}}) dalam [[matematika]] adalah kumpulan metode untuk melakukan tesuji yang berkenaan dengan [[deret konvergen]], [[:en:conditional convergence|konvergensikekonvergenan bersyarat]], [[:en:absolute convergence|konvergensikekonvergenan mutlak]], [[:en:interval of convergence|intervalkekonvergenan konvergensiselang]] atau divergensi suatu [[deret (matematika)|deret tak terhingga]].

=== [[TesLimit elemendari jinumlah]] ===

Jika limit dari ''summandjinumlah'' (jumlahatau semualimit elemendari ''yang dijumlahkan'') tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu <math>\lim_{n \to \infty}a_n \ne 0</math>, maka deret itutersebut pastilahpasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan [[:en:Cauchybarisan sequence|Cauchy]] [[:en:onlyJika ifdan hanya jika|hanya jika]] limit ini ada dan sama dengan nol. TesUji ini tidak mempunyai kesimpulan (''inconclusive'') jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.

=== [[TesUji rasio]] ===

JugaIni juga dikenal sebagai "'''Kriteria D'Alembert'''" (''D'Alembert's criterion''). MisalnyaAndaikan adaterdapat <math>r</math> sedemikian rupa sehingga

:Jika ''r'' < 1, maka deret itutersebut konvergen.

:Jika ''r'' > 1, maka deret itutersebut divergen.

:Jika ''r'' = 1, tesuji rasio tidak konklusifmeyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

=== [[TesUji akar]] ===

JugaIni juga dikenal sebagai "'''TestUji akar ke-n'''" (''n''th root test'' atau "'''Kriteria Cauchy'''", ''Cauchy's criterion)''). Diketahui ''r'' didefinisikan sebagai berikut:Misalkan

:di mana "<math>\lim \sup"</math> melambangkan [[:en:limit superior|batas atas limit]] (mungkinkemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).

:Jika ''r'' < 1, maka deret itutersebut konvergen.

:Jika ''r'' > 1, maka deret itutersebut divergen.

:Jika ''r'' = 1, tesuji akarakarnya tidak konklusifmeyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.

=== [[:en:Integral test for convergence|TesUji integral]] ===

Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen. Misalnya <math>f:[1,\infty)\to\R_+</math> adalah suatu fungsi positif dan [[Fungsi monoton|monoton menurun]] sedemikian rupa sehingga <math>f(n) = a_n</math>.

=== [[:en:Direct comparison test|TesUji perbandingan langsung]] ===

Jika deret <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> merupakan suatu deret [[:en:absolutelyKekonvergenan convergentmutlak|konvergen mutlak]] dan <math>|a_n|\le |b_n|</math> untuk ''n''&nbsp; yang cukup besar, maka deret <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> mutlak konvergen (''absolutely convergent'')mutlak.

=== [[:en:Limit comparison test|TesUji perbandingan limit]] ===

Jika <math>\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0</math>, dan limit <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}</math> ada, finitmerupakan terhingga dan bukan nol, maka <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen [[jika dan hanya jika]] <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> konvergen.

=== [[:en:Cauchy condensation test|TesUji kondensasi Cauchy]] ===

Misalkan <math>\left \{ a_n \right \}</math> adalah urutan positif yang tidak meningkat. Maka jumlah <math>A = \sum_{n=1}^\infty a_n</math> adalah konvergen [[jika dan hanya jika]] jumlah <math>A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}</math> konvergen. Lagi pualpula, jika konvergen, maka <math>A \leq A^* \leq 2A</math> berlaku.

=== [[TesUji Abel]] ===

=== [[TesUji Raabe-DuhamelRaabe–Duhamel]] ===

Suatu rumus alternatifselang-seling tesdari uji ini adalah sebagai berikut. Misalkan { ''a''_n } adalah suatu deret bilangan real. Maka jika ''b'' > 1 dan K (sebuah bilangan asli) ada sedemikian sehingga

<math> \left|\frac{ a_{ n + 1 } }{ a_n }\right| \le 1 - \frac{ b }{ n } </math>

* Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk [[deret Fourier]] digunakan [[:en:Dini test|tesuji Dini]]

TesUji akar lebih kuat dari tesuji rasio (lebih kuat karena syarat yang dibutuhkan lebih lemah): bilamana tesuji rasio menentukan suatu deret tak terhingga itu konvergen atau divergen, maka hasil yang sama didapat dari tesuji akar, tetapi sebaliknya tidak selalu demikian.<ref>[http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/t_ratio.html Tes Rasio]</ref>

:1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4

[[:en:Cauchy condensation test|TesUji kondensasi Cauchy]] menyiratkan bahwa (*) konvergen secara finithingga jika

(**) merupakan [[deret geometri]]geometrik dengan rasio <math> 2^{(1-\alpha)} </math>. (**) secara finitmerupakan konvergen hingga jika rasionya kurang dari satu (yaitu <math>\alpha > 1</math>). Jadi, (*) secara finitmerupakan konvergen hingga [[jika dan hanya jika]] <math> \alpha > 1 </math>.

* [[:en:L'Hôpital's rule|Kaidah L'Hôpital]]

* [[:en:Shift rule|Kaidah geser]]