Lokus (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 3:
Dalam [[matematika]], sebuah '''lokus''' (dari kata [[Bahasa Latin|Latin]] '''''locus''''' yang berarti "tempat", '''''loci''''' jika jamak) adalah sekumpulan [[titik|titik-titik]] dengan sifat-sifat yang sama. Istilah 'lokus' biasanya digunakan untuk mendefinisikan sebuah figur kontinu, atau [[kurva]]. Sebagai contoh, [[garis]] adalah lokus titik-titik yang menghubungkan dua titik tetap atau dua garis [[paralel]] dengan jarak terpendek.
== Sejarah dan Filsafat ==
Sampai awal abad ke-20, bentuk geometris (misalnya kurva) tidak dianggap sebagai kumpulan titik yang tak terbatas; sebaliknya, itu dianggap sebagai entitas di mana sebuah titik mungkin berada atau di mana ia bergerak. Jadi [[lingkaran]] di [[bidang Euklides]] didefinisikan sebagai '' lokus '' dari titik yang berada pada jarak tertentu dari titik tetap, pusat lingkaran. Dalam matematika modern, konsep serupa lebih sering dirumuskan ulang dengan menggambarkan bentuk sebagai himpunan; misalnya, seseorang mengatakan bahwa lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berada pada jarak tertentu.<ref>{{citation |title=The History of Mathematics: A Brief Course |first=Roger L. |last=Cooke |edition=3rd |publisher=John Wiley & Sons |year=2012 |isbn=9781118460290 |url=https://books.google.com/books?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT534 |contribution=38.3 Topology |quote=Kata lokus adalah salah satu yang masih kita gunakan sampai sekarang untuk menunjukkan jalan yang diikuti oleh subjek yang bergerak ke batasan yang dinyatakan, meskipun, sejak diperkenalkannya teori himpunan, lokus lebih sering dianggap secara statis sebagai himpunan titik yang memenuhi koleksi tertentu.}}</ref>
Berbeda dengan pandangan teori-himpunan, rumusan lama menghindari mempertimbangkan koleksi tak hingga, karena menghindari [[tak terhingga | tak terhingga aktual]] merupakan posisi filosofis penting awal.<ref>{{citation |title=Elements of the History of Mathematics |first=N. |last=Bourbaki |authorlink=Nicolas Bourbaki |translator=J. Meldrum |publisher=Springer |year=2013 |isbn=9783642616938 |page=26 |url=https://books.google.com/books?id=4JprCQAAQBAJ&pg=PA26 |quote=the ahli matematika klasik dengan hati-hati menghindari memasukkan alasan mereka 'ketidakterbatasan yang sebenarnya'}}.</ref><ref name="microscope"/>
Setelah [[teori himpunan]] menjadi dasar universal di mana seluruh matematika dibangun,<ref>{{citation |title=The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets |volume=82 |series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |first=John P. |last=Mayberry |publisher=Cambridge University Press |year=2000 |isbn=9780521770347 |url=https://books.google.com/books?id=mP1ofko7p6IC&pg=PA7 |page=7 |quote=teori himpunan memberikan dasar untuk semua matematika}}.</ref> istilah lokus menjadi agak kuno.<ref>{{citation |title=Combinatorics and Geometry, Part 1 |volume=5 |series=Handbook of Applicable Mathematics |first1=Walter |last1=Ledermann |first2=S. |last2=Vajda |publisher=Wiley |year=1985 |isbn=9780471900238 |page=32 |quote=Kami mulai dengan menjelaskan istilah yang agak kuno}}.</ref> Meskipun demikian, kata tersebut masih banyak digunakan, terutama untuk rumusan yang ringkas, misalnya:
* ''[[Lokus kritis]] '', himpunan [[titik kritikal (matematika) | titik kritikal]] dari [[fungsi terdiferensiasi]].
* ''Lokus nol '' atau '' lokus menghilang '', himpunan titik di mana fungsi menghilang, di mana ia mengambil [[Nilai (matematika) | nilai]] nol.
* ''Lokus tunggal '', himpunan [[singularitas (matematika) | titik singular]] dari [[variasi aljabar]].
* ''[[Lokus keterhubungan]] '', himpunan bagian dari himpunan parameter dari sebuah keluarga [[fungsi rasional]] yang [[himpunan Julia]] dari fungsinya dihubungkan.
Baru-baru ini, teknik seperti teori [[Skema (matematika) | skema]], dan penggunaan [[teori kategori]] daripada [[teori himpunan]] untuk memberikan dasar pada matematika, telah kembali ke pengertian lebih seperti definisi asli dari lokus sebagai objek itu sendiri daripada sebagai satu set titik.<ref name="microscope">{{citation |title=Mathematics Under the Microscope: Notes on Cognitive Aspects of Mathematical Practice |first=Alexandre |last=Borovik |publisher=American Mathematical Society |year=2010 |isbn=9780821847619 |contribution=6.2.4 Can one live without actual infinity? |url=https://books.google.com/books?id=hEPSAwAAQBAJ&pg=PA124 |page=124}}.</ref>
== Contoh ==
[[Berkas:Locus apollonius.svg|thumb|(jarak ''PA'') = 3. (jarak ''PB'')]]
=== Contoh pertama ===
Temukan lokus titik '' P '' yang memiliki rasio jarak tertentu ''k'' = ''d''<sub>1</sub>/''d''<sub>2</sub> ke dua titik yang diberikan.
Dalam contoh ini ''k'' = 3, ''A''(−1, 0) and ''B''(0, 2) dipilih sebagai titik tetap.
: ''P''(''x'', ''y'') adalah titik lokus
: <math>\Leftrightarrow |PA| = 3 |PB| </math>
: <math>\Leftrightarrow |PA|^2 = 9 |PB|^2 </math>
: <math>\Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y - 0)^2 = 9(x - 0)^2 + 9(y - 2)^2 </math>
: <math>\Leftrightarrow 8(x^2 + y^2) - 2x - 36y + 35 = 0 </math>
: <math>\Leftrightarrow \left(x - \frac18\right)^2 + \left(y - \frac94\right)^2 = \frac{45}{64}.</math>
Persamaan ini merepresentasikan [[lingkaran]] dengan pusat (1/8, 9/4) dan jari-jari <math>\tfrac{3}{8}\sqrt{5}</math>. Ini adalah [[lingkaran definisi Apollonius#Apollonius dari sebuah lingkaran|lingkaran Apollonius]] yang ditentukan oleh nilai-nilai ini ''k'', ''A'', dan ''B''.
=== Contoh kedua ===
[[File:Locus3a.svg|thumb|Locus of point C]]
A triangle ''ABC'' has a fixed side [''AB''] with length ''c''.
Determine the locus of the third [[Vertex (geometry)|vertex]] ''C'' such that
the [[Median (geometry)|medians]] from ''A'' and ''C'' are [[orthogonal]].
Choose an [[orthonormal]] [[coordinate system]] such that ''A''(−''c''/2, 0), ''B''(''c''/2, 0).
''C''(''x'', ''y'') is the variable third vertex. The center of [''BC''] is ''M''((2''x'' + ''c'')/4, ''y''/2). The median from ''C'' has a slope ''y''/''x''. The median ''AM'' has [[slope]] 2''y''/(2''x'' + 3''c'').
[[File:Locus3.svg|thumb|The locus is a circle]]
:''C''(''x'', ''y'') is a point of the locus
:<math>\Leftrightarrow</math> the medians from ''A'' and ''C'' are orthogonal
:<math>\Leftrightarrow \frac{y}{x} \cdot \frac{2y}{2x + 3c} = -1 </math>
:<math>\Leftrightarrow 2 y^2 + 2x^2 + 3c x = 0 </math>
:<math>\Leftrightarrow x^2 + y^2 + (3c/2) x = 0 </math>
:<math>\Leftrightarrow (x + 3c/4)^2 + y^2 = 9c^2/16. </math>
The locus of the vertex ''C'' is a circle with center (−3''c''/4, 0) and radius 3''c''/4.
== Lihat pula ==
* [[Variasi aljabar]]
*[[Melengkung]]
*[[Garis (geometri)]]
*[[Wilayah (matematika)]]
*[[Bentuk (geometri)]]
== Referensi ==
{{reflist}}
[[Kategori: Geometri dasar]]
[[Kategori:Geometri]]
| |||