|
[[Berkas:Binary logarithm plot with ticks.svg|jmpl|ka|320px|Kurva log<sub>2</sub> ''n'']]
'''Logaritma biner''' ({{lang-en|binary logarithm}}) dalam [[matematika]] adalah, adalah [[logaritma]] dengan [[Sistem bilangan biner|basis 2]], yang biasanya dilambangkan dengan '''log<sub>2</sub> ''n''''' atau '''<sup>2</sup>log ''n'''''. MerupakanLogaritma biner merupakan [[fungsi invers]] dari [[fungsi kuadrat|fungsi kuadrat atau fungsi pangkat dua]]. Logaritme biner ''n'' adalah kepangkatan bilangan [[2 (angka)|dua]] untuk mendapatkan nilai ''n''. Jadi:
:<math>x=\log_2 n \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=n.</math>
Misalnya logaritma biner 1 adalah 0, logaritma biner 2 adalah 1, logaritma biner 4 adalah 2, logaritma biner 8 adalah 3, logaritma biner 16 adalah 4, logaritma biner 32 adalah 5 dan seterusnya.
Misalnya:
* logaritme biner 1 adalah 0
* logaritme biner 2 adalah 1
* logaritme biner 4 adalah 2
* logaritme biner 8 adalah 3
* logaritme biner 16 adalah 4
* logaritme biner 32 adalah 5
dan seterusnyaq
Logaritma biner terkait erat dengan "[[Sistemsistem bilangan biner]]". Dalam sejarahnya, aplikasi pertama logaritmelogaritma biner adalah dalam [[teori musik]], oleh [[Leonhard Euler]]: logaritma biner dari perbandingan frekuensi antara dua nada menghasilkan perbedaan [[oktaf]] antara nada-nada tersebut. Bidang lain yang sering menggunakan logaritmelogaritma biner termasukdi antaranya adalah [[teori informasi]], [[:en:combinatorics|combinatoricskombinatorika]], [[:en:computer science|computerilmu sciencekomputer]], [[bioinformatika]], desain turnamen olahraga, dan [[fotografi]].
== Sejarah ==
[[Berkas:Leonhard_Euler.jpg|jmpl|180px|[[Leonhard Euler]] adalah orang pertama yang menerapkan logaritme biner pada [[teori musik]], pada tahun 1739.]]
Tabel pangkat dua dipublikasikan oleh [[:en:Michael Stifel|Michael Stifel]] pada tahun 1544 dan dapat ditafsirkan (dengan membalikkan baris-barisnya) sebagai tabel logaritmelogaritma biner.<ref>
{{Citation|title = Precalculus mathematics|first1 = Vivian Shaw|last1= Groza |first2= Susanne M. |last2=Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page = 182|url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}.</ref><ref>{{citation
| last = Stifel | first = Michael | author-link = Michael Stifel
| title = Arithmetica integra
| url = http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22
| year = 1544}}. A copy of the same table with two more entries appears on p. 237, and another copy extended to negative powers appears on p. 249b.</ref> Aplikasi logaritmelogaritma biner pada teori musik dilakukan oleh [[Leonhard Euler]] pada tahun 1739, jauh sebelum teori informasi dan sainsilmu komputer menjadi bidang studi. Sebagai bagian karyanya dalam bidang ini, Euler menyertakan suatu tabel logaritmelogaritma biner bagiuntuk integerbilangan bulat dari 1 sampai 8, sampai dengan tujuh desimal untuk keakuratannya.<ref>{{citation
| last = Euler | first = Leonhard | author-link = Leonhard Euler
| contribution = Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus
== Notasi ==
Dalam matematika, logaritmelogaritma biner suatu bilangan ''n'' ditulis sebagai log<sub>2</sub> ''n'' atau <sup>2</sup>log ''n''. Namun, sejumlah notasi lain fungsi ini telah diusulkan dan digunakan dalam berbagai bidang.
Sejumlah pengarang menuliskan logaritme biner sebagai '''lg ''n'''''.<ref name="clrs">{{Introduction to Algorithms|pages=34, 53–54|edition=2}}</ref><ref name="sw11">{{citation|title=Algorithms|first1=Robert|last1=Sedgewick|author1-link=Robert Sedgewick (computer scientist)|first2=Kevin Daniel|last2=Wayne|publisher=Addison-Wesley Professional|year=2011|isbn=9780321573513|page=185|url=http://books.google.com/books?id=MTpsAQAAQBAJ&pg=PA185}}.</ref> [[Donald Knuth]] mengungkapkan bahwa notasi ini didapatnya dari usulan [[:en:Edward Reingold|Edward Reingold]],<ref name="knuth">{{citation|title=[[The Art of Computer Programming]], Volume 1: Fundamental Algorithms|first=Donald E.|last=Knuth|authorlink=Donald Knuth|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley Professional|year=1997|isbn=9780321635747}}, [http://books.google.com/books?id=x9AsAwAAQBAJ&pg=PA11 p. 11]. The same notation was in the 1973 2nd edition of the same book (p. 23) but without the credit to Reingold.</ref> tetapi penggunaannya dalam teori informasi maupun sainsilmu komputer tampaknya sudah ada sebelum Reingold aktif.<ref>{{citation
| last = Trucco | first = Ernesto
| doi = 10.1007/BF02477836
| volume = EC-11
| year = 1962}}.</ref> Logaritme biner juga pernah ditulis sebagai '''log ''n''''', dengan catatan bahwa basis default logaritma adalah bilangan 2 (bukan 10 sebagaimana lazimnya).<ref>{{citation|title=Mathematics for Engineers|first1=Georges|last1=Fiche|first2=Gerard|last2=Hebuterne|publisher=John Wiley & Sons|year=2013|isbn=9781118623336|page=152|url=http://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT152|quote=In the following, and unless otherwise stated, the notation log ''x'' always stands for the logarithm to the base 2 of ''x''}}.</ref><ref>{{citation|title=Elements of Information Theory|first1=Thomas M.|last1=Cover|first2=Joy A.|last2=Thomas|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=2012|isbn=9781118585771|page=33|url=http://books.google.com/books?id=VWq5GG6ycxMC&pg=PT33|quote=Unless otherwise specified, we will take all logarithms to base 2}}.</ref><ref name="gt02">{{citation|first1=Michael T.|last1=Goodrich|author1-link=Michael T. Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|author2-link=Roberto Tamassia|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|publisher=John Wiley & Sons|year=2002|page=23|quote=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base ''b'' of the logarithm when ''b'' = 2.}}</ref>
Another notation that is sometimes used for the same function (especially in the [[German language]]) is '''ld ''n''''', from [[Latin]] ''[[wikt:en:logarithmus#Latin|logarithmus]] [[wikt:en:dualis#Latin|duālis]]''.<ref>For instance, see {{citation|title=Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum|first=Friedrich L.|last=Bauer|publisher=Springer Science & Business Media|year=2009|isbn=9783642029929|page=54|url=http://books.google.com/books?id=y4uTaLiN-wQC&pg=PA54}}.</ref> The [[ISO 31-11]] and [[ISO 80000-2]] specifications recommend yet another notation, '''lb ''n'''''; in this specification, lg ''n'' is instead reserved for log<sub>10</sub> ''n''. However, the ISO notation has not come into common use. ▼
▲AnotherNotasi notationlain thatyang isterkadang sometimesdigunakan useduntuk forfungsi the same functiontersebut ( especially interutama thedalam [[ Germanbahasa languageJerman]]) isadalah '''ld ''n''''', fromdari frasa [[ bahasa Latin]] ''[[wikt :en:logarithmus# bahasa Latin|logarithmus]] [[wikt :en:dualis# bahasa Latin|duālis]]''.<ref>For instance, see {{citation|title=Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum|first=Friedrich L.|last=Bauer|publisher=Springer Science & Business Media|year=2009|isbn=9783642029929|page=54|url=http://books.google.com/books?id=y4uTaLiN-wQC&pg=PA54}}.</ref> TheSpesifikasi [[ISO 31-11]] anddan [[ISO 80000-2]] specificationsmenyarankan recommendnotasi yet another notationlainnya, '''lb ''n'''''; indalam thisspesifikasi specificationini, lg ''n'' isdigunakan instead reserved foruntuk log<sub>10</sub> ''n''. <ref>For However,DIN the1302 ISOsee notation has not come into common use.{{citation
==Applications==
| title=Brockhaus Enzyklopädie in zwanzig Bänden | language=de |trans-title=Brockhaus Encyclopedia in Twenty Volumes
===Information theory===
| volume=11 | page=554
The number of digits ([[bit]]s) in the [[binary representation]] of a positive integer ''n'' is the [[Floor and ceiling functions|integral part]] of 1 + log<sub>2</sub> ''n'', i.e.<ref name="sw11"/> ▼ | publisher=F.A. Brockhaus | location=Wiesbaden
| isbn=978-3-7653-0000-4
| year=1970
}}.</ref><ref>For ISO 31-11 see {{citation
| last1 = Thompson | first1 = Ambler
| last2 = Taylor | first2 = Barry M
| date = March 2008
| page = 33
| publisher = [[NIST]]
| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing
| url = http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf}}.</ref><ref>For ISO 80000-2 see {{citation
| chapter-url=http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf
| title=International Standard ISO 80000-2
| chapter=Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology
| edition=1st|date=December 1, 2009
| at=Section 12, Exponential and logarithmic functions, p. 18}}.</ref>
==Penerapan==
===Teori informasi===
▲TheBanyak number of digitsdigit ([[bit]] s) in thedalam [[ binaryrepresentasi representationbiner]] ofsebuah abilangan positivebulat integerpositif ''n'' is theadalah [[ FloorFungsi andlantai ceilingdan functionsatap| integralbagian partbulat]] ofdari 1 + log<sub>2</sub> ''n'', i.e.<ref name="sw11"/>
:<math> \lfloor \log_2 n\rfloor + 1. \, </math>
InDalam informationteori theoryinformasi, thedefinisi definitiondari of the amount ofbanyak [[self-informationkonten informasi]] anddan [[informationentropi entropyinformasi]] issering oftendiekspresikan expresseddengan withlogaritma the binary logarithmbiner, corresponding to making themenyebabkan bit bemenjadi thesatuan fundamental unituntuk of informationinformasi. HoweverAkan tetapi, the [[naturallogaritma logarithmalami]] and thedan [[Nat (unitsatuan)|nat]] are alsojuga useddigunakan indalam alternativenotasi notationsalternatif foruntuk thesedefinisi definitionstersebut.<ref>{{citation|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=9780521467605|page=3|url=http://books.google.com/books?id=tBuI_6MQTcwC&pg=PA3}}.</ref>
===CombinatoricsKombinatorika===
[[FileBerkas:SixteenPlayerSingleEliminationTournamentBracket.svg|thumb|280px|A 16-playerSebuah [[singlebraket eliminationturnamen]] [[Bracketsistem (tournament)|tournament bracketgugur]] with16-pemain theyang structure of aberstruktur [[completepohon binary treebiner]] lengkap. TheTinggi heightpohon oftersebut the(banyak treebabak (numberdalam ofturnamen) roundssama ofdengan thelogaritma tournament)biner equalsuntuk thepohon binarybiner logarithmlengkap foryang completebanyak binarydaunnya treesadalah with[[perpangkatan adari numberdua]], ofdan leavessatu thatnilai islebih abesar [[powerdaripada oflogaritma two]],biner untuk pohon dengan andbanyak isdaun largerselain otherwiseitu.]]
Meskipun [[logaritma alami]] lebih penting daripada logaritma biner dalam banyak bidang matematika murni seperti [[teori bilangan]] dan [[analisis matematis]], logaritma biner memiliki beberapa penerapan dalam [[kombinatoriks]]:
Although the [[natural logarithm]] is more important than the binary logarithm in many areas of pure mathematics such as [[number theory]] and [[mathematical analysis]], the binary logarithm has several applications in [[combinatorics]]:
*EverySemua [[binary tree]] withdengan ''n'' leavesdaun hasmemiliki heighttinggi atpaling leasttidak sebesar <math>\log_2 n</math>, withdengan equalitynilainya whensama persisi apabila ''n'' is amerupakan [[powerperpangkatan ofdari twodua]] anddan thepohonnya tree is amerupakan [[completepohon binarybiner treelengkap]].<ref>{{citation
| last = Leiss | first = Ernst L.
| isbn = 9781420011708
| url = http://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28
| year = 2006}}.</ref>
*EverySemua [[familykeluarga of setshimpunan]] withdengan ''n'' differenthimpunan setsberbeda hasmemiliki atpaling leasttidak <math>\log_2 n</math> elementsanggota indalam its uniongabungannya, withdengan equalitynilainya whensama thepersis familyapabila iskeluarga atersebut merupakan sebuah [[powerhimpunan setkuasa]].<ref>EquivalentlyEkuivalennya, asebuah familykeluarga withdengan ''k'' distinctanggota elementsberbeda haspunya at mostmaksimal 2<sup>''k''</sup> distincthimpunan setsberbeda, withdengan equalitynilainya whensama itpersis isapabila akeluarganya powermerupakan sethimpunan kuasa.</ref><!--
*Every [[partial cube]] with ''n'' vertices has isometric dimension at least <math>\log_2 n</math>, and at most <math>\frac{1}{2}n\log_2 n</math> edges, with equality when the partial cube is a [[hypercube graph]].<ref>{{citation
| last = Eppstein | first = David | authorlink = David Eppstein
| publisher = Wiley-Interscience
| title = Ramsey Theory
| year = 1980}}.</ref>-->
===ComputationalKompleksitas complexitykomputasi===
[[FileBerkas:Binary search into array - example.svg|thumb|240px|[[BinaryPencarian searchbiner]] inpada alarik sortedyang array,berurut anmerupakan algorithmalgoritma whoseyang timekompleksitas complexitywaktunya involvesmelibatkan binarylogaritma logarithmsbiner]]
TheLogaritma binarybiner logarithmjuga alsosering frequentlymuncul appears in thedalam [[analysis ofanalisis algorithmsalgoritma]],<ref name="gt02"/> notbukan onlyhanya becausekarena ofaritmetika thebilangan frequentbiner usekerap ofdigunakan binarydalam number arithmetic in algorithmsalgoritma, buttetapi alsojuga becausekarena binarylogaritma logarithmsbiner occurmuncul indalam theanalisis analysisalgoritma ofyang algorithmsmenggunakan basedpercabangan on two-waydua branchingarah.<ref name="knuth"/> Jika Ifsuatu amasalah problemawalnya initially haspunya ''n'' choicespilihan foruntuk its solutiondipilih, and each iteration of the algorithm reduces the numberdan ofsetiap choicespengulangan byalgoritma amembagi factordua ofbanyak twopilihannya, thenmaka thebanyak numberpengulangan ofyang iterationsdiperlukan neededuntuk tomendapatkan selectsatu apilihan singleadalah choicebagian isbulat again the integral part ofdari log<sub>2</sub> ''n''. ThisIde ideaini isdigunakan useddalam inmenganalisis the analysis of severalbeberapa [[algorithmalgoritma]]s anddan [[struktur data structure]]s. For exampleContohnya, indalam [[binarypencarian searchbiner]], theukuran sizemasalah ofdibagi thedua problempada tosetiap be solved is halved with each iterationpengulangannya, andsehingga thereforeperlu roughlykira-kira log<sub>2</sub>''n'' iterationspengulangan areuntuk neededmendapatkan tomasalah obtain a problem of sizeberukuran 1, whichyang isbisa solveddiselesaikan easilydalam inwaktu constant timekonstan. Similarly,Tidak ajauh perfectly balancedberbeda, [[binarypohon searchpencarian treebiner]] containingyang seimbang dan memiliki ''n'' elementselement pasti haspunya heighttinggi log<sub>2</sub> ''n'' + 1.
HoweverNamun, thelama runningwaktu timedijalankannya ofalgoritma anbiasanya algorithmdiekspresikan is usually expressed indalam [[bignotasi O notationbesar]], ignoringyang constantmengabaikan factorsfaktor konstanta. SinceKarena log<sub>2</sub> ''n'' = (log<sub>''k''</sub> ''n'')/(log<sub>''k''</sub> 2), wheredengan ''k'' canadalah beangka anyapapun numberyang greater thanlebih 1, algorithmsalgoritma yang thatberjalan rundalam inwaktu ''O''(log<sub>2</sub> ''n'') timebisa canjuga alsodikatakan beberjalan saiddalam to run in, say,waktu ''O''(log<sub>13</sub> ''n'') time. The base of theJadi logarithmbasis inlogaritma expressionsdalam suchekspresi-ekspresi asseperti ''O''(log ''n'') oratau ''O''(''n'' log ''n'') is therefore nottidaklah importantpenting.<ref name="clrs"/>
InAkan other contextstetapi, though,dalam thebeberapa base of the logarithmkonteks, needsbasis tologaritma beperlu specifieddijelaskan. For exampleContohnya ''O''(2<sup>log<sub>2</sub> ''n''</sup>) istidak notsama the same asdengan ''O''(2<sup>ln ''n''</sup>) becausekarena theyang formerpertama issama equal todengan ''O''(''n'') andsedangkan yang thekedua lattersama todengan ''O''(''n''<sup>0.6931...</sup>).
AlgorithmsAlgoritma withdengan runningwaktu timejalan ''O''(''n'' log ''n'') areterkadang sometimesdisebut called [[linearithmic]]''linearitmik''.<ref>{{harvtxt|Sedgewick|Wayne|2011}}, [http://books.google.com/books?id=MTpsAQAAQBAJ&pg=PA186 p. 186].</ref> SomeContoh examplesalgoritma ofdengan algorithmswaktu with running timejalan ''O''(log ''n'') oratau ''O''(''n'' log ''n'') aredi antaranya:
*[[quicksort|AverageWaktu timerata-rata dari ''quicksort'']] anddan otherbeberapa [[comparisonalgoritma sort]]pengurutan algorithmslainnya<ref>Cormen et al., p. 156; Goodrich & Tamassia, p. 238.</ref>
*SearchingPencarian in balanceddalam [[binarypohon searchpencarian treebiner]]s yang seimbang<ref>Cormen et al., p. 276; Goodrich & Tamassia, p. 159.</ref>
*[[ExponentiationPemangkatan bydengan squaringmenguadratkan]]<ref>Cormen et al., pp. 879–880; Goodrich & Tamassia, p. 464.</ref>
*[[LongestSubbarisan increasingnaik subsequenceterpanjang]]<ref>{{citation|title=How to Think About Algorithms|first=Jeff|last=Edmonds|publisher=Cambridge University Press|year=2008|isbn=9781139471756|page=302|url=http://books.google.com/books?id=hGuixQMQS_0C&pg=PT280}}.</ref>
BinaryLogarimta logarithmsbiner alsojuga occurmuncul indalam thebentuk exponentseksponen ofbatas thewaktu timeuntuk bounds for somebeberapa [[algoritma divide and conquer|algoritma algorithm''divide and conquer'']]s, such as theseperti [[Karatsubaalgortima algorithmKaratsuba]] foruntuk multiplyingperkalian bilangan ''n''-bit numbers indalam timewaktu <math>O(n^{\log_2 3})</math>.<ref>Cormen et al., p. 844; Goodrich & Tamassia, p. 279.</ref>
===Bioinformatika===
[[Berkas:Mouse cdna microarray.jpg|thumb|280px|Sebuah data [[mikrolarik]] dari ekspresi kira-kira 8700 gen. Tingkat ekspresi relatif dari gen-gen tersebut direpresentasikan menggunakan logaritma biner.]]
InDalam theanalisis analysis ofdata [[ microarraymikrolarik]] data indalam [[ bioinformaticsbioinformatika]], expressiontingkat ratesekspresi ofgen genesbiasanya aredibandingkan oftendengan comparedmenggunakan bylogaritma usingbiner thedari binaryrasio logarithmtingkat ofekspresi. theDengan ratiomenggunakan oflogaritma expression rates. By using basebasis 2 , fortingkat theekspresi logarithm,yang amenjadi doubleddua expressionkali ratelipat canbisa bedigambarkan describeddengan by arasio log ratio of 1, a halvedtingkat expressionekspresi rateyang canmenjadi besetengah describedbisa bydigambarkan adengan log ratio ofrasio −1, anddan antingkat unchangedekspresi expressionyang ratetidak canberubah bebisa describeddigambarkan bydengan arasio log ratio of zeronol, forsebagai instancecontoh.<ref>{{citation|title=Microarray Gene Expression Data Analysis: A Beginner's Guide|first1=Helen|last1=Causton|first2=John|last2=Quackenbush|first3=Alvis|last3=Brazma|publisher=John Wiley & Sons|year=2009|isbn=9781444311563|pages=49–50|url=http://books.google.com/books?id=bg6D_7mdG70C&pg=PA49}}.</ref> DataTitik-titik pointsdata obtainedyang indidapatkan thisdengan waycara areini oftenbiasanya visualizeddivisualisasikan assebagai asebuah [[ scatterplotdiagram pencar]] indi whichmana onesalah orsatu bothatau ofkedua thesumbu coordinatekoordinatnya axesadalah arelogaritma binarybiner logarithmsdari ofrasio intensity ratiosintensitas, oratau indalam visualizationsvisualisasi such as theseperti [[ MAdiagram plotMA]] anddan [[ diagram RA plot]] whichyang rotatememutar anddan scalemenskalakan theserasio log ratiodari diagram scatterplotspencarnya.<ref>{{citation|title=Computational and Statistical Methods for Protein Quantification by Mass Spectrometry|first1=Ingvar|last1=Eidhammer|first2=Harald|last2=Barsnes|first3=Geir Egil|last3=Eide|first4=Lennart|last4=Martens|publisher=John Wiley & Sons|year=2012|isbn=9781118493786|page=105|url=http://books.google.com/books?id=3Z3VbhLz6pMC&pg=PA105}}.</ref> ▼
===Bioinformatics===
[[File:Mouse cdna microarray.jpg|thumb|280px|A [[microarray]] of expression data for approximately 8700 genes. The relative expression rates of these genes are represented using binary logarithms.]]
▲In the analysis of [[microarray]] data in [[bioinformatics]], expression rates of genes are often compared by using the binary logarithm of the ratio of expression rates. By using base 2 for the logarithm, a doubled expression rate can be described by a log ratio of 1, a halved expression rate can be described by a log ratio of −1, and an unchanged expression rate can be described by a log ratio of zero, for instance.<ref>{{citation|title=Microarray Gene Expression Data Analysis: A Beginner's Guide|first1=Helen|last1=Causton|first2=John|last2=Quackenbush|first3=Alvis|last3=Brazma|publisher=John Wiley & Sons|year=2009|isbn=9781444311563|pages=49–50|url=http://books.google.com/books?id=bg6D_7mdG70C&pg=PA49}}.</ref> Data points obtained in this way are often visualized as a [[scatterplot]] in which one or both of the coordinate axes are binary logarithms of intensity ratios, or in visualizations such as the [[MA plot]] and [[RA plot]] which rotate and scale these log ratio scatterplots.<ref>{{citation|title=Computational and Statistical Methods for Protein Quantification by Mass Spectrometry|first1=Ingvar|last1=Eidhammer|first2=Harald|last2=Barsnes|first3=Geir Egil|last3=Eide|first4=Lennart|last4=Martens|publisher=John Wiley & Sons|year=2012|isbn=9781118493786|page=105|url=http://books.google.com/books?id=3Z3VbhLz6pMC&pg=PA105}}.</ref>
-->
=== Teori musik ===
Dalam [[teori musik]], [[Interval (musik)|interval]] atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua [[frekuensi]]nya. Interval yang datang dari rasio [[bilangan rasional]] dengan numeratorpembilang dan denominatorpenyebut kecil diterimapada sebagaikhususnya sangatdianggap ''euphonius''merdu. Interval yang paling sederhana dan paling penting adalah [[oktaf]], suatu rasio frekuensi 2:1. Bilangan oktaf dari perbedaan dua nada merupakan logaritma biner dari rasio frekuensi kedua nada itu.<ref name="mga">{{citation|title=The Musician's Guide to Acoustics|first1=Murray|last1=Campbell|first2=Clive|last2=Greated|publisher=Oxford University Press|year=1994|isbn=9780191591679|page=78|url=http://books.google.com/books?id=iiCZwwFG0x0C&pg=PA78}}.</ref>
Untuk mempelajari [[tuningsistem systempenalaan]] dan aspek lain dari teori musik dibutuhkan pembedaan yang lebih peka antara nada-nada, sehingga diperlukan suatu pengukuran besarnya interval yang lebih halus dari suatu oktaf dan dapat ditambah (sebagaimana suatu [[logaritma]]) bukannya dikalikan (sebagaimana rasio frekuensi). Jadi, jika nada-nada ''x'', ''y'', dan ''z'' membentuk urutan nada-nada yang menaik, maka ukuran interval dari ''x'' ke ''y'' ditambah ukuran interval dari ''y'' ke ''z'' seharusnya sama dengan ukuran interval dari ''x'' ke ''z''. Pengukuran semacam ini dilakukan dengan satuan [[:en:CentSen (musicmusik)|''cent''sen]], yang membagi suatu oktaf menjadi 1200 interval yang sama (12 [[semitone]] yang masing-masing terdiri dari 100 ''cent''). Secara matematis, nada-nada dengan frekuensi ''f''<sub>1</sub> dan ''f''<sub>2</sub>, mempunyai jumlah centsen dalam interval dari ''x'' ke ''y'' sebesar<ref name="mga"/>
:<math>\left|1200\log_2\frac{f_1}{f_2}\right|.</math>
Istilah [[:en:millioctave|milioktaf]] didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi dengan suatu ''multiplier''pengali 1000 bukannya ''1200''.
<!--
===SportsPenjadwalan schedulingolahraga===
InDalam competitivepermainan gamesdan andolah sportsraga involvingdengan twodua playerspemain oratau teamstim indalam eachmasing-masing gamepermainan oratau matchpertandingannya, thelogaritma binarybiner logarithmmenunjukkan indicatesbanyak thebabak numberyang ofdiperlukan roundsuntuk necessarymenentukan inpemengang adalam suatu turnamen dengan [[single-eliminationsistem tournamentgugur]] in order to determine a winner. ForSebagai examplecontoh, aturnamen tournament ofdengan 4 playerspemain requiresperlu log<sub>2</sub>(4) = 2 roundsbabak tountuk determinemenentukan the winnerpemenangnya, a tournamentturnamen ofdengan 32 teamstim requiresmemerlukan log<sub>2</sub>(32) = 5 roundsbabak, etcdsb. InDalam thiskasus case,di mana forterdapat ''n'' playerspemain/teamstim wheredan ''n'' isbukan notperpangkatan a power ofdari 2, log<sub>2</sub>''n'' isdibulatkan roundedke upatas sincekarena itakan willdiperlukan bepaling necessarytidak tosatu havebabak atdi leastmana onetidak roundsemua inpesertanya which not all remaining competitors playbertanding. For exampleMisalnya, log<sub>2</sub>(6) iskira-kira approximatelysama dengan 2.,585, roundeddibulatkan upke atas, indicatesmenunjukkan thatbahwa aturnamen tournament ofdengan 6 requirestim memerlukan 3 roundsbabak (eitherbisa 2jadi teams2 willtim sittidak outbermain thedi firstbabak roundpertama, oratau onesatu teamtim willtidak sitbermain outdi thebabak second roundkedua). TheBanyak samebabak numberyang ofsama roundsjuga isdiperlukan alsountuk necessarymenentukan topemenang determineyang ajelas cleardalam winner[[turnamen insistem a [[Swiss-system tournament]].<ref>{{citation|title=Introduction to Physical Education and Sport Science|first=Robert|last=France|publisher=Cengage Learning|year=2008|isbn=9781418055295|page=282|url=http://books.google.com/books?id=dH2nB1CX2SMC&pg=PA282}}.</ref>
-->
=== Fotografi ===
Dalam [[fotografi]], [[:en:exposure value|nilai eksposureeksposur]] diukur menggunakan logaritma biner jumlah cahaya yang mencapai film atau sensor, sejalan dengan [[Weber–Fechnerhukum lawWeber–Fechner]] yang menyatakan respons logaritmik sistem penglihatan manusia terhadap cahaya. Satu stop exposureexposur adalah satu unit dalam skala logaritma basis-2.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|year=2011|isbn=9780240520377|page=228|url=http://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228}}.</ref><ref name="btzs">{{citation|title=Beyond the Zone System|first=Phil|last=Davis|publisher=CRC Press|year=1998|isbn=9781136092947|page=17|url=http://books.google.com/books?id=YaVEAQAAQBAJ&pg=PA17}}.</ref> Lebih tepatnya, nilai exposure suatu foto didefinisikan sebagai:
:<math>\log_2 \frac{N^2}{t}</math>
di mana <math>N</math> adalah [[fbilangan-numberf]] yang mengukur [[aperturebukaan (fotografi)|bukaan]] lensa selama exposureexposur, dan <math>t</math> adalah jumlah detik lamanya exposureexposur.
<!--
Binary logarithms (expressed as stops) are also used in [[densitometry]], to express the [[dynamic range]] of light-sensitive materials or digital sensors.<ref>{{citation|title=Visual Effects Society Handbook: Workflow and Techniques|first1=Susan|last1=Zwerman|first2=Jeffrey A.|last2=Okun|publisher=CRC Press|year=2012|isbn=9781136136146|page=205|url=http://books.google.com/books?id=3rLpAwAAQBAJ&pg=PA205}}.</ref> ▼-->
▲BinaryLogaritma logarithmsbiner ( expresseddiekspresikan asdalam stopssatuan stop) arejuga alsodigunakan used indalam [[ densitometrydensitometri]], tountuk express themengekspresikan [[ dynamicrentang rangedinamis]] ofdari light-sensitivebahan materialsatau orsensor digital sensorsyang sensitif cahaya.<ref>{{citation|title=Visual Effects Society Handbook: Workflow and Techniques|first1=Susan|last1=Zwerman|first2=Jeffrey A.|last2=Okun|publisher=CRC Press|year=2012|isbn=9781136136146|page=205|url=http://books.google.com/books?id=3rLpAwAAQBAJ&pg=PA205}}.</ref>
=== Konversi dari basis-basis lain ===
Suatu cara mudah untuk menghitung <sup>2</sup>log (''n'') pada [[kalkulator]] yang tidak mempunyai fungsi log<sub>2</sub> adalah menggunakan fungsi [[logaritma natural]] (ln) atau [[logaritma umum]] (log), yang biasanya ada pada kebanyakan [[:en:scientific calculator|scientific calculator]]. Rumus [[:en:Logarithm#Change of base|perubahan basis logaritma]] adalah:<ref name="btzs"/><ref>{{citation|title=Secret History: The Story of Cryptology|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=9781466561861|page=332|url=http://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA332}}.</ref>
| 