Aljabar: Perbedaan antara revisi

Tradisi-tradisi yang lebih dini dibandingkan dengan yang dibahas di atas berpengaruh langsung kepada Matematikawan [[bangsa Persia|Persia]], Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (kira-kira 780–850). Dia kemudian menulis ''[[Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan]]'', yang membentuk aljabar sebagai disiplin matematika yang tidak bergantung pada [[geometri]] dan [[aritmetika]].<ref>{{Cite journal|title=Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra|author=Roshdi Rashed|publisher=Saqi Books|date=November 2009|isbn=0-86356-430-5|ref=harv|postscript= }}</ref>

 

 

Di dalam konteks di mana aljabar diidentifikasi dengan [[teori persamaan]], Matematikawan Yunani, Diofantus secara tradisional telah dikenali sebagai "bapak aljabar" tetapi dalam waktu yang lebih terkemudian terdapat banyak debat mengenai apakah al-Khwarizmi, yang membentuk disiplin ''al-jabr'', layak menyandang gelar itu.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |pages=178, 181 |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Mereka yang mendukung poin Diofantus terhadap fakta bahwa aljabar ditemukan dalam ''Al-Jabr'' adalah sedikit lebih elementer daripada aljabar yang ditemukan dalam ''Arithmetica'' dan bahwa ''Arithmetica'' lebih diperingkas, sedangkan ''Al-Jabr'' sepenuhnya retoris.<ref>{{cite book |first=Carl B. |last=Boyer |title=A History of Mathematics |edition=Second |location= |publisher=Wiley |year=1991 |page=228 |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Mereka yang mendukung poin Al-Khwarizmi terhadap fakta bahwa dia memperkenalkan metode "[[reduksi (matematika)|reduksi]]" dan "penyetimbangan" (transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki [[variabel (matematika)|variabel]] dan [[eksponensiasi|pangkat]] sama pada ruas lain suatu persamaan), yang dirujuk oleh ''al-jabr'' pada mulanya,<ref name=Boyer-229>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 229}} "It is not certain just what the terms ''al-jabr'' and ''muqabalah'' mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word ''al-jabr'' presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word ''muqabalah'' is said to refer to "reduction" or "balancing" – that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation."</ref> dan bahwa dia memberikan penjelasan yang panjang-lebar tentang penyelesaian persamaan kuadrat,<ref>{{Harv|Boyer|1991|loc="The Arabic Hegemony" p. 230}} "The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwarizmi's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions."</ref> didukung oleh bukti-bukti geometris, sambil memperlakukan aljabar sebagai disiplin yang merdeka dan memiliki hak sendiri.<ref>Gandz and Saloman (1936), ''The sources of al-Khwarizmi's algebra'', Osiris i, p. 263–277: "In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called "the father of algebra" than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers".</ref> Aljabarnya juga tidak lagi berurusan "dengan sederet soal untuk diselesaikan, tetapi sebuah eksposisi yang bermula dengan suku-suku primitif di mana kombinasi harus memberikan semua purwarupa yang mungkin untuk persamaan, yang untuk selanjutnya secara eksplisit membentuk objek kajian yang sebenarnya". Dia juga mengkaji persamaan untuk kepentingannya sendiri dan "dalam cara yang umum, sejauh itu tidak hanya muncul dalam penyelesaian masalah, namun secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan kelas masalah yang tak terbatas".<ref name=Rashed-Armstrong>{{Cite book | last1=Rashed | first1=R. | last2=Armstrong | first2=Angela | year=1994 | title=The Development of Arabic Mathematics | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | isbn=0-7923-2565-6 | oclc=29181926 | pages=11–2 | ref=harv | postscript= }}</ref>

Karya [[François Viète]] mengenai aljabar baru pada penutupan abad ke-16 adalah sebuah langkah penting menuju aljabar modern. Pada tahun 1637, [[René Descartes]] menerbitkan ''La Géométrie'', menemukan [[geometri analitis]] dan memperkenalkan notasi aljabar modern. Peristiwa penting lainnya dalam pengembangan aljabar lebih lanjut adalah penyelesaian aljabar umum untuk persamaan kubik dan kuartik, yang dikembangkan pada pertengahan abad ke-16. Gagasan mengenai [[determinan]] dikembangkan oleh matematikawan Jepang [[Seki Kōwa]] pada abad ke-17, diikuti secara mandiri oleh [[Gottfried Leibniz]] sepuluh tahun kemudian, untuk tujuan memecahkan sistem persamaan linear simultan dengan menggunakan [[Matriks (matematika)|matriks]]. Gabriel Cramer juga melakukan beberapa pekerjaan mengenai matriks dan determinan pada abad ke-18. Permutasi dipelajari oleh [[Joseph-Louis de Lagrange]] dalam karyanya pada tahun 1770 yang berjudul ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'' (Refleksi pada resolusi aljabar suatu persamaan), dikhususkan untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan aljabar, di mana dia memperkenalkan [[resolven (teori Galois)|resolven Lagrange]]. Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori dari [[grup permutasi]], dan seperti pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar.

 

 

== Bidang matematika dengan kata aljabar pada nama mereka ==

{{utama|Aljabar elementer}}

[[Berkas:algebraic equation notation.svg|jmpl|ka|Notasi ekspresi aljabar:<br/>&nbsp; 1 – pangkat (''power'')<br/>&nbsp; 2 – koefisien<br/>&nbsp; 3 – suku (''term'')<br/>&nbsp; 4 – operator<br/>&nbsp; 5 – suku konstanta<br/>&nbsp; ''x'' ''y'' ''c'' – variabel/konstanta]]

* Ini membolehkan perumusan umum dari hukum-hukum aritmetika (seperti ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' untuk setiap ''a'' dan ''b''), dan dengan demikian merupakan langkah pertama menuju eksplorasi sistematis pada sifat-sifat [[bilangan real|sistem bilangan real]].

* Ini membolehkan referensi bagi bilangan "anu", perumusan [[persamaan]] dan pengkajian cara untuk menyelesaikannya. (Misalnya, "Carilah bilangan ''x'' sedemikian sehingga 3''x'' + 1 = 10" atau lebih lanjut "Carilah bilangan ''x'' sedemikian sehingga ''ax'' + ''b'' = ''c''". Langkah ini mengarah pada kesimpulan bahwa bukanlah sifat alami bilangan tertentu yang membolehkan kita menyelesaikannya, melainkan operasi yang dilibatkan.)

Penggabungan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: '''[[Grup (matematika)|grup]]'''. Grup adalah kombinasi dari sebuah himpunan ''S'' dan satu operasi biner ∗, didefinisikan dalam cara apapun yang dipilih, tapi dengan sifat sebagai berikut:

* Terdapat sebuah elemen identitas ''e'', sedemikian sehingga untuk setiap anggota ''a'' dari ''S'', ''e'' ∗ ''a'' dan ''a'' ∗ ''e'' kedua-duanya identik dengan ''a''.

* Operasi bersifat asosiatif: jika ''a'', ''b'', dan ''c'' adalah anggota dari ''S'', maka (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' identik dengan ''a'' ∗ (''b'' ∗ ''c'').

Jika grup ini juga [[komutatif]], yaitu untuk setiap dua anggota ''a'' dan ''b'' dari ''S'', ''a'' ∗ ''b'' adalah identik untuk ''b'' ∗ ''a''—maka grup tersebut dikatakan [[grup abelian|abelian]].