Teorema Pythagoras: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tolong bantuannya :) |
|||
Baris 93:
Bukti ini, yang muncul dalam Elemen Euclid seperti pada Proposisi 47 dalam Buku 1,<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 Elements 1.47] by Euclid. Retrieved 19 December 2006.</ref> menunjukkan bahwa luas kotak pada sisi miring adalah jumlah dari luas dua kotak lainnya.<ref>[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html Euclid's Elements, Book I, Proposition 47]: web page version using Java applets from [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html Euclid's Elements] by Prof. David E. Joyce, Clark University</ref> Ini sangat berbeda dari pembuktian dengan kemiripan segitiga, yang diduga sebagai bukti bahwa Pythagoras digunakan.<ref name="Hawking2" /><ref name="Pythagoras">The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see {{Harv|Maor|2007|p=[https://books.google.com/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA25&hl=en#v=onepage&q&f=false 25]}}</ref>
=== Bukti aljabar ===
[[Berkas:Pythagoras_algebraic2.svg|jmpl|Diagram dua bukti aljabar]]
Teoremanya dapat dibuktikan secara aljabar menggunakan empat salinan dari segitiga siku-siku dengan sisi a, b dan c, disusun di dalam kotak dengan sisi c seperti di bagian atas diagram.<ref name="rotate">{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#3|title=Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #3|author=Alexander Bogomolny|date=|work=Cut the Knot|publisher=|accessdate=4 November 2010}}</ref> Segitiga mirip dengan area <math>\tfrac12ab</math>, sedangkan kotak kecil memiliki sisi {{nowrap|''b'' − ''a''}} dan area {{nowrap|(''b'' − ''a'')<sup>2</sup>}}. Oleh karena itu luas persegi panjang
: <math>(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = b^2-2ab+a^2+2ab = a^2+b^2. </math>
Tapi ini adalah persegi dengan sisi ''c'' dan luas ''c''<sup>2</sup>, jadi
: <math>c^2 = a^2 + b^2. </math>
Bukti serupa menggunakan empat salinan dari segitiga yang sama disusun secara simetris di sekitar kotak dengan sisi ''c'', seperti yang ditunjukkan di bagian bawah diagram.<ref>{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#4|title=Cut-the-knot.org: Pythagorean theorem and its many proofs, Proof #4|author=Alexander Bogomolny|date=|work=Cut the Knot|publisher=|accessdate=4 November 2010}}</ref> Ini menghasilkan kotak yang lebih besar, dengan sisi ''a'' + ''b'' dan luas {{nowrap|(''a'' + ''b'')<sup>2</sup>}}. Keempat segitiga dan sisi persegi c harus memiliki area yang sama dengan persegi yang lebih besar,
: <math>(b+a)^2 = c^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2+2ab,</math>
memberikan
: <math>c^2 = (b+a)^2 - 2ab = b^2+2ab+a^2-2ab = a^2 + b^2.</math>
[[Berkas:Garfield_Pythagoras.svg|jmpl|Diagram bukti Garfield]]
Bukti terkait diterbitkan oleh Presiden Amerika [[James A. Garfield]] (kemudian [[Perwakilan Amerika Serikat|Perwakilan A.S]].) (lihat diagram).<ref name="Garfield">Published in a weekly mathematics column: {{cite journal|author=James A Garfield|year=1876|title=Pons Asinorum|url=http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasure-james-a-garfields-proof-of-the-pythagorean-theorem|journal=The New England Journal of Education|volume=3|issue=14|page=161|ref=harv}} as noted in {{cite book|url=https://books.google.com/?id=3tG_FRQ9N1QC&cd=1&dq=%22mathematical+universe%22+inauthor%3AWilliam+inauthor%3ADunham&q=New+England+Journal#search_anchor|title=The mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities|author=William Dunham|publisher=Wiley|year=1997|isbn=0-471-17661-3|page=96}} and in [http://www.math.usma.edu/people/rickey/hm/Dates/April.pdf A calendar of mathematical dates: April 1, 1876] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100714153516/http://www.math.usma.edu/people/Rickey/hm/Dates/April.pdf|date=July 14, 2010}} by V. Frederick Rickey</ref><ref name="animation">{{cite web|url=http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/Pythpfs/Garfldpf.html|title=Garfield's proof of the Pythagorean Theorem|last=Lantz|first=David|website=Math.Colgate.edu|archive-url=https://web.archive.org/web/20130828104818/http://math.colgate.edu/faculty/dlantz/Pythpfs/Garfldpf.html|archive-date=2013-08-28|accessdate=2018-01-14|url-status=dead}}</ref><ref>Maor, Eli, ''The Pythagorean Theorem'', Princeton University Press, 2007: pp. 106-107.</ref> Alih-alih menggunakan persegi, sebuah [[Trapesium (geometri)|trapesium]], yang dapat dibangun dari bujur sangkar di kedua bukti di atas dengan membagi dua diagonal dari inner square, untuk memberikan trapesium seperti yang ditunjukkan pada diagram. [[Trapezoid#Area|Luas trapesium]] dapat dihitung menjadi setengah luas persegi, yaitu
: <math>\frac{1}{2}(b+a)^2.</math>
Persegi bagian dalam juga dibelah dua, dan hanya ada dua segitiga sehingga buktinya berlangsung seperti di atas kecuali untuk faktor <math>\frac{1}{2}</math>, yang dihapus dengan mengalikan dua untuk memberikan hasilnya.
== Lihat pula ==
| |||