Aksioma Peano: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
Baris 49:
Dalam perumusan asli dari Peano, aksioma induksi merupakan sebuah [[Logika predikat tingkat kedua|aksioma tingkat kedua]]. Sekarang prinsip tingkat kedua ini kerap diganti dengan skema induksi [[Logika predikat tingkat pertama|tingkat pertama]] yang lebih lemah. Terdapat perbedaan-perbedaan penting antara perumusan tingkat kedua dan tingkat pertama, sebagimana didiskusikan di bagian {{section link||Model}}<!--lihat https://en.wiki-indonesia.club/wiki/Peano_axioms#Models --> di bawah.
== Konsistensi ==
{{Further|Masalah kedua Hilbert|Konsistensi (logika)}}
Ketika aksioma Peano pertama kali diusulkan, [[Bertrand Russell]] dan yang lainnya setuju bahwa aksioma tersebut secara tersirat mendefinisikan apa yang dimaksud sebagai "bilangan asli".<ref>{{harvnb|Fritz|1952|loc=[https://books.google.ca/books?id=Yl_XAwAAQBAJ&pg=PA137, p. 137]}}<br />An illustration of 'interpretation' is Russell's own definition of 'cardinal number'. The uninterpreted system in this case is Peano's axioms for the number system, whose three primitive ideas and five axioms, Peano believed, were sufficient to enable one to derive all the properties of the system of natural numbers. Actually, Russell maintains, Peano's axioms define any progression of the form <math>x_0,x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots</math> of which the series of the natural numbers is one instance.</ref> [[Henri Poincaré]] lebih hati-hati, mengatakan bahwa aksioma tersebut hanya mendefinisikan bilangan asli apabila mereka ''konsisten''; jika terdapat bukti yang dimulai hanya dari aksioma itu dan menghasilkan kontradiksi seperti 0 = 1, maka aksioma itu tidak konsisten, dan tidak mendefinisikan apapun.<ref>{{harvnb|Gray|2013|loc=[https://archive.org/details/henripoincaresci0000gray/page/133 p. 133]}}<br />So Poincaré turned to see whether logicism could generate arithmetic, more precisely, the arithmetic of ordinals. Couturat, said Poincaré, had accepted the Peano axioms as a definition of a number. But this will not do. The axioms cannot be shown to be free of contradiction by finding examples of them, and any attempt to show that they were contradiction-free by examining the totality of their implications would require the very principle of mathematical induction Couturat believed they implied. For (in a further passage dropped from S&M) either one assumed the principle in order to prove it, which would only prove that if it is true it is not self-contradictory, which says nothing; or one used the principle in another form than the one stated, in which case one must show that the number of steps in one's reasoning was an integer according to the new definition, but this could not be done (1905c, 834).</ref> Pada tahun 1900, [[David Hilbert]] mengajukan masalah membuktikan konsistensi aksioma Peano hanya menggunakan metode [[Finitisme|finitis]] sebagai [[masalah kedua Hilbert|masalah kedua]] dari [[Masalah Hilbert|kedua-puluh-tiga masalahnya]].{{sfn|Hilbert|1902}} Pada tahun 1931, [[Kurt Gödel]] membuktikan [[Teorema ketaklengkapan Gödel#Teorema ketidaklengkapan kedua|teorema ketaklengkapan keduanya]], yang menunjukkan bahwa bukti konsistensi seperti itu tidak bisa diformalisasikan dalam aritmetika Peano itu sendiri.{{sfn|Gödel|1931}}
Meskipun kerap dikatakan bahwa teorema Gödel menunjukkan bahwa bukti konsistensi finistis untuk aritmetika Peano tidak mungkin dibuat, ini bergantung pada apa yang dimaksud dengan bukti finistis. Gödel sendiri mengatakan bahwa bisa saja dibuat bukti konsistensi finistis untuk aritmetika Peano atau sistem yang lebih kuat dengan menggunakan metode finistis yang tidak bisa diformalisasikan dalam aritmetika Peano, dan pada tahun 1958, Gödel menerbitkan sebuah metode untuk membuktikan konsistensi aritmetika menggunakan [[teori tipe]].<ref>{{harvnb|Gödel|1958}}</ref> Pada tahun 1936, [[Gerhard Gentzen]] memberikan bukti konsistensi aksioma Peano, menggunakan [[induksi transfinit]] hingga [[bilangan ordinal]] yang disebut [[Bilangan epsilon|ε<sub>0</sub>]].<ref>{{harvnb|Gentzen|1936}}</ref> Gentzen menjelaskan: "Tujuan dari karangan ini adalah untuk membuktikan konsistensi dari teori bilangan dasar atau, lebih tepatnya, untuk mereduksi pertanyaan konsistensi ke prinsip-prinsip dasar tertentu". Bukti Gentzen bisa jadi finitis, karena ordinal transfinit ε<sub>0</sub> bisa dituliskan dalam bentuk objek-objek terhingga (contohnya, sebagai [[mesin Turing]] yang menggambarkan urutan yang cocok pada bilangan bulat, atau lebih abstraknya sebagai terdiri dari [[Pohon (teori himpunan)|pohon]] yang terhingga, yang diurutkan linear sehingga cocok). Apakah bukti Gentzen memenuhi syarat yang Hilbert berikan atau tidak bukanlah hal yang jelas: tidak ada definisi yang diterima secara umum mengenai apa yang dimaksud bukti finistis, dan Hilbert sendiri tidak pernah memberikan definisi yang saksama.
Mayoritas matematikawan percaya bahwa aksioma Peano bersifat konsisten, atas dasar intuisi mereka atau menerima bukti konsistensi seperti [[Bukti konsistensi Gentzen|yang diberikan Gentzen]]. Sebagian kecil filsuf dan matematikawan, yang sebagian mendukung [[ultrafinitisme]], menolak aksioma Peano karena menerimanya berarti menerima kumpulan bilangan asli yang tak berhingga. Khususnya, penambahan (termasuk fungsi penerus) dan perkalian diasumsikan bersifat [[Fungsi parsial#Fungsi total|total]]. Menariknya, terdapat teori ''self-verifying'' yang mirip dengan aksioma Peano tetapi terdiri dari pengurangan dan pembagian bukannya penambahan dan perkalian, yang diaksiomakan sedemikian rupa sehingga tidak membuktikan bahwa penambahan dan perkalian bersifat total, tetapi masih bisa membuktikan semua teorema <math>\Pi_1</math> yang benar dari aksioma Peano, dan bisa diperluas menjadi teori konsisten yang membuktikan konsistensinya sendiri (dalam arti tidak bisa dibuat bukti "0=1").{{sfn|Willard|2001}}
== Lihat pula ==
Baris 73 ⟶ 82:
=== Sumber ===
{{refbegin}}
* {{cite book |last1=Fritz|first =Charles A., Jr.|year=1952|title=Bertrand Russell's construction of the external world|url=https://archive.org/details/bertrandrussells0000frit|url-access=registration|ref=harv}}
* {{cite journal |last=Gentzen|first=Gerhard|author-link=Gerhard Gentzen|year=1936|title=Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=112|pages=132–213|doi=10.1007/bf01565428|others=Reprinted in English translation in his 1969 ''Collected works'', M. E. Szabo, ed. |ref=harv}}
* {{cite journal| last=Gödel| first=Kurt| author-link=Kurt Gödel| title=Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I| journal=Monatshefte für Mathematik| year=1931| volume=38| pages=173–198| url=http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf| doi=10.1007/bf01700692| others=See [[On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems]] for details on English translations.| ref=harv| access-date=2013-10-31| archive-url=https://web.archive.org/web/20180411113347/http://www.w-k-essler.de/pdfs/goedel.pdf| archive-date=2018-04-11| url-status=dead}}
* {{cite journal|last=Gödel|first=Kurt|author-link=Kurt Gödel|year=1958|title=Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes|journal=[[Dialectica]]|volume=12|pages=280–287|others=Reprinted in English translation in 1990. Gödel's ''Collected Works'', Vol II. [[Solomon Feferman]] et al., eds.|publisher=[[Oxford University Press]]|ref=harv|doi=10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x }}
* {{cite journal|last=Grassmann|first=Hermann |author-link=Hermann Grassmann| title=Lehrbuch der Arithmetik |trans-title=A tutorial in arithmetic |year=1861 |publisher=Enslin |url = http://www.uni-potsdam.de/u/philosophie/grassmann/Werke/Hermann/Lehrbuch_der_Arithmetik_1861.pdf |ref=harv}}
* {{cite book|last=Gray|first=Jeremy|author-link=Jeremy Gray|title=Henri Poincaré: A scientific biography |chapter=The Essayist |chapterurl=https://books.google.com/books?id=w2Tya9gOKqEC&pg=PA133 |page=133 |year=2013|publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=0-691-15271-3 |ref=harv}}
* {{cite journal|last=Hilbert|first=David|year=1902|title=Mathematische Probleme|trans-title=Mathematical Problems|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=8|pages=437–479|url=http://www.ams.org/journals/bull/1902-08-10/S0002-9904-1902-00923-3/home.html|translator-first=Maby|translator-last=Winton|doi=10.1090/s0002-9904-1902-00923-3|ref=harv|doi-access=free}}
* {{cite journal|last=Peirce|first=C. S.|authorlink=Charles Sanders Peirce|title=On the Logic of Number |url=https://archive.org/details/jstor-2369151|journal=American Journal of Mathematics|volume=4|year=1881|pages=85–95|doi=10.2307/2369151|mr=1507856 |jstor=2369151|ref=harv}}
* {{cite book|last=Shields|first=Paul|year=1997|title=Studies in the Logic of Charles Sanders Peirce|url=https://archive.org/details/studiesinlogicof00nath|url-access=registration|chapter=3. Peirce's Axiomatization of Arithmetic|chapterurl=https://books.google.com/books?id=pWjOg-zbtMAC&pg=PA43 |editor1-last=Houser|editor1-first=Nathan|editor2-last=Roberts|editor2-first=Don D.|editor3-last=Van Evra|editor3-first=James |publisher=Indiana University Press |isbn=0-253-33020-3 |pages=43–52 |ref=harv}}
Baris 80 ⟶ 95:
*** {{cite book |last=Dedekind|first=Richard|author-link=Richard Dedekind|year=1890|title=Letter to Keferstein.|pages=98–103|others= On p. 100, he restates and defends his axioms of 1888.|ref=harv}}
*** {{cite book |last=Peano|first=Giuseppe|author-link=Giuseppe Peano|year=1889|title=Arithmetices principia, nova methodo exposita |trans-title=The principles of arithmetic, presented by a new method|pages=83–97 |url = https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog |others= An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations.|ref=harv }}
*{{cite journal
| last = Willard | first = Dan E. | authorlink = Dan Willard
| doi = 10.2307/2695030
| issue = 2
| journal = The Journal of Symbolic Logic
| mr = 1833464
| pages = 536–596
| title = Self-verifying axiom systems, the incompleteness theorem and related reflection principles
| url = https://www.cs.albany.edu/~dew/m/jsl1.pdf
| volume = 66
| year = 2001
| ref = harv
}}
{{refend}}
| |||