Bilangan segitiga kuadrat: Perbedaan antara revisi

Dengan menggunakan [[notasi Sigma]], persamaan tersebut dapat ditulis:

[[ Identitas (matematika) |Identitas]] tersebut terkadang disebut juga '''teorema Nicomachus'''. Tteorema ini diambil dari nama [[Nicomachus|Nicomachus dari Geresa]] (60 - 120 M).

Pada akhir Bab 20 dari ''Pengantar Aritmatika'' (''Introduction to Arithmetic''), Nicomachus menunjukkan bahwa jika ditulis daftar bilangan ganjil, yang pertama adalah <math>1^3</math>, jumlah kedua berikutnya adalah <math>2^3</math>, jumlah ketiga berikutnya adalah <math>3^3</math>, dan seterusnya. Dia tidak melangkah lebih jauh dari ini, tetapi dari sini mendapatkan kesimpulan bahwa: ''jumlah dari'' ''<math>n^3</math> pertama sama dengan jumlah dari yang pertama <math>\frac{n(n+1)}{2}</math><math>\frac{n(n+1)}{2}</math> bilangan ganjil, yaitu, angka ganjil dari 1 hingga <math>n(n+1)-1</math>''. Rata-rata pada bilangan tersebut jelas <math>\frac{n(n+1)}{2} </math>, dan ada <math>\frac{n(n+1)}{2} </math> dari mereka, jadi jumlahnya adalah <math>\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2</math>.

Awalnya, banyak matematikawan telah mempelajari dan membuktikan tentang teorema Nicomachus. {{Harvard citation text|Stroeker|1995}} mengatakan: "''setiap orang yang mempelajari teorema bilangan pasti akan kagum dengan fakta ajaib ini''".{{Harvard citation text|Pengelley|2002}} menemukan sumber untuk identitas tidak hanya dalam karya [[Nicomachus]] di tempat yang sekarang di [[Yordania|Jordan]] pada abad pertama M, tetapi juga pada orang-orang [[Aryabhata]] di [[India]] pada abad kelima, dan pada orang-orang dari [[Al-Karaji]] sekitar 1000 di [[Iran|Persia]]. {{Harvard citation text|Bressoud|2004}} menyebutkan beberapa tambahan awal karya matematika pada rumus ini, oleh [[ Al-Qabisi |Al-Qabisi]] (Arab abad kesepuluh), [[Lewi ben Gerson|Gersonides]] (sekitar tahun 1300 Prancis), dan [[Nilakantha Somayaji]] (sekitar 1500 India); ia memancarkan kembali tentang bukti visual Nilakantha.

Urutan-urutan pada bilangan segitiga kuadrat adalah:

Bilangan-bilangan ini dapat dilihat sebagai [[bilangan figurasi]], sebuah generalisasi hiperiramidal empat dimensi dari [[bilangan segitiga]] dan [[ Jumlah piramidal persegi |jumlah piramidal persegi]].

{{Harvard citation text|Stein|1971}} mengamati bilangan tersebut bahwa bilangan ini juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah <math>n \times n </math> [[ Kisi persegi |kisi]]. Sebagai contoh, titik-titik pada <math>4\times4</math> [[ Kisi persegi |kisi]], (atau kotak yang terdiri dari tiga kotak kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda Jumlah kuadrat dalam kisi kuadrat tersebut sama degan jumlah piramidal kuadrat.

Identitas tersebut juga mengakui interpretasi probabilistik secara alami.

Misalkan <math>X,Y,Z,W \in \mathbb{Z} </math>. Keempat bilangan bulat tersebut dipilih secara independen dan beraturan secara acak antara <math>1</math> dan <math>n </math>. Kemudian, probabilitasnya adalah <math>W </math> menjadi yang paling terbesar dari keempat bilangan sama dengan probabilitas dimana kedua <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math> dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math>, yaitu:

<math>\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}) </math>

Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas dengan <math>n^4</math>.

{{harvs|txt|first=Charles|last=Wheatstone|authorlink=Charles Wheatstone|year=1854}} memberikan bentukan yang sangat sederhana, dengan memperluas setiap kubus dalam jumlah menjadi satu himpunan bilangan ganjil berturut-turut. Dia mulai dengan memberikan identitas

Identitas itu terkait dengan [[Bilangan segitiga|angka segitiga]] <math>T_n</math> dengan cara berikut:

dan demikian penjumlahan membentuk <math>n^3 </math> mulai setelah mereka membentuk semua nilai sebelumnya <math>1^3 </math> hingga <math>(n-1)^3</math> . Dengan menerapkan properti ini, bersama dengan identitas terkenal lainnya:

kami mendapatkan bentukan berikut:

{{harvtxt|Row|1893}} mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan angka-angka dalam tabel perkalian persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari

[[Berkas:Sum_of_cubes2.png|ka|jmpl| Secara visual menyatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah kubus. ]]

Dalam literatur matematika yang lebih baru, {{Harvard citation text|Edmonds|1957}} memberikan sebuah bukti menggunakan [[ Penjumlahan oleh bagian-bagian |penjumlahan oleh bagian-bagian]] . {{Harvard citation text|Stein|1971}} menggunakan interpretasi penghitungan persegi panjang pada bilangan-bilangan ini untuk membentuk bukti geometris pada identitas (lihat juga {{Harvard citation no brackets|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}} ); ia mengamati bahwa itu juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) dengan induksi, dan menyatakan bahwa {{Harvard citation text|Toeplitz|1963}} memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". {{Harvard citation text|Kanim|2004}} memberikan bukti visual murni, {{Harvard citation text|Benjamin|Orrison|2002}} memberikan dua bukti tambahan, dan {{Harvard citation text|Nelsen|1993}} memberikan tujuh bukti geometris.

Hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber|jumlah bereksponen]], yaitu bahwa jumlah bereksponen ganjil adalah polinomial dalam bilangan segitiga. Ini disebut [[ Formula Faulhaber |polinomial Faulhaber]], di mana jumlah kubik adalah contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki jumlah bereksponen satu kuadrat dari yang lain {{Harvard citation|Edmonds|1957}}. .

== TautanPranala eksternalluar ==