Diagram Gale: Perbedaan antara revisi

dari sebuah permukaan politop, jika dan hanya jika himpunan komplemen dari vektor dari transformasi Gale memiliki [[Lambung cembung|lambang cembung]] yang mengandung [[asal]] dalam [[interior relatif]]<nowiki/>nya. <ref>{{harvtxt|Thomas|2006}}, Theorem 5.6, p. 41</ref> Secara ekuivalen, subhimpunan dari sudut-sudut membentuk sebuah permukaan jika dan hanya jika tidak terdapat fungsi linear yang menetapkan nilai-nilai non-negatif untuk vektor-vektor yang saling melengkapi. <ref name="z170">{{harvtxt|Ziegler|1995}}, p. 170</ref>

Diberikan sebuah diagram Gale dari sebuah politop, sebuah himpunan dari vektor satuan <math>n </math> dalam ruang <math>(n-d-1) </math>-dimensi, salah satu bisa memilih sebuah subruang <math>(n-d-2)</math>-dimensi <math>S</math> melalui asalnya, dan sebuah subruang <math>S'</math> paralel yang tidak melewati ke asalnya. Kemudian, sebuah [[Proyeksi (matematika)#Proyek pusat|proyeksi pusat]] dari asalnya ke <math>S'</math> akan menghasilkan sebuah himpunan dari titik-titik <math>(n-d-2)</math>-dimensi. Proyeksi ini kehilangan informasi tentang vektor-vektor yang terletak di atas <math>S</math> dan yang terletak di bawahnya, tetapi informasi ini bisa diwakli dengan menetapkan sebuah tanda (positif, negatif, atau, nol) atau tepatnya (hitam, putih, atau abu-abu) untuk setia titik. Hasil himpunan yang sudah ditetapkan atau titik-titik yang diwarnai meruakan diagram Gale affine dari politop yang diberikan. Pembuatan ini memiliki keunggulan, dibandingkan transformasi Gale, menggunakan satu dimensi lebih sedikit untuk mewakili struktur dari politop yang diberikan.

Transformasi Gale dan linear serta diagram Gale affine bisa juga digambarkan lewat [[Matriod ganda|kemangroan]] dari [[matriod yang berorientasi]]. <ref>{{harvtxt|Ziegler|1995}}, Definition 6.17, p. 168</ref> Seperti diagram linear, sebuah subhimpunan dari sudut-sudut membentuk sebuah permukaan jika dan hanya jika tidak terdapat fungsi affine (sebuah fungsi linear dengan kemungkinan istilah konstanta bukan nol) yang menetapkan sebuah nilai bukan negatif untuk setiap vektor positif dalam himpunan yang saling melengkapi dan nilai bukan positif untuk setiap vektor negatif dalam himpunan yang saling melengkapi.

Sebuah politop <math>d</math>-dimensi dengan sudut <math>n=d+1</math>., kemungiknan minimum, sebuah simpleks. Dalam kasus ini, diagram Gale linear adalah 0 dimensi, terdiri hanya dari vektor nol. Diagram affine memiliki <math>n </math>titik abu-abu. <ref name="z171z1715">{{harvtxt|Ziegler|1995}}, p. 171.</ref>

Dalam sebuah politop <math>d</math>-dimensi dengan sudut <math>n=d+2</math>, diagram Gale linear adalah satu dimensi, dengan vektor mewakili setiap titik-titik menjadi salah satu dari tiga bilangan <math>-1</math>, <math>0</math>, atau <math>+1 </math>. Dalam digram affine, titik-titik adalah nol dimensi, jadi mereka bisa diwakili hanya oleh tanda atau warna tanpa setiap nilai lokasi. Dalam perintah untuk mewakili sebuah politop, diagram harus memiliki setidaknya dua titik dengan setiap tanda bukan nol. Dua diagram mewakili kelas ekuvalen kombinatorial yang sama dari politop dari setiap tanda, atau ketika mereka bisa diperoleh dari satu sama lain dengan meniadakan semua tandanya. <ref name="z1712z1715">{{harvtxt|Ziegler|1995}}, p. 171.</ref>

Untuk <math>d=2 </math>, hanya kemungkinan dua titik dari setiap tanfa bukan nol, mewakili sebuah [[Segi empat|kuadraliteral]] cembung. Untuk <math>d=3</math>, terdapat dua kemungkinan diagram Galeː diagram dengan dua titik dari setiap tanda bukan nol dan satu titik nol mewakili sebuah [[piramida persegi]], meskipun diagram dengan dua titik dari satu tanda bukan nol dan tiga titik dengan tanda lain mewakili [[bipiramida segitiga]]. <ref name="z1713z1715">{{harvtxt|Ziegler|1995}}, p. 171.</ref>

Secara umum, bilangan dari diagram Gale yang berbeda dengan <math>n=d+2 </math>, dan bilangan dari kelas ekuivalen kombinatorial dari politop <math>d </math>-dimensi dengan <math>n</math> sudut, adalah <math>\left \lfloor \frac{d^2}{4} \right \rfloor</math>.

Dalam sebuah poltiop <math>d </math>-dimensi dengan sudut <math>n = d+3</math>, diagram Gale linear terdiri dari titik-titik pada [[lingkaran satuan]] (vektor satuan) dan di tengahnya. Diagram Gale affine terdiri dari titik-titik yang dilabelkan atau gugusan dari titik-titik pada sebuah garis. Tidak seperti untuk kasus dari sudut <math>n = d+3</math>, ini tidak sepenuhnya diremehkan untuk menentukan ketika dua diagram Gale mewakili politop yang sama. <ref name="z1715">{{harvtxt|Ziegler|1995}}, p. 171.</ref>

Polihedra tiga dimensi dengan enam sudut menyediakan cara yang alami ketika polihedron biasa memiliki dimensi yang cukup rendah untuk membayangkan, tetapi tempat diagram Gale masih menyediakan sebuah efek penurunan dimensi. Ini termasuk keduanya, [[Oktahedron|oktahedron biasa]] dan [[prisma segitiga]]. Diagram Gale linear dari sebuah oktahedron biasa terdiri dari tiga pasangan dari titik-titik yang sama pada lingkaran satuan (mewakili pasangan-pasangan dari sudut-sudut yang berlawanan dari oktahedron), dibagi lingkaran menjadi busur dari sudut yang kurang dari <math>\pi</math>. Diagram Gale affinenya terdiri dari tiga pasangan-pasangan dari titik-titik ditandai yang sama pada garis, dengan pasangan tengah memiliki tanda yang berlawanan ke dua pasangan diluar. <ref>{{harvtxt|Ziegler|1995}}, Example 6.18, p. 169</ref> Diagram Gale linear dari sebuah prisma segitiga terdiri dari enam titik pada lingkaran, dalam tiga pasangan berseberangan, dengan setiap pasang mewakili sudut-sudut dari prisma yang berdekatan pada dua permukaan persegi dari prisma. Sesuai diagram Gale affine memiliki tiga pasangan dari titik-titik pada sebuah garis, seperti oktahedron biasa, tetapi dengan satu titik dari setiap tanda dalam setiap pasang. <ref>{{harvtxt|Thomas|2006}}, pp. 39 and 44</ref>

* [[Politop Perles]], sebuah politop 8 dimensi dengan 12 sudut yang tidak bisa dilakukan dengan [[koordinat Kartesius]] rasional. Politop ini dibangun oleh [[Micha Perles]] dari [[konfigurasi Perles]] (sembilan titik dan sembilan garis dalam bidang yang tidak bisa dilakukan dengna koordinat-koordinat rasional) dengan menggandakan tiga titik dari konfigurasi Perles, menetapkan tanda-tanda untuk 12 titik yang dihasilkan, dan memperlakukan hasil konfigurasi yang ditandai sebagai diagram Gale dari sebuah politop. Meskipun politop-politop irasional dikenal dengan dimensi serendah empat, tidak ada yang diketahui dengan sudut lebih sedikit. <ref>{{harvtxt|Ziegler|1995}}, Section 6.5(a) "A nonrational 8-polytope", pp. 172–173; {{harvtxt|Thomas|2006}}, Theorem 6.11, pp. 51–52</ref>

* [[Politop Kleinschmidt]], sebuah politop 4 dimensi dengan 8 sudut, 10 segi tetradehral, dan satu segi oktahedral, diciptakan oleh Peter Kelinschmidt. Meskipun segi oktahedral meniliki struktur kombinatorial yang sama sebagai sebuah oktahedron biasa, ini tidak mungkin untuk menjadi biasa. <ref>{{harvtxt|Ziegler|1995}}, Section 6.5(b) "Facets of 4-polytopes cannot be prescribed", pp. 173–175, and Exercise 6.18, p. 188; {{harvtxt|Sturmfels|1988}}, pp. 129–130</ref> Dua salinan dari politop ini bisa direkatkan bersama pada segi oktahedral mereka untuk menghasilkan sebuah politop 10 titik yang beberapa pasangan dari realisasi tidak bisa terus-menerus berubah bentuk menjadi satu sama lain.<ref>{{harvtxt|Ziegler|1995}}, Section 6.5(d) "Polytopes violating the isotopy conjecture", pp. 177–179</ref>

* Bangunan dari "politop-politop tidak bersebelahan" yang kecil, yaitu, politop-politop tanpa sebuah titik universal, dan "politop-politop yang digambar", di mana setiap titik insiden ke sebuah diagonal yang melewati interior dari politop. [[Politop lintasan]] memiliki sifat-sifat ini, tetapi dalam 16 atau lebih dimensi ada politop-politop yang digambar dengan sudut-sudut lebih sedikit, dan dalam 6 atau lebih dimensi politop-politop yang digambar dengan sudut-sudut yang paling sedikit tidak perlu sederhana. Pembangunannya melibatkan diagram Gale