Matriks (matematika): Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''matriks''' adalah ''[[wikt:susunan|susunan]]''<ref>Secara ekuivalen, ''[[wikt:tabel|tabel]]''.</ref> [[bilangan]], [[simbol (formal)|simbol]], atau [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] yang disusun dalam ''[[wikt:baris|baris]]'' dan ''[[wikt:kolom|kolom]]'' sehingga membentuk suatu bangun [[persegi]].<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=23}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=56}}</ref> Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini adalah 2 × 3 (baca "dua kali tiga") karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom:

Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan [[transformasi linear]], yakni suatu generalisasi [[fungsi linear]] seperti <math>f(x) = 4x</math>. Sebagai contoh, efek [[Rotasi (matematika)|rotasi]] pada ruang [[dimensi]] tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dapat dilambangkan dengan matriks rotasi <math>\mathbf{R}</math>. Jika <math>v</math> adalah sebuah [[Vektor (spasial)|vektor]] di dimensi tiga, hasil dari <math>Rv\mathbf{R}v</math> menyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi. Hasil perkalian dari dua matriks adalah sebuah matriks yang melambangkan [[Komposisi (matematika)|komposisi]] dari dua transformasi linear. Salah satu aplikasi lain dari matriks adalah menemukan solusi [[persamaan linear|sistem persamaan linear]]. Jika matriks merupakan matriks persegi, beberapa sifat dari matriks tersebut dapat diketahui dengan menghitung nilai determinan. Misalnya, matriks persegi memiliki [[Matriks invers|invers]] jika dan hanya jika nilai [[determinan]]<nowiki/>nya tidak sama dengan nol. Sisi [[geometri]] dari sebuah transformasi linear (dan beberapa hal lain) dapat diketahui dari ''eigenvalue'' dan ''eigenvector'' matriks.

Ukuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Matriks dengan <math>m</math>kolom dan <math>n</math>baris disebut matriks <math>m \times n</math> atau matriks "m kali n", dimana <math>m</math> dan <math>n</math> disebut dimensinya. Sebagai contoh, matriks '''<math>\boldsymbolmathbf{A}</math>''' di atas adalah matriks <math>3 \times 2</math>. Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, dan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut matriks persegi. Matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya) disebut [[matriks tak terbatas]]. Dalam beberapa konteks, akan bermanfaat untuk mempertimbangkan sebuah matriks tanpa baris atau tanpa kolom, yang disebut [[matriks kosong]].

Spesifikasi notasi simbolik dari matriks sangat bervariasi, dengan beberapa tren yang umum dipakai. Matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar (seperti '''<math>\boldsymbolmathbf{A}</math>''' pada contoh di atas). Sedangkan huruf kecil yang sesuai, dengan dua indeks subskrip, misal <math>a_{1,1}</math>, untuk menyebutkan elemen matriks tersebut. Selain menggunakan huruf besar untuk melambangkan matriks, banyak penulis menggunakan gaya tipografi khusus, yang biasanya dicetak tebal tegak, untuk lebih membedakan matriks dari objek matematika lainnya. Notasi alternatif melibatkan penggunaan ''double-underline'' (garis bawah ganda) dengan nama variabel, dengan atau tanpa gaya cetak tebal (contohnya <math>\underline{\underline{A}}</math>).

Elemen baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math> dari matriks '''<math>\boldsymbolmathbf{A}</math>''' terkadang dirujuk sebagai elemen ke <math>(i,\,j)</math>dari matriks, dan umumnya ditulis sebagai <math>a_{i,\,j}</math>atau <math>a_{ij}</math>. Alternatif notasi yang lain adalah <math>A[i,j]</math> atau <math>A_{i,j}</math>. Sebagai contoh, elemen ke <math>(1, 3)</math> dari matriks '''<math>\boldsymbolmathbf{A}</math>''' berikut dapat ditulis sebagai <math>a_{1,\,3

}</math>, <math>a_{13}</math>, <math>A[1,\, 3]</math>atau maupun <math>A_{1,\, 3}</math>.

Terkadang, elemen dari sebuah matriks dapat didefinisikan dengan menggunakan suatu rumus <math>a_{i,j} = f(i,j)</math>. Sebagai contoh, setiap elemen dari matriks '''<math>\boldsymbolmathbf{A}</math>''' berikut didefinisikan sebagai <math>a_{i,j} = i-j</math>

Dalam kasus seperti ini, matriks tersebut juga dapat didefinisikan oleh rumus yang sama, dengan menggunakan kurung siku atau kurung kurawal ganda. Pada contoh di atas, matriks dapat didefinisikan sebagai <math>\boldsymbolmathbf{A} = [i-j]</math> atau <math>\boldsymbolmathbf{A} = ((i-j))</math>.

Simbol bintang (asterisk) terkadang digunakan untuk merujuk sebuah baris atau sebuah kolom pada matriks. Sebagai contoh, <math>a_{i,\star}</math>merujuk pada baris ke-<math>i</math> dari matriks '''<math>\boldsymbolmathbf{A}</math>''', dan <math>a_{\star,j}</math> merujuk pada baris ke-<math>j</math> dari matriks <span id="linear_maps">'''<math>\boldsymbolmathbf{A}</math>'''</span>. Himpunan semua matriks <math>m \times n</math> dilambangkan dengan <math>\mathbb{M}_{m\times n}</math>.

# Matriks Bujur Sangkar: apabila ukuran baris dan kolom sama atau <math>m = n

# Matriks SkalarDiagonal: merupakan matriks diagonalbujur sangkar yang memiliki<math>a_{ij}=0</math>, unsuruntuk diagonal utamanya sama,<math>i misalnya\neq kj</math>

# Matriks identitasSkalar: merupakan matriks skalardiagonal diyang manamemiliki kunsur =diagonal 1utamanya sama, misalnya <math>k</math>

# Matriks identitas: merupakan matriks skalar di mana <math>k=1</math>
# Matriks simetrik: merupakan matriks bujur sangkar dengan <math>a_{ij}=a_{ji}</math> untuk <math>\forall_{i,j}</math>.

# Matriks Segitiga atas (''Upper triangular)'': merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsurnya dibawah diagonal utamanya adalah 0, yakni <math>a_{ij}= 0</math>dan ketika <math>\forall i>j</math>

# Matriks Segitiga bawah (''Lower triangular)'': merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsurnya di atas diagonal utamanya adalah 0, yakni <math>a_{ij}= 0</math>dan ketika <math>\forall i<j</math>

:<math>\lambda\cdot \mathbf{A}:= (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots, m; \ j=1, \ldots, n}</math>

Matriks dapat digunakan untuk menulis dan bekerja secara kompak dengan persamaan linear berganda, yaitu sistem persamaan linear. Misalnya, bila '''<math>\mathbf{A}</math>''' adalah matriks ''<math>m'' oleh\times ''n''</math>, '''<math>\textbf{x}</math>''' menunjukkan vektor kolom (yaitu, matriks '' <math>n '' ×\times 1</math>) dari '' <math>n</math> '' variabel ''x'' {{sub|1}}<math>x_1, ''x'' {{sub|2}}x_2, ...\dots, ''x'' {{sub|''n''}}x_n</math>, dan ''' <math>\textbf{b}</math> ''' adalah vektor ''<math>m''× \times 1
</math>, maka persamaan matriksnya ialah

dimana '''<math>\mathbf{A}^{-1}</math>'''{{sup|−1}} adalah [[matriks invers]] dari '''<math>\mathbf{A}</math>'''. Bila '''<math>\mathbf{A}</math>''' tidak memiliki invers, solusi — jika ada — dapat ditemukan saat menggunakan [[ivers umum|invers umum]].

Matrices and matrix multiplication mengungkapkan fitur penting mereka saat terkait dengan ''transformasi linear'', juga dikenal sebagai ''peta linear''. <span id="linear_maps">A real ''m''-by-''n'' matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''' menimbulkan transformasi linear</span> '''<math>\mathbb{R'''{{sup|''}^n''}} →\rightarrow '''\mathbb{R'''{{sup|''}^m''}}</math> <span id="linear_maps">memetakan setiap vektor '''<math>\textbf{x}</math>''' pada '''R'''<math>\mathbb{{sup|''n''}R}^n</math> ke (matriks) produk '''<math>\textbf{Ax}</math>''', yang merupakan vektor dalam '''R'''<math>\mathbb{{sup|''m''}R}^n</math>. Sebaliknya, setiap transformasi linear ''<math>f'': '''\mathbb{R'''{{sup|''}^n''}} →\rightarrow '''R'''\mathbb{{sup|''m''}R}^m</math> muncul dari unik ''m''-by-''n'' matriks '''<math>\mathbf{A}</math>''': secara eksplisit, {{nowrap|(''i'', ''j'')-entry}} dari '''<math>\mathbf{A}</math>''' is the ''i''{{sup|th}} coordinate of ''f''<math>f('''\textbf{e}_j)</math>'''{{sub|''j''}}), wheredengan</span> <math>\textbf{{nowrap begin}}'''e'''{{sub|''j''}}_j = (0,... \dots, 0, 1, 0,... \dots, 0){{nowrap</math> end}}<span id="linear_maps">adalah [[vektor satuan]] dengan 1 pada ''j''{{sup|th}} posisi dan 0 di tempat lain.</span> The matrix <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> dikatakan mewakili peta linear '' <span id="linear_maps">'''<math>f</math>'''</span> '', dan '' 'A' '' disebut '' matriks transformasi '' dari <span id="linear_maps">'''''<math>f</math>'''''</span>.

Tabel berikut menunjukkan sejumlah [[2 × 2 matriks nyata|matriks 2-kali-2]] dengan peta linier terkait '''<span id="linear_maps"><math>\mathbb{R'''{{sup|}^2}}</math></span>. Dokumen asli berwarna biru dipetakan ke kisi dan bentuk hijau. Asal (0,0) ditandai dengan titik hitam.

Di bawah [[bijection | korespondensi 1-ke-1]] antara matriks dan peta linier, perkalian matriks sesuai dengan [[komposisi fungsi|komposisi]] ​​peta:<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.2}}</ref> jika matriks a ''k'' - ''m'' '' 'B' '' mewakili peta linear lainnya ''<span id="linear_maps"><math>g'': '''\mathbb{R'''{{sup|''}^m''}} →\rightarrow '''\mathbb{R'''{{sup|''}^k''}}</math></span>, maka komposisi {{nowrap|''<span id="linear_maps"><math>g'' ∘\circ ''f''}}</math></span> diwakili oleh <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{BA}</math>'''</span> karena

:<span id="linear_maps"><math>(''g'' ∘\circ ''f'')('''\mathbf{x'''}) = ''g''(''f''('''\mathbf{x'''})) = ''g''('''\mathbf{Ax'''}) = '''\mathbf{B'''}('''\mathbf{Ax'''}) = ('''\mathbf{BA'''})'''x'''</math></span>.

[[Peringkat matriks]] <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> adalah jumlah maksimum vektor baris [[bebas linear|bebas linear]] dari matriks, yang sama dengan jumlah maksimum kolom bebas linier.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition II.3.3}}</ref> Persamaan dengan itu adalah [[dimensi Hamel|dimensi]] dari [[gambar (matematika)|gambar]] dari peta linear yang diwakili oleh <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span>.<ref>{{Harvard citations |last1=Greub |year=1975 |nb=yes |loc=Section III.1}}</ref> [[Teorema pangkat–nulitas]] menyatakan bahwa dimensi [[kernel (matriks)|kernel]] dari sebuah matriks ditambah pangkat sama dengan jumlah kolom dari matriks tersebut.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem II.3.22}}</ref>

Entri ''a''<math>a_{{sub |''ii''}}</math> membentuk [[diagonal utama]] dari matriks persegi. Mereka terletak pada garis imajiner yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks.

Jika semua entri <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> di bawah diagonal utama adalah nol, <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> disebut '' atas [[matriks segitiga]] ''. Demikian pula jika semua entri '' <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> '' di atas diagonal utama adalah nol, <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> disebut '' matriks segitiga bawah ''. Jika semua entri di luar diagonal utama adalah nol, <span id="linear_maps">'''<math>\mathbf{A}</math>'''</span> disebut [[matriks diagonal]].