Grup simetrik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add image and descriptions Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 60:
** ''[[grup ruang]]''
== Elemen ==
Unsur-unsur dari grup simetris pada himpunan '' X '' adalah [[permutasi]] dari '' X ''.
=== Perkalian ===
Operasi grup dalam grup simetris adalah [[komposisi fungsi]], dilambangkan dengan simbol ∘ atau hanya dengan penjajaran permutasi. Komposisi {{nowrap|''f'' ∘ ''g''}} dari permutasi '' f '' dan '' g '', dilafalkan "'' f '' dari '' g ''", memetakan setiap elemen '' x '' dari '' X '' ke ''f''(''g''(''x'')). Secara konkret, mari (lihat [[permutasi]] untuk penjelasan tentang notasi):
: <math> f = (1\ 3)(4\ 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 1 & 5 & 4\end{pmatrix} </math>
: <math> g = (1\ 2\ 5)(3\ 4)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1\end{pmatrix}.</math>
Menerapkan '' f '' setelah '' g '' memetakan 1 pertama ke 2 dan kemudian 2 ke dirinya sendiri; 2 sampai 5 dan kemudian ke 4; 3 ke 4 lalu ke 5, dan seterusnya. Jadi menyusun '' f '' dan '' g '' memberi
: <math> fg = f\circ g = (1\ 2\ 4)(3\ 5)=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3\end{pmatrix}.</math>
[[Siklik permutasi | Siklik]] dengan panjang {{nowrap|1=''L'' = ''k'' · ''m''}}, dibawa ke daya '' k '', akan terurai menjadi siklus '' k '' dengan panjang '' m '': Misalnya, ({{nowrap|1=''k'' = 2}}, {{nowrap|1=''m'' = 3}}),
: <math> (1~2~3~4~5~6)^2 = (1~3~5) (2~4~6).</math>
=== Verifikasi aksioma grup ===
Untuk memeriksa bahwa grup simetris pada himpunan '' X '' memang sebuah [[grup (matematika) | grup]], perlu untuk memverifikasi aksioma grup penutupan, asosiasi, identitas, dan invers.<ref>{{Citation | title=Modern Algebra | first1=A. R. | last1=Vasishtha | first2=A. K. | last2=Vasishtha | publisher=Krishna Prakashan Media}}</ref>
# Operasi [[komposisi fungsi]] ditutup dalam set permutasi dari himpunan '' X '' yang diberikan.
# [[Komposisi fungsi]] selalu asosiatif.
# Trivial bijeksi yang menetapkan setiap elemen '' X '' untuk dirinya sendiri berfungsi sebagai identitas untuk grup.
# Setiap bijeksi memiliki [[fungsi invers]] yang membatalkan aksinya, dan dengan demikian setiap elemen dari kelompok simetris memiliki invers yang juga merupakan permutasi.
== Kelas konjugasi ==
[[Kelas konjugasi]] dari S<sub>''n''</sub> sesuai dengan struktur siklus permutasi; yaitu, dua elemen S<sub>''n''</sub> terkonjugasi S<sub>''n''</sub> jika dan hanya jika terdiri dari jumlah siklus pemutusan yang sama dengan panjang yang sama. Misalnya, dalam S<sub>5</sub>, (1 2 3)(4 5) dan (1 4 3) (2 5) adalah konjugasi; (1 2 3) (4 5) dan (1 2) (4 5) tidak. Elemen konjugasi dari S<sub>''n''</sub> dapat dibangun dalam "notasi dua baris" dengan menempatkan "notasi siklus" dari dua permutasi konjugasi di atas satu sama lain. Melanjutkan contoh sebelumnya:
:<math>k = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5\end{pmatrix}</math>
yang dapat dituliskan sebagai hasil kali siklus yaitu: (2 4).
Permutasi ini kemudian menghubungkan (1 2 3) (4 5) dan (1 4 3) (2 5) melalui konjugasi, yaitu,
:<math>(2~4)\circ(1~2~3)(4~5)\circ(2~4)=(1~4~3)(2~5).</math>
Jelas bahwa permutasi semacam itu tidak unik.
== Catatan ==
{{reflist}}
== References ==
{{refbegin}}
* {{Citation | last1=Cameron | first1=Peter J. | title=Permutation Groups | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-65378-7 | year=1999 | volume=45 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/permutationgroup0000came }}
* {{Citation | last1=Dixon | first1=John D. | last2=Mortimer | first2=Brian | title=Permutation groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94599-6 | mr=1409812 | year=1996 | volume=163 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/permutationgroup0000dixo }}
* {{Citation| last=Jacobson| first=Nathan| author-link=Nathan Jacobson| year=2009| title=Basic algebra| edition=2nd| volume = 1 | publisher=Dover| isbn = 978-0-486-47189-1}}.
* {{Citation | last1=Kaloujnine | first1=Léo | title=La structure des p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis | url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1948_3_65__239_0 | mr=0028834 | year=1948 | journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure |series=Série 3 | issn=0012-9593 | volume=65 | pages=239–276}}
*{{Citation | last1=Kerber | first1=Adalbert | title=Representations of permutation groups. I | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Mathematics, Vol. 240 | doi=10.1007/BFb0067943 | mr=0325752 | year=1971 | volume=240 | isbn=978-3-540-05693-5}}
* {{Citation | first1=M.W. | last1=Liebeck | first2=C.E. | last2=Praeger |author2-link=Cheryl Praeger| first3=J. | last3=Saxl |author3-link=Jan Saxl| title=On the O'Nan-Scott theorem for finite primitive permutation groups | journal=[[Australian Mathematical Society#Society journals|Journal of the Australian Mathematical Society]] | volume=44 | year=1988 | pages=389–396 | doi=10.1017/S144678870003216X | issue=3 | doi-access=free }}
* {{Citation | title=Homology of the Infinite Symmetric Group | first=Minoru | last=Nakaoka | journal=[[Annals of Mathematics]] | series=2 | volume=73 | number=2 |date=March 1961 | pages=229–257 | jstor=1970333 | doi=10.2307/1970333 | publisher=Annals of Mathematics }}
* {{Citation | last1=Netto | first1=Eugen | author1-link=Eugen Netto | title=Substitutionentheorie und ihre Anwendungen auf die Algebra | publisher=Leipzig. Teubner | language=de | jfm=14.0090.01 | year=1882}}
* {{Citation | last1=Scott | first1=W.R. | title=Group Theory | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-65377-8 | year=1987 | pages=45–46}}
*{{citation | first=Issai | last=Schur | author-link=Issai Schur | title=Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=139 | year=1911 | pages=155–250 |doi=10.1515/crll.1911.139.155 }}
* {{Citation | last1=Schreier | first1=Józef |author1-link=Józef Schreier | last2=Ulam | first2=Stanislaw | author2-link=Stanislaw Ulam | title=Über die Automorphismen der Permutationsgruppe der natürlichen Zahlenfolge | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm28/fm28128.pdf | language=de | zbl=0016.20301 | year=1936 | journal=[[Fundamenta Mathematicae]] | volume=28 | pages=258–260}}
{{refend}}
[[Kategori:Teori grup|Simetri]]
| |||