Revisi per 1 Januari 2021 05.03 sunting 123569yuuift (bicara \| kontrib) 2.955 suntingan Membuat halaman baru Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan		Revisi per 9 Mei 2021 15.42 sunting balikkan Rachmat04 (bicara \| kontrib) Birokrat, Pengurus antarmuka, Pengurus 66.252 suntingan k clean up, replaced: Ruang vektor topologi → Ruang vektor topologis (2), ruang vektor topologi → ruang vektor topologis (2) using AWB Revisi selanjutnya →
Baris 4: [[Gambar:Real number line.svg\|thumb\|right\|350px\|[[Bilangan riil]] membentuk grup topologi di bawah [[penambahan]]]] Dalam [[matematika]], '''grup topologi''' adalah [[grup (matematika) \| grup]] {{mvar \| G}} bersama dengan [[spasi topologi \| topologi]] pada {{mvar \| G}} sehingga kedua operasi biner grup dan elemen grup pemetaan fungsi ke inversnya masing-masing adalah fungsi [[fungsi kontinu (topologi) \| kontinu]] yang berkaitan dengan topologi. Grup topologi adalah objek matematika dengan [[struktur aljabar]] dan struktur topologi. Jadi, seseorang dapat melakukan operasi aljabar, karena struktur grupnya, dan seseorang dapat berbicara tentang fungsi kontinu, karena topologinya. Grup topologi, bersama dengan [[aksi grup berkelanjutan]], digunakan untuk mempelajari [[simetri]] kontinu, yang memiliki banyak aplikasi, misalnya [[Simetri (fisika) \| dalam fisika]]. Dalam [[analisis fungsional]], setiap [[ruang vektor ~~topologi~~topologis]] adalah grup topologi aditif dengan properti tambahan bahwa perkalian skalar adalah kontinu; akibatnya, banyak hasil dari teori grup topologi dapat diterapkan pada analisis fungsional. == Definisi formal == Baris 15: dan peta invers: :{{math\|<sup>−1</sup> : ''G'' → ''G''}}, {{math\| ''x'' ↦ ''x'' <sup>−1</sup>}} adalah [[Fungsi kontinu \| kontinu]]<ref group=note>'' yaitu '' Kontinu artinya untuk himpunan terbuka {{math\|''U'' ⊆ ''G''}}, {{math\|''f'' <sup>−1</sup>(''U'')}} terbuka di domain {{math\|dom ''f''}} dari {{mvar\|f}}.</ref> Maka {{math\|''G'' × ''G''}} dipandang sebagai ruang topologi dengan [[topologi produk]]. Topologi seperti itu dikatakan '''kompatibel dengan operasi grup''' dan disebut '''topologi grup'''. Baris 38: ;Hausdorffness Meski bukan bagian dari definisi ini, banyak penulis<ref>{{harvnb\|Armstrong\|1997\|p=73}}; {{harvnb\|Bredon\|1997\|p=51}}</ref> mengharuskan topologi pada {{mvar \| G}} menjadi [[Ruang Hausdorff \| Hausdorff]]. Salah satu alasan untuk ini adalah bahwa setiap kelompok topologi dapat secara kanonik dikaitkan dengan kelompok topologi Hausdorff dengan mengambil hasil bagi kanonik yang sesuai; ini bagaimanapun, seringkali masih membutuhkan kerja dengan kelompok topologi non-Hausdorff asli. Baris 52: == Homomorfisme == '''Homomorfisme''' dari grup topologi berarti [[grup homomorphism]] {{math\|''G'' → ''H''}}. Kelompok topologi, bersama dengan homomorfisme mereka, membentuk [[teori kategori \| kategori]]. Homomorfisme kelompok antara kelompok topologi komutatif kontinu jika dan hanya jika kontinu pada titik '' beberapa ''.{{sfn \| Narici \| Beckenstein \| 2011 \| pp=19-45}} Baris 67: [[Bilangan real]], {{math \| ℝ}} dengan topologi biasa membentuk grup topologi di bawah tambahan. [[Ruang Euklides \| ruang Euklidean-{{mvar\|n}}]] {{math\|ℝ<sup>''n''</sup>}} juga merupakan grup topologi dalam penambahan, dan lebih umum lagi, setiap [[ruang vektor ~~topologi~~topologis]] membentuk grup topologi (abelian). Beberapa contoh lain dari [[grup abelian \| abelian]] grup topologi adalah [[grup lingkaran]] {{math\|''S''<sup>1</sup>}}, atau [[torus group \| torus]] {{math\|(''S''<sup>1</sup>)<sup>''n''</sup>}} untuk bilangan asli {{mvar \| n}}. [[Grup klasik]] adalah contoh penting dari grup topologi non-abelian. Misalnya, [[grup linear umum]] {{math\|GL(''n'',ℝ)}} of all dapat dibalik {{mvar \| n}} - oleh {{mvar \| n}} [[Matriks (matematika) \| matriks]] dengan entri nyata dapat dilihat sebagai grup topologi dengan topologi yang ditentukan dengan melihat {{math\|GL(''n'',ℝ)}} sebagai [[subruang (topologi) \| subruang]] dari ruang Euclidean {{math\|ℝ<sup>''n''×''n''</sup>}}. Grup klasik lainnya adalah [[grup ortogonal]] {{math\|O(''n'')}}, kelompok dari semua [[peta linear]] dari {{math\|ℝ<sup>''n''</sup>}} terhadap dirinya sendiri yang mempertahankan [[jarak Euklides \| panjang]] dari semua vektor. Kelompok ortogonal adalah [[ruang kompak \| kompak]] sebagai ruang topologi. Banyak dari [[geometri Euclidean]] dapat dipandang sebagai mempelajari struktur kelompok ortogonal, atau kelompok yang terkait erat {{math\|''O''(''n'') ⋉ ℝ<sup>''n''</sup>}} dari [[grup Euclidean \| isometri]] dari {{math\|ℝ<sup>''n''</sup>}}. Grup yang disebutkan sejauh ini adalah semua [[grup kebohongan]], artinya grup tersebut [[lipatan halus]] sedemikian rupa sehingga operasi grup adalah [[fungsi mulus \| mulus]], tidak hanya terus menerus. Grup Lie adalah grup topologi yang paling dipahami; banyak pertanyaan tentang grup Lie dapat diubah menjadi pertanyaan aljabar murni tentang [[aljabar Lie]] dan kemudian diselesaikan. Baris 80: Ini adalah ruang [[terhitung]], dan tidak memiliki topologi diskrit. Contoh penting untuk [[teori bilangan]] adalah grup {{math\|ℤ<sub>''p''</sub>}} dari [[bilangan bulat p-adik]], untuk [[bilangan prima]] {{mvar \| p}}, yang berarti [[batas invers]] dari grup hingga {{math\|ℤ/''p''<sup>''n''</sup>}} karena '' n '' mencapai tak terbatas. Grup {{math\|ℤ<sub>''p''</sub>}} is berperilaku baik karena kompak (pada kenyataannya, homeomorfik ke [[himpunan Cantor]]), tetapi berbeda dari (nyata) geup Lie karena terputus. Grup {{math\|ℤ<sub>''p''</sub>}} adalah [[grup pro-terbatas]]; itu isomorfik ke subkelompok produk <math>\prod_{n \geq 1} \mathbb{Z} / p^n </math> sedemikian rupa sehingga topologinya diinduksi oleh topologi produk, di mana grup hingga <math>\mathbb{Z} / p^n</math> diberi topologi diskrit. Baris 90: == Keseragaman kanonik pada grup topologi komutatif == {{Main\|Ruang seragam}} Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa setiap grup topologi yang kami anggap adalah grup topologi komutatif aditif dengan elemen identitas {{math \| 0}}. {{Quote\|1='''Definisi''' ('''Rombongan kanonik''' dan '''diagonal'''): Baris 97: ::{{math\|1=Δ<sub>''X''</sub>  :=  { (''x'', ''x'') : ''x'' ∈ ''X''  }}} dan untuk {{math\|''N'' ⊆ ''X''}} berisi {{math \| 0}}, '''rombongan kanonik''' atau '''lingkungan kanonik sekitar {{mvar \| N}}' '' adalah himpunan ::{{math\|1=Δ<sub>''X''</sub>(''N'')  :=  { (''x'', ''y'') ∈ ''X'' × ''X'' : ''x'' - ''y'' ∈ ''N'' }  =  {{underset\|''y'' ∈ ''X''\|{{big\|∪}}}} [(''y'' + ''N'') × { ''y'' }]  =  Δ<sub>''X''</sub> + (''N'' × { 0 }) }} '''Definisi''' ('''Keseragaman kanonik'''):{{sfn \| Edwards \| 1995 \| p=61}} Untuk grup topologi {{math\|(''X'', τ)}}, '''keseragaman kanonik''' pada {{mvar \| X}} adalah [[Ruang seragam \| struktur seragam]] yang diinduksi oleh himpunan semua lingkungan kanonik {{math\|1=Δ(''N'')}} sebagai rentang {{mvar \| N}} di semua lingkungan {{math \| 0}} pada {{mvar \| X}}. ▼ Artinya, ini adalah penutupan ke atas dari prefilter berikut pada {{math\|''X'' × ''X''}}, ▼ ▲'''Definisi''' ('''Keseragaman kanonik'''):{{sfn \| Edwards \| 1995 \| p=61}} Untuk grup topologi {{math\|(''X'', τ)}}, '''keseragaman kanonik''' pada {{mvar \| X}} adalah [[Ruang seragam \| struktur seragam]] yang diinduksi oleh himpunan semua lingkungan kanonik {{math\|1=Δ(''N'')}} sebagai rentang {{mvar \| N}} di semua lingkungan {{math \| 0}} pada {{mvar \| X}}. ▲Artinya, ini adalah penutupan ke atas dari prefilter berikut pada {{math\|''X'' × ''X''}}, ::{{math\|1={ Δ(''N'') : ''N'' adalah lingkungan 0 pada ''X'' }}} Baris 120 ⟶ 119: <li>Setiap rombongan {{math\|Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}} berisi diagonal {{math\|1=Δ<sub>''X''</sub> := Δ<sub>''X''</sub>({0}) = { (''x'', ''x'') : ''x'' ∈ ''X''  }}} karena {{math\|0 ∈ ''N''}}. </li> <li>Jika {{mvar \| N}} adalah [[himpunan simetri \| simetris]] (yaitu {{math\|1=- ''N'' = ''N''}}) kemudian {{math\|1=Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}} simetris (yaitu, {{math\|1=(Δ<sub>''X''</sub>(''N''))<sup>op</sup>  =  Δ<sub>''X''</sub>(''N'')}}) dan ::{{math\|1=Δ<sub>''X''</sub>(''N'') ∘ Δ<sub>''X''</sub>(''N'')  =  { (''x'', ''z'') : ∃ ''y'' ∈ ''X''  such that  ''x'', ''z'' ∈ ''y'' + ''N'' }  =  {{underset\|''y'' ∈ ''X''\|{{big\|∪}}}} [(''y'' + ''N'') × (''y'' + ''N'')]  =  Δ<sub>''X''</sub> + (''N'' × ''N'')}}.</li> <li>Topologi yang diinduksi pada {{mvar \| X}} oleh keseragaman kanonik adalah sama dengan topologi yang dimulai dengan {{mvar \| X}} (yaitu {{math \| τ}}).</li> Baris 129 ⟶ 128: {{Main\|Filter dalam topologi \| Jaring (matematika)}} Teori umum [[ruang seragam]] s memiliki definisi sendiri tentang "Cauchy prefilter" dan "Cauchy net." Untuk keseragaman kanonik pada {{mvar \| X}}, ini dikurangi menjadi definisi yang dijelaskan. {{Quote\|1='''Definisi''' ('''Jumlah dan hasil jala'''):{{sfn \| Narici \| Beckenstein \| 2011 \| pp=47-66}} Seharusnya {{math\|1=''x''<sub>•</sub> = (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} adalah jaring di {{mvar \| X}} dan {{math\|1=''y''<sub>•</sub> = (''y''<sub>''i''</sub>)<sub>''j'' ∈ ''J''</sub>}} adalah jaring di {{mvar \| Y}}. Buat {{math\|''I'' × ''J''}} menjadi satu set diarahkan dengan menyatakan {{math\|(''i'', ''j'') ≤ (''i''<sub>2</sub>, ''j''<sub>2</sub>)}} jika dan hanya jika {{math\|''i'' ≤ ''i''<sub>2</sub>}} dan {{math\|''j'' ≤ ''j''<sub>2</sub>}}. Kemudian {{nowrap\|1={{math\|1=''x''<sub>•</sub> × ''y''<sub>•</sub>  :=  (''x''<sub>''i''</sub>, ''y''<sub>''j''</sub>)<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''J''</sub>}}}} menunjukkan '''produk jaring'''. Jika {{math\|1=''X'' = ''Y''}} lalu gambar jaring ini di bawah peta tambahan {{math\|''X'' × ''X'' → ''X''}} menunjukkan '''jumlah''' dari dua jaring ini: ::{{math\|1=''x''<sub>•</sub> + ''y''<sub>•</sub>  :=  ( ''x''<sub>''i''</sub> + ''y''<sub>''j''</sub> )<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''J''</sub>}} Baris 140 ⟶ 139: }} {{Quote\|1='''Definisi''' ('''Jaring Cauchy'''):{{sfn \| Narici \| Beckenstein \| 2011 \| p=48}} [[Jaring (matematika) \| jaring]] {{math\|1=''x''<sub>•</sub> = (''x''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} dalam grup topologi aditif {{mvar \| X}} disebut '''Jaring Cauchy''' jika ::{{math\|( ''x''<sub>''i''</sub> - ''x''<sub>''j''</sub> )<sub>(''i'', ''j'') ∈ ''I''×''I''</sub>  →  0}}  in  {{mvar\|X}} atau setara, jika untuk setiap lingkungan {{mvar \| N}} dari {{math \| 0}} di {{mvar \| X}}, ada beberapa {{math\|''i''<sub>0</sub> ∈ ''I''}} maka {{math\|''x''<sub>''i''</sub> - ''x''<sub>''j''</sub> ∈ ''N''}} untuk {{math\|''i'', ''j'' ≥ ''i''<sub>0</sub>}} dengan {{math\|''i'', ''j'' ∈ ''I''}}. '''[[Urutan Cauchy]]''' adalah Cauchy net yang berurutan. }} {{Quote\|1='''Definisi''' ('''{{mvar \| N}}-himpunan kecil'''):{{sfn \| Narici \| Beckenstein \| 2011 \| pp=48-51}} Jika {{mvar \| B}} adalah subset dari grup aditif {{mvar \| X}} dan {{mvar \| N}} adalah himpunan yang berisi {{math \| 0}}, lalu kita katakan bahwa {{mvar \| B}} adalah '''{{mvar \| N}}-kecil''' atau '''urutan kecil {{mvar \| N}}''' if {{math\|''B'' - ''B'' ⊆ ''N''}}. '''Definisi''' ('''Prafilter Cauchy'''): Sebuah prefilter {{math \| ℬ}} pada grup topologi aditif {{mvar \| X}} disebut '''Cauchy prefilter''' jika memenuhi salah satu kondisi setara berikut: Baris 178 ⟶ 177: * [[Grup aljabar]] * [[Grup kompak]] * [[Ruang vektor ~~topologi~~topologis lengkap]] * [[Grup Lie]] * [[Grup kompak lokal]] * [[Grup tak terbatas]] * [[Gelanggang topologi]] * [[Ruang vektor ~~topologi~~topologis]] == Catatan == Baris 211 ⟶ 210: {{DEFAULTSORT:Topological Group}} [[Kategori: Grup topologi \| ]] [[Kategori: Grup Lie]] [[Kategori: Analisis Fourier]]

Grup topologi: Perbedaan antara revisi