Aritmetika modular: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
melakukan perbaikan gaya bahasa pada →Kekongruenan bilangan bulat: dan menambahkan bagian →Perkembangan teoritis: didasarkan pada konten Wikipedia bahasa Perancis fr:Arithmétique_modulaire. |
Menambahkan bagian "Polinomial" dan "Bilangan aljabar", berdasarkan konten Wikipedia bahasa Perancis fr:Arithmétique_modulaire; lihat sejarahnya untuk atribusi. Menggabungkan bagian "Kekongruenan bilangan bulat", "Gelanggang bilangan bulat modulo n", dan "Kelas kekongruenan" karena membahas ketiganya membahas hal yang sama, dengan beberapa hal yang cukup teknis dipindahkan ke "Sifat kekongruenan bilangan bulat" atau dihapus. |
||
Baris 69:
Tanda kurung mengartikan bahwa {{math|(mod ''n'')}} berlaku untuk kedua ruas persamaan. Notasi ini berbeda dengan notasi {{math|''b'' mod ''n''}} (tanpa tanda kurung), yang mengacu pada [[operasi modulus]]. Notasi {{math|''b'' mod ''n''}} merujuk pada sebuah bilangan bulat unik <math>a</math> dengan <math>0 \leq a < n</math> dan memenuhi <math>a \equiv b \; (\text{mod}\; n)</math> (Dengan kata lain, sisa <math>b</math> ketika dibagi dengan <math>n</math><ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-12|website=Math Vault|language=en-US}}</ref>).
Sebagai contoh, dalam modulus 12 seseorang dapat menyatakan bahwa <math>38 \equiv 14 \ \ (\text{mod}\ \ 12)</math>, karena {{math | 38 - 14 {{=}} 24}}
:<math>a = kn + b,</math>▼
yang secara eksplisit menunjukkan hubungannya dengan [[pembagian Euklides]]. Namun, suku <math>b</math> tersebut bukanlah sisa pembagian <math>a</math> oleh <math>n</math>. Dalam pengartian yang lebih tepat, <math>a \equiv b \ \ (\text{mod}\, n)</math> bahwa {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan{{math | '' n ''}}, yakni▼
:<math>a = pn + r,</math>▼
:<math>b = qn + r,</math>▼
dengan {{math|0 ≤ ''r'' < ''n''}} adalah sisa pembagian keduanya. Mengurangkan kedua ekspresi diatas, kita dapat menemukan hubungan <math>a - b = kn</math> sebelumnya, dengan memilih {{math|1 = ''k'' = ''p'' − ''q''.}}▼
Himpunan
[[Gelanggang (matematika)|Gelanggang]] ini didefinisikan untuk '' n ''> 0 sebagai:
▲karena {{math | 38 - 14 {{=}} 24}}, yang merupakan kelipatan 12. Cara lain untuk menyatakannya adalah dengan mengatakan bahwa 38 dan 14 memiliki sisa yang sama, yakni 2, ketika dibagi dengan 12.
Definisi kekongruenan juga berlaku untuk nilai negatif. Sebagai contoh:▼
:<math> \begin{align}▼
2 &\equiv -3 \pmod 5\\▼
-8 &\equiv 7 \pmod 5\\▼
-3 &\equiv -8 \pmod 5.▼
\end{align}</math>▼
▲Himpunan dari semua [[Modular aritmatika#Kelas kesesuaian|kelas kekongruenan]] dari bilangan bulat untuk modulus {{math | '' n ''}} disebut '''gelanggang bilangan bulat modulo {{math |''n''}} ''',<ref>Ini adalah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], ditunjukkan di bawah.</ref> dan dilambangkan <math display="inline">\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}/n</math>, atau <math>\mathbb{Z}_n</math>.<ref name=":0" /><ref>{{Cite web|date=2013-11-16|title=2.3: Integers Modulo n|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Abstract_and_Geometric_Algebra/Book%3A_Introduction_to_Algebraic_Structures_(Denton)/02%3A_Groups_I/2.03%3A_Integers_Modulo_n|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2020-08-12}}</ref> Notasi <math>\mathbb{Z}_n</math> adalah, bagaimanapun, tidak disarankan karena bisa disalahartikan dengan himpunan [[P-adik#Pendekatan Aljabar|bilangan bulat adic-{{math | '' n ''}}]]. Gelanggang <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> adalah fundamental untuk berbagai cabang matematika (lihat {{section link|#Aplikasi}} di bawah).
:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\{ \overline{a}_n \mid a \in \mathbb{Z}\right\} = \left\{ \overline{0}_n, \overline{1}_n, \overline{2}_n,\ldots, \overline{n{-}1}_n \right\}.</math>
▲Kami mendefinisikan penjumlahan, pengurangan, dan perkalian di <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> dengan aturan berikut:
* <math>\overline{a}_n + \overline{b}_n = \overline{(a + b)}_n</math>
Baris 105 ⟶ 83:
* <math>\overline{a}_n \overline{b}_n = \overline{(ab)}_n.</math>
▲Maka, <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> menjadi [[gelanggang komutatif]]. Misalnya, di gelanggang <math>\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}</math>, maka
:<math>\overline{12}_{24} + \overline{21}_{24} = \overline{33}_{24}= \overline{9}_{24}</math>
seperti dalam
=== Polinomial ===
{{Main|polinomial siklotomik}}
[[Berkas:Heptadecagone.jpg|jmpl|Konstruksi dengan penggaris dan jangka dari poligon reguler 17 sisi, dengan menggunakan teknik aritmatika modular.]]
Gauss menyadari aritmetika modular juga dapat diterapkan pada himpunan [[polinomial]] dengan koefisien [[bilangan pecahan]], karena himpunan tersebut memiliki penjumlahan, perkalian, dan pembagian Euklides. Kekongruenan pada himpunan ini didasarkan dari sisa hasil bagi Euklides sebuah polinomial dengan polinomial lain.
Gauss menerapkan pendekatan ini ke polinomial <math>x^n-1</math> dan menemukan [[Faktorisasi|faktor-faktor primitifnya]], yang disebut dengan ''polinomial siklotomik''. Hal ini digunakan untuk menemukan konstruksi penggaris dan jangka dari [[heptadekagon]], sebuah poligon reguler dengan 17 sisi. Namun, ia ragu untuk menganggap penerapan ini termasuk dalam aritmetika; ia menulis: "Teori pembagian pada lingkaran, atau pada poligon reguler ..., bukan bagian dari aritmetika dengan sendirinya, namun prinsipnya didapatkan dari aritmetika tingkat lanjut".<ref>[[Carl Friedrich Gauss]] (<abbr>trad.</abbr> A.-C.-M. Poullet-Delisle, éd. Courcier, 1807), [ [[Disquisitiones Arithmeticae]] ], 1801</ref>
===
{{Main|Bilangan Gaussian}}
Pada kasus polinomial dengan koefisien bilangan bulat, sifat pembagian hanya berlaku untuk polinomial dengan koefisien derajat tersebesar bernilai 1 atau -1. Bagian ini membahas modulus berupa polinomial <math>X^2+1</math>, dengan struktur modular yang didapatkan masih bagian dari [[Gelanggang (matematika)|gelanggangnya]]. Gelanggang ini berisi himpunan bilangan dalam bentuk <math>\alpha + i \beta</math>, dengan <math>\alpha</math> dan <math>\beta</math> berupa bilangan bulat dan <math>i</math> berupa [[Bilangan imajiner|unit bilangan imajiner]], yang berkorespodensi dengan monomial <math>X</math>. Himpunan tersebut dikenal sebagai bilangan
=== Sistem residu ===
Baris 147 ⟶ 129:
== Sifat kekongruenan bilangan bulat ==
{{See also|Relasi kekongruenan|Operasi modulus}}Hubungan kekongruenan bilangan bulat dapat ditulis sebagai
▲:<math>a = kn + b,</math>
▲yang secara eksplisit menunjukkan hubungannya dengan [[pembagian Euklides]]. Namun, suku <math>b</math> tersebut bukanlah sisa pembagian <math>a</math> oleh <math>n</math>. Dalam pengartian yang lebih tepat, <math>a \equiv b \ \ (\text{mod}\, n)</math> bahwa {{math | '' a ''}} dan {{math | '' b ''}} memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan{{math | '' n ''}}, yakni
▲:<math>a = pn + r,</math>
▲:<math>b = qn + r,</math>
▲dengan {{math|0 ≤ ''r'' < ''n''}} adalah sisa pembagian keduanya. Mengurangkan kedua ekspresi diatas, kita dapat menemukan hubungan <math>a - b = kn</math> sebelumnya, dengan memilih {{math|1 = ''k'' = ''p'' − ''q''.}}
▲Definisi kekongruenan juga berlaku untuk nilai negatif. Sebagai contoh:
▲:<math> \begin{align}
▲2 &\equiv -3 \pmod 5\\
▲-8 &\equiv 7 \pmod 5\\
▲-3 &\equiv -8 \pmod 5.
▲\end{align}</math>
=== Sifat dasar ===
Baris 308 ⟶ 302:
== Pranala luar ==
* Dalam [https://web.archive.org/web/20060101075602/http://britton.disted.camosun.bc.ca/modart/jbmodart.htm modular art] artikel, seseorang dapat mempelajari lebih lanjut tentang aplikasi aritmatika modular dalam seni.
* An [https://web.archive.org/web/20160220061222/http://mersennewiki.org/index.php/Modular_arithmetic article] tentang aritmatika modular di wiki GIMPS
| |||