Sifat komutatif: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
→Sejarah dan etimologi: Menambah 'kan bagian Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 129:
Penggunaan istilah '' komutatif '' yang tercatat pertama kali dalam sebuah memoar oleh [[François-Joseph Servois|François Servois]] pada tahun 1814,<ref name="ReferenceA">Cabillón and Miller, ''Commutative and Distributive''</ref><ref>O'Conner and Robertson, ''Servois''</ref> yang menggunakan kata '' komutatif '' saat mendeskripsikan fungsi yang memiliki apa yang sekarang disebut properti komutatif. Kata tersebut merupakan kombinasi dari kata Perancis '' commuter '' yang berarti "mengganti atau mengganti" dan sufiks '' -ative '' yang berarti "cenderung ke" sehingga kata tersebut secara harfiah berarti "cenderung mengganti atau beralih". Istilah tersebut kemudian muncul dalam bahasa Inggris pada tahun 1838<ref name=":0">{{cite book|title=Mathematics in Victorian Britain|editor1-first=Raymond|editor1-last=Flood|editor2-first=Adrian|editor2-last=Rice|editor3-first=Robin|editor3-last=Wilson|editor3-link=Robin Wilson (mathematician)|publisher=[[Oxford University Press]]|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=YruifIx88AQC&pg=PA4|page=4}}</ref> dalam artikel [[Duncan Farquharson Gregory]] berjudul "Tentang sifat sebenarnya dari aljabar simbolik" yang diterbitkan pada tahun 1840 di [[Royal Society of Edinburgh|Transaksi Royal Society of Edinburgh]].<ref>{{Cite journal|author=D. F. Gregory|title=On the real nature of symbolical algebra|periodical=Transactions of the Royal Society of Edinburgh|volume=14|pages=208–216|year=1840|url=https://archive.org/details/transactionsofro14royal}}</ref>
== Logika proposisional ==
{{Kaidah transformasi}}
=== Kaidah penggantian ===
Dalam logika proposisional riil-fungsional, ''pergantian'',<ref>Moore and Parker</ref><ref>{{cite book |last1=Copi |first1=Irving M. |last2=Cohen |first2=Carl |title=Introduction to Logic |publisher=Prentice Hall |year=2005}}</ref> or ''commutativity''<ref>{{cite book |title=A Concise Introduction to Logic 4th edition |url=https://archive.org/details/studyguidetoacco00burc |url-access=registration |last=Hurley |first=Patrick |year=1991 |publisher=Wadsworth Publishing }}</ref> mengacu pada dua [[Validitas (logika)|valid]] [[kaidah penggantian]]. Kaidah memungkinkan untuk mengubah urutan [[variabel proposisional]] dalam [[rumus bentuk formal|ekspresi logika]] dalam [[bukti formal|bukti logis]]. Rumusnya adalah:
:<math>(P \lor Q) \Leftrightarrow (Q \lor P)</math>
and
:<math>(P \land Q) \Leftrightarrow (Q \land P)</math>
dimana "<math>\Leftrightarrow</math>" adalah [[metalogika]] dari [[Simbol (formal)|simbol]] yang menggunakan "[[Bukti formal|bukti]] dengan formal".
=== Konektor fungsional riil ===
''Komutatifita '' adalah sifat dari beberapa [[koneksi logika]] fungsi riil [[logika proposisional]]. [[Persamaan logika]] berikut menunjukkan bahwa komutativitas adalah sifat dari penghubung tertentu. Berikut ini adalah riil-fungsional [[tautologi (logika)|tautologi]].
;Komutatifitas konjungsi:<math>(P \land Q) \leftrightarrow (Q \land P)</math>
;Komutatifitas disjungsi:<math>(P \lor Q) \leftrightarrow (Q \lor P)</math>
;Komutatifitas implikasi (disebut juga hukum permutasi):<math>(P \to (Q \to R)) \leftrightarrow (Q \to (P \to R))</math>
;Komutatifitas kesetaraan (disebut juga hukum ekuivalen komutatif kompleks):<math>(P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow (Q \leftrightarrow P)</math>
== Teori himpunan ==
Dalam [[teori grup|grup]] dan [[teori himpunan]], struktur aljabar disebut sebagai komutatif ketika operan tertentu memenuhi sifat komutatif. Dalam cabang matematika yang lebih tinggi, yaitu [[Analisis matematika|analisis]] dan [[aljabar linear]] komutatifitas operasi terkenal (yaitu [[penambahan]] dan [[perkalian]] pada bilangan riil dan kompleks) sering digunakan (atau diasumsikan secara implisit) dalam pembuktian.<ref>Axler, p.2</ref><ref name="Gallian, p.34">Gallian, p.34</ref><ref>p. 26,87</ref>
== Struktur matematika dan komutatif ==
* [[Semigrup komutatif]] adalah himpunan dengan operasi total dari [[asosiatif]] dan komutatif.
* Jika operasi menggunakan [[elemen identitas]] maka elemen tersebut adalah [[monoid komutatif]]
* [[Grup abelian]], atau ''grup komutatif'' adalah [[grup (matematika)|grup]] dimana operasi grupnya adalah sifat komutatif.<ref name="Gallian, p.34"/>
* [[Gelanggang komutatif]] adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] dimana [[perkalian]] adalah komutatif.<ref>Gallian p.236</ref>
* Dalam [[bidang (matematika)|bidang]] penjumlahan dan perkalian adalah sifat komutatif.<ref>Gallian p.250</ref>
== Sifat terkait ==
=== Asosiatif ===
{{Main|Sifat asosiatif}}
Sifat asosiatif terkait erat dengan sifat komutatif. Sifat asosiatif dari ekspresi yang berisi dua atau lebih dari operasi yang sama; bahwa operasi urutan dilakukan tidak dipengaruhi hasil akhir, sebagai urutan persyaratan yang tidak dapat diubah. Sebaliknya, sifat komutatif; bahwa urutan suku tidak mempengaruhi hasil akhir.
Sebagian besar operasi komutatif yang ditemukan dalam praktik bersifat asosiatif. Namun, komutativitas tidak menyiratkan asosiatif. Sebuah contoh luar adalah fungsi
:<math>f(x, y) = \frac{x + y}{2},</math>
yang jelas sifat komutatif (mengganti ''x'' dan ''y'' tidak mempengaruhi hasil), tetapi tidak asosiatif (misalnya, <math>f(-4, f(0, +4)) = -1</math> but <math>f(f(-4, 0), +4) = +1</math>).
Contoh lainnya dapat ditemukan di [[magma non-asosiatif komutatif]].
=== Distributif ===
{{Main|Sifat distributif}}
=== Simetri ===
[[Berkas:Symmetry Of Addition.svg|right|thumb|200px|Grafik yang menunjukkan kesimetrian fungsi penjumlahan]]
{{Main|Simetri dalam matematika}}
Beberapa bentuk simetri dapat langsung dikaitkan dengan komutatifitas. Ketika operasi komutatif ditulis sebagai fungsi biner maka fungsi yang dihasilkan adalah simetris dengan melintasi garis ''y = x''. Sebagai contoh, jika fungsi ''f'' menggunakan penjumlahan (operasi komutatif) sehingga ''f''(''x'',''y'') = ''x'' + ''y'', maka ''f'' adalah fungsi simetris yang dapat dilihat pada gambar di sebelahnya.
Untuk relasi, [[relasi simetri]] adalah analogi dengan operasi komutatif, dimana jika relasi ''R'' simetris, maka <math>a R b \Leftrightarrow b R a</math>.
== Operator non-komuter dalam mekanika kuantum ==
| |||