Matriks simetrik: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
membuat artikel rintisan; akan dikembangkan secepatnya. konten dalam suntingan ini adalah hasil alih bahasa dari en:Symmetric_matrix; lihat sejarahnya untuk atribusi. |
menambahkan bagian →Sifat: . suntingan ini adalah hasil alih bahasa artikel en:Symmetric_matrix; lihat sejarahnya untuk atribusi. |
||
Baris 6:
Dalam [[aljabar linear]], '''matriks simetris''' adalah jenis [[matriks persegi]] yang sama dengan matriks hasil [[Transpos|transposnya]]. Secara formal, matriks <math>A</math>didefinisikan matriks simetris jika <math>A=A^\text{T}</math>. Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetris.
Elemen-elemen pada matriks simetris saling
Setiap [[Matriks diagonal|matriks persegi diagonal]] bersifat
== Contoh ==
Baris 21:
</math>
==
===Sifat dasar===
* Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetris menghasilkan matriks simetris
* Hal ini tidak selalu benar untuk [[Perkalian matriks|hasil perkalian]]: untuk sebarang matriks <math>A</math> dan <math>B</math>, matriks <math>AB</math> bersifat simetris [[jika dan hanya jika]] <math>A</math> dan <math>B</math> saling ''commute'', yakni, jika <math>AB=BA</math>.
* Untuk bilangan bulat <math>n</math>, <math>A^n</math> matriks simetris jika <math>A</math> matriks simetris.
* Jika <math>A^{-1}</math> ada, maka matriks tersebut simetris jika dan hanya jika <math>A</math> simetris.
===Dekomposisi menjadi matriks simetris dan simetris-miring===
Setiap [[matriks persegi]] dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetris dan [[matriks simetris-miring]]. Misal <math>\mbox{Mat}_n</math> menyatakan [[Ruang (matematika)|ruang]] matriks ukuran <math>n \times n</math>. Jika <math>\mbox{Sym}_n</math> adalah ruang matriks simetris ukuran <math>n \times n</math> dan <math>\mbox{Skew}_n</math> adalah ruang matriks simetris-miring ukuran <math>n \times n</math>, maka <math>\mbox{Mat}_n = \mbox{Sym}_n + \mbox{Skew}_n</math> dan <math>\mbox{Sym}_n \cap \mbox{Skew}_n = \{0\}</math>; yakni,
:<math>\mbox{Mat}_n = \mbox{Sym}_n \oplus \mbox{Skew}_n , </math>
dengan <math>\oplus</math> adalah [[jumlah langsung]]. Selanjutnya, misal <math>X \in \mbox{Mat}_n</math>. Matriks <math>X</math> dapat dinyatakan sebagai
:<math>X = \frac{1}{2}\left(X + X^\textsf{T}\right) + \frac{1}{2}\left(X - X^\textsf{T}\right)</math>.
Perhatikan bahwa <math>\frac{1}{2}\left(X + X^\textsf{T}\right) \in \mbox{Sym}_n</math> dan <math>\frac{1}{2}\left(X - X^\textsf{T}\right) \in \mbox{Skew}_n</math>. Hal ini benar untuk semua matriks persegi <math>X</math> dengan elemen dari sebarang [[Medan (matematika)|lapangan]] dengan nilai [[Karakteristik aljabar|karakteristik]] bukan 2. Matriks simetris ditentukan oleh <math>\tfrac{1}{2}n(n+1)</math> skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas [[diagonal utama]]). Mirip dengan itu, [[matriks simetris-miring]] ditentukan dari <math>\tfrac{1}{2}n(n-1)</math> skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama).
=== Matriks yang kongruen dengan matriks simetris ===
Setiap matriks yang [[Kekongruenan matriks|kongruen]] dengan matriks simetris juga merupakan matriks simetris: jika <math>X</math> adalah matriks simetris, begitu pula matriks <math>A X A^{\mathrm T}</math> untuk sebarang matriks <math>A</math>.
== Daftar pustaka ==
* {{citation|last=Horn|first=Roger A.|last2=Johnson|first2=Charles R.|title=Matrix analysis|edition=2nd|publisher=Cambridge University Press|year=2013|isbn=978-0-521-54823-6}}
| |||