Grup Abelian: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 136:
Hal itu dapat memeriksa bahwa ini menghasilkan tatanan dalam contoh sebelumnya sebagai kasus khusus (lihat Hillar, C., & Rhea, D.).
== Grup abelian yang dihasilkan tak hingga ==
{{main|Grup abelian yang dihasilkan tak hingga}}
Grup abelian {{mvar|A}} tanpa batas jika himpunan elemen hingga (disebut ''generator'') <math>G=\{x_1, \ldots, x_n\}</math> sedemikian rupa maka setiap elemen grup adalah [[kombinasi linear]] dengan koefisien bilangan bulat elemen {{mvar|G}}.
Misalkan {{mvar|L}} menjadi [[grup abelian bebas]] dengan basis <math>B=\{b_1, \ldots, b_n\}.</math>
[[Homomorfisme grup]] unik
<math>p\colon L \to A,</math> sebagai
:<math>p(b_i) = x_i\quad \text{untuk } i=1,\ldots, n.</math>
Homomorfisme ini adalah [[Fungsi surjektif|surjektif]], dan [[kernel (aljabar linear)|kernel]]-nya dihasilkan secara halus (karena bilangan bulat membentuk [[gelanggang Noetherian]]). Pertimbangkan matriks {{mvar|M}} dengan entri bilangan bulat, sehingga entri dari kokernel ke {{mvar|j}} adalah koefisien dari generalisasi kernel {{mvar|j}}. Maka, grup abelian bersifat isomorfik terhadap [[kokernel]] dari peta linear yang ditentukan {{mvar|M}}. Sebaliknya, setiap [[matriks bilangan bulat]] mendefinisikan grup abelian yang dihasilkan secara hingga.
Oleh karena itu, studi tentang grup abelian yang dihasilkan hingga setara dengan studi tentang matriks bilangan bulat. Secara khusus, mengubah himpunan pembangkit {{mvar|A}} sama dengan mengalikan {{mvar|M}} sebelah kiri dengan [[matriks unimodular]] (yaitu, matriks bilangan bulat inversnya merupakan matriks bilangan bulat). Mengubah himpunan pembangkit kernel {{mvar|M}} sama dengan mengalikan {{mvar|M}} sebelah kanan dengan matriks unimodular.
[[Bentuk normal Smith]] dari {{mvar|M}} adalah sebuah matriks
:<math>S=UMV,</math>
dimana {{mvar|U}} dan {{mvar|V}} unimodular, dan {{mvar|S}} adalah matriks sehingga semua entri non-diagonal adalah nol, entri diagonal bukan-nol {{tmath|d_{1,1}, \ldots, d_{k,k} }} adalah yang pertama, dan {{tmath|d_{j,j} }} adalah pembagi dari {{tmath|d_{i,i} }} untuk {{math|''i'' > ''j''}}. Keberadaan dan bentuk normal Smith membuktikan bahwa grup abelian yang dihasilkan tak hingga {{mvar|A}} adalah [[jumlah langsung]]
:<math>\Z^r \oplus \Z/d_{1,1}\Z \oplus \cdots \oplus \Z/d_{k,k}\Z,</math>
dimana {{mvar|r}} adalah jumlah baris nol di bagian bawah {{mvar|r}} (dan [[Pangkat grup abelian|peringkat]] grup). Ini adalah [[teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga]].
Adanya algoritma untuk bentuk normal Smith menunjukkan bahwa dalil dasar grup abelian yang dihasilkan tak hingga bukan hanya dalil eksistensi abstrak, tetapi menyediakan cara untuk menghitung ekspresi grup abelian yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung.
== Catatan tentang tipografi ==
| |||