Grup sederhana: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''grup sederhana''' adalah sebuah nontrivial [[Grup (matematika) | grup]] yang hanya [[subgrup normal]] adalah [[grup trivial]] dan grup itu sendiri. Suatu grup yang tidak sederhana dapat dipecah menjadi dua grup yang lebih kecil, yaitu subgrup normal nontrivial dan [[grup hasil bagi]] yang sesuai. Proses ini dapat diulangi, dan untuk [[grup terbatas]] seseorang akhirnya sampai pada grup sederhana yang ditentukan secara unik, dengan [[teorema Jordan–Hölder]].

[[Grup siklik]] ''G'' = '''Z'''/3'''Z''' dari [[kongruensi kelas]] es [[operasi modulo | modulo]] 3 (lihat [[aritmatika modular]]) sederhana. Jika '' H '' adalah subgrup dari grup ini, nya [[Urutan (teori grup) | urutan]] (jumlah elemen) harus menjadi [[pembagi]] dari urutan '' G '' yaitu 3. Karena 3 adalah bilangan prima, satu-satunya pembagi adalah 1 dan 3, jadi baik '' H '' adalah '' G '', atau '' H '' adalah grup trivial. Di sisi lain, grup ''G'' = '''Z'''/12'''Z''' tidak sederhana. Himpunan '' H '' dari kelas-kelas kesesuaian dari 0, 4, dan 8 modulo 12 adalah subgrup berorde 3, dan ini adalah subkelompok normal karena setiap subkelompok dari [[grup abelian]] adalah normal. Demikian pula, grup aditif '''Z''' dari [[integer]] s tidak sederhana; himpunan bilangan bulat genap adalah subgrup normal non-trivial yang tepat.<ref>Knapp (2006), [{{Google books|plainurl=y|id=KVeXG163BggC|page=170|text=Z is not simple, having the nontrivial subgroup 2Z}} p. 170]</ref>

Seseorang dapat menggunakan jenis penalaran yang sama untuk setiap grup abelian, untuk menyimpulkan bahwa satu-satunya grup abelian sederhana adalah grup siklik dari urutan [[bilangan prima | prima]]. Klasifikasi kelompok sederhana nonabelian jauh lebih sepele. Kelompok sederhana non abelian terkecil adalah [[grup bergantian]] ''A''₅ dari orde 60, dan setiap grup orde 60 sederhana adalah [[Isomorfisme grup | isomorfis]] pafa ''A''₅.<ref>Rotman (1995), [{{Google books|plainurl=y|id=lYrsiaHSHKcC|page=226|text=simple groups of order 60 are isomorphic}} p. 226]</ref> Kelompok sederhana nonabelian terkecil kedua adalah kelompok linier khusus proyektif [[PSL(2,7)]] dengan orde 168, dan adalah mungkin untuk membuktikan bahwa setiap kelompok orde 168 sederhana isomorfik ke [[PSL(2,7)]].<ref>Rotman (1995), p. 281</ref><ref>Smith & Tabachnikova (2000), [{{Google books|plainurl=y|id=DD0TW28WjfQC|page=144|text=any two simple groups of order 168 are isomorphic}} p. 144]</ref>

Jauh lebih sulit untuk membangun grup sederhana tanpa batas yang '' dihasilkan secara terbatas ''. Hasil keberadaan pertama tidak eksplisit; hal ini disebabkan oleh [[Graham Higman]] dan terdiri dari quotients sederhana dari [[grup Higman]].<ref>{{Citation | last1=Higman | first1=Graham | author1-link=Graham Higman | title=A finitely generated infinite simple group | doi=10.1112/jlms/s1-26.1.59 |mr=0038348 | year=1951 | journal=Journal of the London Mathematical Society |series=Second Series | issn=0024-6107 | volume=26 | issue=1 | pages=61–64}}</ref> Contoh eksplisit, yang ternyata disajikan secara halus, termasuk [[gruo Thompson]] '' T '' dan '' V '' yang tidak terbatas. Grup sederhana tak terbatas yang disajikan dengan sempurna [[Torsi (aljabar) | bebas torsi]] dibuat oleh Burger-Moze.<ref>{{cite journal | last1 = Burger | first1 = M. | last2 = Mozes | first2 = S. | year = 2000 | title = Lattices in product of trees | journal = Publ. Math. IHES | volume = 92 | pages = 151–194 | doi=10.1007/bf02698916}}</ref>

[[Daftar grup sederhana hingga | grup sederhana hingga]] penting karena dalam arti tertentu mereka adalah "blok bangunan dasar" dari semua grup hingga, agak mirip dengan cara [[bilangan prima]] adalah blok bangunan dasar dari [[bilangan bulat]]. Hal ini diungkapkan oleh [[Teorema Jordan–Hölder]] yang menyatakan bahwa dua [[rangkaian komposisi]] dari grup tertentu memiliki panjang yang sama dan faktor yang sama, [[hingga]] [[permutasi]] dan [[isomorfisme]]. Dalam upaya kolaboratif yang besar, [[klasifikasi kelompok sederhana hingga]] dinyatakan diselesaikan pada tahun 1983 oleh [[Daniel Gorenstein]], meskipun beberapa masalah muncul (khususnya dalam klasifikasi [[grup kuasithin]], yang dipasang pada tahun 2004).

* Salah satu dari 26 pengecualian, [[grup sporadis]], 20 di antaranya adalah subkelompok atau [[sub-hasil bagi]] dari [[grup monster]] dan disebut sebagai "Keluarga Bahagia", sedangkan 6 sisanya disebut sebagai [[grup paria | paria]].

[[Teorema Feit – Thompson | teorema]] dari [[Walter Feit | Feit]] dan [[John G. Thompson | Thompson]] menyatakan bahwa setiap kelompok berorde ganjil adalah [[grup solvabel|dapat dipecahkan]]. Oleh karena itu, setiap kelompok sederhana hingga memiliki urutan genap kecuali jika itu adalah siklus orde utama.

Pada waktu yang hampir bersamaan, diperlihatkan bahwa sebuah keluarga terdiri dari lima kelompok, disebut [[grup Mathieu]] dan pertama kali dijelaskan oleh [[Émile Léonard Mathieu]] pada tahun 1861 dan 1873, juga sederhana. Karena kelima kelompok ini dibangun dengan metode yang tidak menghasilkan banyak kemungkinan yang tak terhingga, mereka disebut "[[grup sporadis | sporadis]]" oleh [[William Burnside]] dalam buku teksnya tahun 1897.

Grup ini (grup tipe Lie, bersama dengan kelompok siklik, kelompok bergantian, dan lima kelompok Mathieu yang luar biasa) diyakini sebagai daftar lengkap, tetapi setelah jeda hampir satu abad sejak karya Mathieu, pada tahun 1964 [[gruo Janko]] pertama ditemukan, dan sisa 20 grup sporadis ditemukan atau diduga pada tahun 1965–1975, berpuncak pada tahun 1981, ketika [[Robert Griess]] mengumumkan bahwa ia telah membangun "[[grup Monster]]" milik [[Bernd Fischer (matematikawan) | Bernd Fischer]] ". Monster adalah grup sederhana sporadis terbesar yang memiliki urutan 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000. Monster memiliki representasi 196.883 dimensi yang setia dalam [[Aljabar Griess]] dimensi 196.884, yang berarti bahwa setiap elemen Monster dapat diekspresikan sebagai matriks 196.883 x 196.883.

Segera setelah pembangunan Monster pada tahun 1981, menjadi bukti, berjumlah lebih dari 10.000 halaman, asalkan ahli teori grup telah berhasil [[Daftar grup sederhana hingga | mendaftar semua grup sederhana hingga]], dengan kemenangan diumumkan pada tahun 1983 oleh Daniel Gorenstein. Ini terlalu dini, beberapa celah kemudian ditemukan, terutama dalam klasifikasi [[grup kuasithin]], yang akhirnya diganti pada tahun 2004 oleh klasifikasi grup quasithin 1.300 halaman, yang sekarang secara umum diterima sebagai lengkap.

Bukti: Jika '' n '' adalah kekuatan-prima, maka segrup urutan '' n '' memiliki nontrivial [[pusat (teori grup) | pusat]]<ref>Lihat bukti di [[grup-p]], misalnya.</ref> dan, oleh karena itu, tidaklah sederhana. Jika '' n '' bukan pangkat utama, maka setiap subkelompok Sylow adalah tepat, dan, menurut [[Teorema Sylow | Teorema Ketiga Sylow]], kita tahu bahwa jumlah subgrup p Sylow dari kelompok orde '' n '' sama dengan 1 modulo '' p '' dan membagi '' n ''. Karena 1 adalah satu-satunya bilangan tersebut, subgrup p Sylow unik, dan oleh karena itu normal. Karena ini adalah subkelompok non-identitas yang tepat, kelompok ini tidak sederhana.

''Burnside'': Grup sederhana hingga non-Abelian memiliki urutan yang habis dibagi oleh setidaknya tiga bilangan prima yang berbeda. Ini mengikuti dari [[Teorema Burnside | Teorema p-q Burnside]].

* [[Grup sederhana]]