Idempoten: Perbedaan antara revisi

'''Idempoten''' adalah sifat beberapa [[Operasi (matematika)|operasi]] tertentu di [[matematika]] dan [[ilmu komputer]]. Operasi yang memiliki sifat ini dapat diterapkan (dilakukan) beberapa kali tanpa memberikan hasil berbeda dengan ketikahasil diterapkanpenerapan pertama kali. Konsep idempoten muncul dalam beberapa hal di [[aljabar abstrak]] (khususnya, dalam teori proyektor dan ''closure operators'') dan pada [[pemrograman fungsional]] (yang berhubungan dengan sifat ''referential transparency'').

Istilah ini diperkenalkan oleh [[Benjamin Peirce]],<ref>Polcino & Sehgal (2002), p. 127.</ref> dalamketika konteksmembahas unsur-unsur di aljabar yang tidak berubah ketika dipangkatkan dengan sebauhsebuah bilangan bulat positif,. danIdempoten secaraberasal harfiahdari berartigabungan "(kemampuan memiliki) pangkat yang sama", darikata ''idem'' +dan ''potence'' ("sama" +dan "pangkat"), dan secara harfiah berarti "(kemampuan memiliki) hasil pangkat yang sama".

ElemenSuatu ''elemen <math>x''</math> dari sebuah [[Magmahimpunan (aljabar)|magma]]<math>S</math> (''M'',yang •)dilengkapi dengan operator biner <math>\cdot</math> dikatakan ''idempoten'' jika berlaku {{Nowrap|1=''<math>x''\cdot • ''x'' = ''x''}}</math>.<ref>{{Cite book|last=Valenza|first=Robert|date=2012|url=https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ|title=Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics|location=Berlin|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461209010|page=22|quote=An element ''s'' of a magma such that ''ss'' = ''s'' is called ''idempotent''.}}</ref><ref>{{Cite book|last=Doneddu|first=Alfred|date=1976|url=https://books.google.com/books?id=5Ry7AAAAIAAJ|title=Polynômes et algèbre linéaire|location=Paris|publisher=Vuibert|page=180|language=fr|quote=Soit ''M'' un magma, noté multiplicativement. On nomme idempotent de ''M'' tout élément ''a'' de ''M'' tel que ''a''² = ''a''.}}</ref> JikaOperator semuabiner elemen<math>\cdot</math> idempoten menurut operasi •, maka • disebutdikatakan idempoten. Rumusjika ∀ ''<math>x'',\cdot {{Nowrap|1=''x'' • ''x'' = ''x''}}</math> disebutuntuk hukumsemua idempotenelemen untukdi •<math>S</math>.<ref>{{Cite book|last=George Grätzer|year=2003|url=https://archive.org/details/generallatticeth0000grat|title=General Lattice Theory|location=Basel|publisher=Birkhäuser|url-access=registration}} Here: Sect.1.2, p.5.</ref><ref>{{Cite book|last=Garrett Birkhoff|year=1967|title=Lattice Theory|location=Providence|publisher=Am. Math. Soc.|series=Colloquium Publications|volume=25}}. Here: Sect.I.5, p.8.</ref>

BeriutBerikut beberapa contoh objek matematika dan sifat idempoten mereka:

* Bilangan asli 0 dan 1 adalah elemen yang idempoten denganterhadap [[perkalian]] (karena 0 × 0 = 0 dan 1 × 1 = 1), dan. Karena tidak ada bilangan asli lainnya yang memenuhi sifat ini (misalnya tidak berlaku bahwa 2 × 2 = 2)., Untukoperasi alasanperkalian yang terakhir, perkalianpada bilangan asli bukanlah operasi yang idempoten. Secara formal, elemen idempoten dalam [[monoid]] <math>([[Bilangan asli|ℕ]]\N, ×\times), elemen idempoten</math> hanyahanyalah 0 dan 1.

* Dalam [[Magma (aljabar)|magma]] <math>(''M'', •\,\cdot)</math>, [[elemen identitas]] ''<math>e''</math> atau ''absorbing element'' ''<math>a''</math>, jika elemen tersebut ada, akan bersifat idempoten karena {{Nowrap|1=''<math>e''\cdot • ''e'' = ''e''}}</math> dan {{Nowrap|1=''<math>a''\cdot • ''a'' = ''a''}} .</math>

* Dalam sebuah [[Grup (matematika)|grup]] <math>(''G'', •\,\cdot)</math>, elemen identitas ''<math>e''</math> adalah satu-satunya elemen idempoten. Hal ini terlihat karena untuk sebarang ''x''sembarang elemen dari<math>x</math> ''di <math>G''</math> yang sehinggamemenuhi {{Nowrap|1=''<math>x''\cdot • ''x'' = ''x''}}</math>, berlakujuga akan {{Nowrap|1=''memenuhi <math>x''\cdot • ''x'' = ''x''\cdot • ''e''}}</math>. dan ''x'' = ''e'' (denganDengan mengalikan kedua ruas dari kiri dengan [[elemen invers]] dari ''<math>x'')</math>, didapatkan <math>x = e.</math>

* Mengambil [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] ''x'' [[Irisan (teori himpunan)|∩]] ''y'' dari dua himpunan ''x'' dan ''y'' adalah operasi idempoten, karena ''x'' ∩ ''x'' selalu sama dengan ''x'' . Dengan kata lain, hukum idempotensi ∀ ''x'', ''x'' ∩ ''x'' = ''x'' berlku untuk operasi irisan. Demikian pula, mengambil gabungan dua himpunan adalah operasi idempoten. Secara formal, untukUntuk sebarang monoid (𝒫 ''(E),'' ∪) dan (𝒫 ''(E),'' ∩) dari ''powerset'' himpunan ''E,'' yang masing-masing dilengkapi [[Gabungan (teori himpunan)|operator gabungan]] ∪ dan [[Irisan (teori himpunan)|operator irisan persimpangan]] ∩, semua elemennya idempoten; Oleh karena itu, ∪ dan ∩ adalah operasi idempoten pada 𝒫 ( ''E'' ).

* Dalam monoid ({0, 1}, ∨) dan ({0, 1}, ∧) dari ''Boolean domain'' dengan [[logika disjungsi]] ∨ dan [[logika konjungsi]] ∧, semua elemennya idempoten.

adalah banyaknya fungsi idempoten yang mungkin di himpunan ''E''. barisan dari rumus banyaknya fungsi idempoten di atas untuk ''n'' = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,… adalah 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393,… {{OEIS|A000248}}.

*   hal.&nbsp;443