Penambahan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
||
Baris 365:
Dalam [[teori kategori]], satuan disjoin dilihat sebagai kasus khusus dari operasi [[koproduk]], dan produk bersama umum memungkinkan abstrak dari semua generalisasi penjumlahan. Beberapa produk sampingan, seperti [[jumlah langsung]] dan [[jumlah irisan]], diberi nama untuk membangkitkan hubungannya dengan penjumlahan.
==Operasi terkait==
Penambahan, bersama dengan pengurangan, perkalian dan pembagian, dianggap sebagai salah satu operasi dasar dan digunakan dalam [[aritmatika dasar]].
:<math>\prod_{i=1}^4 i = 24.</math>▼
===Aritmetika===
[[Pengurangan]] dianggap sebagai semacam penambahan—yaitu, penambahan [[aditif invers]]. Pengurangan-diri adalah inversi dari penjumlahan, karena penjumlahan {{mvar|x}} dan pengurangan {{mvar|x}} adalah [[fungsi invers]].
Diberikan himpunan dengan operasi penambahan, tidak selalu dapat mendefinisikan operasi pengurangan yang sesuai pada himpunan tersebut; himpunan bilangan asli adalah contoh sederhana. Di sisi lain, operasi pengurangan secara unik menentukan operasi penambahan, operasi kebalikan aditif, dan identitas aditif; untuk alasan ini, grup aditif digambarkan sebagai himpunan yang tertutup dalam pengurangan.<ref>Himpunan tetap harus kosong. Dummit and Foote (hal. 48) mendiskusikan kriteria ini yang ditulis secara berganda.</ref>
[[Perkalian]] dianggap sebagai [[Perkalian dan penjumlahan berulang|penjumlahan berulang]]. Jika satu suku {{mvar|x}} muncul dalam jumlah ''n'' kali, maka jumlah tersebut adalah hasil kali ''n'' dan {{mvar|x}}. Jika ''n'' bukan [[bilangan asli]], produk mungkin masih masuk akal; misalnya, perkalian dengan {{num|−1}} menghasilkan [[invers aditif]] dari suatu bilangan.
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>▼
[[Berkas:Csl.JPG|thumb|Mistar geser melingkar]]
Dalam bilangan riil dan kompleks, penjumlahan dan perkalian dapat dipertukarkan dengan [[fungsi eksponensial]]:<ref>Rudin hal. 178</ref>
Identitas ini memungkinkan perkalian dilakukan dengan melihat [[tabel matematika|tabel]] dari [[logaritma]] dan menghitung penjumlahan dengan tangan; itu juga memungkinkan perkalian pada [[mistar geser]]. Rumusnya masih merupakan pendekatan urutan pertama yang baik dalam konteks luas [[grup Lie]], dimana ia menghubungkan perkalian elemen grup yang sangat kecil dengan penambahan vektor-vektor dalam [[aljabar Lie]] yang terkait.<ref>Lee hal. 526, Proposisi 20.9</ref>
Bahkan ada lebih banyak generalisasi perkalian daripada penambahan.<ref>Linderholm (hal. 49) mengamati, "Dengan ''perkalian'', berbicara dengan benar, seorang matematikawan dapat berarti apa saja. Dengan ''penambahan'' dia mungkin berarti banyak hal, tetapi tidak begitu beragam seperti yang dia maksud dengan 'perkalian'."</ref> Secara umum, operasi perkalian selalu [[distributif]] melebihi penjumlahan; persyaratan ini diformalkan dalam definisi [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]. Dalam beberapa konteks, seperti bilangan bulat, distribusi pada penjumlahan dan keberadaan identitas perkalian cukup untuk menentukan operasi perkalian secara unik. Sifat distributif juga memberikan informasi tentang penjumlahan; dengan memperluas produk {{nowrap|(1 + 1)(''a'' + ''b'')}} dalam kedua cara, orang menyimpulkan bahwa penambahan dipaksa menjadi komutatif. Oleh karena itu, penjumlahan gelanggang pada umumnya bersifat komutatif.<ref>Dummit dan Foote hal. 224. Agar argumen ini berhasil, kita masih harus berasumsi bahwa penjumlahan adalah operasi grup dan perkalian itu memiliki identitas.</ref>
[[Pembagian (matematika)|Pembagian]] adalah operasi aritmatika jarak jauh yang berhubungan dengan penjumlahan. Karena {{nowrap|1=''a''/''b'' = ''a''(''b''<sup>−1</sup>)}}, pembagian adalah distributif kanan atas penjumlahan: {{nowrap|1=(''a'' + ''b'') / ''c'' = ''a''/''c'' + ''b''/''c''}}.<ref>Untuk contoh distribusi kiri dan kanan, lihat Loday, khususnya hal. 15.</ref> Namun, pembagian tidak dibiarkan distributif atas penambahan; {{nowrap|1 / (2 + 2)}} tidak sama dengan {{nowrap|1/2 + 1/2}}.
===Urutan===
[[Berkas:XPlusOne.svg|right|thumb|[[Log-log petak]] dari {{nowrap|1={{mvar|x}} + 1}} dan {{nowrap|1=maks ({{mvar|x}}, 1)}} dari {{mvar| x}} = 0,001 sampai 1000<ref>Bandingkan Viro Gambar 1 (hal. 2)</ref>]]
Operasi maksimum "maks (''a'', ''b'')" adalah operasi biner yang mirip dengan penjumlahan. Faktanya, jika dua bilangan nonnegatif ''a'' dan ''b'' berbeda [[tingkat besaran]], maka jumlah mereka kira-kira sama dengan maksimumnya. Pendekatan ini sangat berguna dalam aplikasi matematika, misalnya dalam potongan [[deret Taylor]]. Namun, ini menghadirkan kesulitan terus-menerus dalam [[analisis numerik]], pada dasarnya karena "maks" bukanlah invers. Jika ''b'' jauh lebih besar dari ''a'', maka perhitungan langsung {{nowrap|(''a'' + ''b'') ''b''}} mengakumulasi nilai yang tidak dapat diterima [[galat pembulatan]], bahkan mungkin mengembalikan nol. Lihat pula ''[[Kehilangan signifikans]]''.
Perkiraan menjadi tepat dalam seperti batas tak hingga; jika ''a'' atau ''b'' adalah [[bilangan kardinal]] tak hingga, jumlah kardinal mereka persis sama dengan yang besar dari keduanya.<ref>Enderton menyebut pernyataan ini sebagai "Hukum Penyerapan Aritmatika Kardinal"; itu tergantung pada komparabilitas kardinal dan oleh karena itu pada [[Aksioma Pilihan]].</ref> Dengan demikian, tidak ada operasi pengurangan untuk kardinal tak hingga.<ref>Enderton hal. 164</ref>
Maksimisasi bersifat komutatif dan asosiatif, seperti penjumlahan. Selanjutnya, karena penambahan mempertahankan urutan bilangan riil, penambahan mendistribusikan lebih dari "maks" dengan cara yang sama seperti perkalian mendistribusikan lebih dari penambahan:
:<math>a + \max(b,c) = \max(a+b,a+c).</math>
Untuk alasan ini, dalam [[geometri tropis]] mengganti perkalian dengan penjumlahan dan penjumlahan dengan maksimalisasi. Dalam konteks ini, penjumlahan disebut "perkalian tropis", maksimisasi disebut "penjumlahan tropis", dan "identitas aditif" tropis adalah [[garis bilangan real diperluas|tak hingga negatif]].<ref>Mikhalkin hal. 1</ref> Beberapa penulis lebih suka mengganti penambahan dengan minimalisasi; maka identitas aditifnya adalah tak terhingga positif.<ref>Akian et al. hal. 4</ref>
Mengikat pengamatan ini bersama-sama, penambahan tropis kira-kira terkait dengan penambahan reguler melalui [[logaritma]]:
:<math>\log(a+b) \approx \max(\log a, \log b),</math>
yang menjadi lebih akurat dengan bertambahnya basis logaritma.<ref>Mikhalkin hal. 2</ref> Perkiraan dapat dibuat eksak dengan mengekstraksi konstanta ''h'', dinamai dengan analogi dengan [[konstanta Planck]] dari [[mekanika kuantum]],<ref>Litvinov et al. hal. 3</ref> dan mengambil "[[batas klasik]]" sebagai ''h'' cenderung nol:
▲:<math>\
Dalam hal ini, operasi maksimum adalah versi penambahan yang ''terdekuantisasi''.<ref>Viro hal. 4</ref>
===Cara lain untuk penambahan===
Kenaikan, juga dikenal sebagai [[Fungsi penerus|operasi penerus]], adalah penambahan {{num|1}} ke suatu bilangan.
[[Penjumlahan]] menjelaskan penambahan banyak angka secara arbitrer, biasanya lebih dari dua. Ini mencakup gagasan tentang jumlah satu bilangan, yaitu bilangan itu sendiri, dan [[jumlah kosong]], yaitu [[0 (bilangan)|nol]].<ref>Martin hal. 49</ref> Penjumlahan tak hingga adalah prosedur rumit yang dikenal sebagai [[deret (matematika)|deret]]].<ref>Stewart hal. 8</ref>
[[Menghitung]] himpunan hingga setara dengan menjumlahkan 1 atas himpunan.
[[Integral|Integrasi]] adalah semacam "penjumlahan" pada [[Kontinuum (teori himpunan)|kontinum]], atau lebih tepatnya dan secara umum, pada [[manifold terdiferensiasi]]. Integrasi pada lipatan nol-dimensi direduksi menjadi penjumlahan.
[[Kombinasi linear]] menggabungkan perkalian dan penjumlahan; ia adalah jumlah di mana setiap istilah memiliki pengali, biasanya [[bilangan riil|riil]] atau [[bilangan kompleks|kompleks]]. Kombinasi linear sangat berguna dalam konteks di mana penambahan langsung akan melanggar beberapa aturan normalisasi, seperti [[strategi campuran|campuran]] dari [[strategi (teori permainan)|strategi]] dalam [[teori permainan]] atau [[superposisi kuantum|superposisi]] dari [[keadaan kuantum|keadaan]] dalam [[mekanika kuantum]].
[[Konvolusi]] digunakan untuk menambahkan dua [[variabel acak]] independen yang ditentukan oleh [[distribusi probabilitas|fungsi distribusi]]. Definisi yang biasa menggabungkan integrasi, pengurangan, dan perkalian. Secara umum, konvolusi berguna sebagai semacam penambahan sisi domain; sebaliknya, penambahan vektor adalah semacam penambahan sisi jangkauan.
<!--
== Aksioma ==
| |||