|
Akar-akar ini ditempatkan secara merata di sekitar [[lingkaran satuan]] pada medan kompleks, sudut yang merupakan kelipatan dari <math>2\pi/n</math>. Misalnya, akar kuadrat dari satuan adalah 1 dan −1, dan akar keempat dari persatuan adalah 1, <math>i</math>, −1, dan <math>-i</math>.
=== akar ke-''n''th roots===
{{visualisation_complex_number_roots.svg}}
EverySetiap complexbilangan numberkompleks hasmemiliki ''n'' differentakar ke-''n''th rootsyang inberbeda thepada complexmedan planekompleks. Maka, Theseini areadalah
:<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math>
wheredimana ''η'' isadalah aakar singletunggal ke-''n''th root, anddan 1, ''ω'', ''ω''{{sup|2}}, ... ''ω''{{sup|''n''−1}} areadalah theakar akar satuan ke-''n''th roots of unity. For exampleMisalnya, theempat fourakar differentkeempat fourthyang rootsberbeda ofdari 2 areadalah
:<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>
InDalam bentuk polar form, a singleakar ke-''n''th root may betunggal founddapat byditemukan thedengan formularumus
:<math>\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\theta/n}.</math>
HereDisini ''r'' isadalah the magnitudemagnitudo (the modulus, also calledjuga thedisebut [[absolutenilai valueabsolut]]) ofdari thebilangan numberyang whoseakarnya rootakan is to be takendiambil; if thejika numberbilangan cantersebut bedapat writtenditulis assebagai ''a+bi'' thenmaka <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. AlsoJuga, <math>\theta</math> isadalah thesudut angleyang formeddibentuk assebagai onesalah pivotssatu onporos thepada origintitik counterclockwiseasal fromberlawanan thearah positivejarum horizontaljam axisdari tosumbu ahorizontal raypositif goingke fromsinar thedari origintitik toasal theke numberbilangan; ityang hasmemiliki the properties thatsifat <math>\cos \theta = a/r,</math> , <math> \sin \theta = b/r,</math>, anddan <math> \tan \theta = b/a.</math>
ThusDengan findingdemikian, menemukan akar ke-''n''th rootspada inmedan thekompleks complexdibagi planemenjadi candua be segmented into two stepslangkah. FirstPertama, thebesar magnitudesemua of all theakar ke-''n''th roots isadalah theakar ke-''n''th rootdari ofbesaran thebilangan magnitude of the original numberasli. SecondKedua, thesudut angleantara between the positivesumbu horizontal axispositif anddan asinar raydari fromtitik theasal originke tosalah onesatu of theakar ke-''n''th roots isadalah <math>\theta / n</math>, wheredimana <math>\theta</math> is the angleadalah definedsudut inyang thedidefinisikan samedengan waycara foryang thesama numberuntuk whosebilangan rootakar isyang beingakan takendiambil. FurthermoreSelanjutnya, allsemua ''n'' ofdari theakar ke-''n''th rootsberada arepada atsudut equallyyang spacedsama anglesjarak fromsatu eachsama otherlain.
IfJika ''n'' isadalah evengenap, a complex number'sakar ke-''n' adalah'th rootsbilangan kompleks, of which there aredimana anterdapat evenbilangan numbergenap, comedatanglah inberpasangan [[additiveaditif inverseinvers]] pairs, so thatsehingga ifjika asuatu numberbilangan ''r''<sub>1</sub> isadalah onesalah ofsatu theakar ke-''n''th roots thenmaka ''r''<sub>2</sub> = –''r''<sub>1</sub> isadalah anotherlainnya. ThisIni iskarena becausemenaikkan raisingkoefisien theyang latter'sterakhir coefficient –1-1 toke thekuasa ke-''n''th poweruntuk for evengenap ''n'' yieldsmenghasilkan 1: that isyaitu, (–''r''<sub>1</sub>){{sup|''n''}} = (–1){{sup|''n''}} × ''r''<sub>1</sub>{{sup|''n''}} = ''r''<sub>1</sub>{{sup|''n''}}.
Seperti halnya akar kuadrat, rumus atas tidak mendefinisikan [[fungsi kontinu]] untuk seluruh medan kompleks, tetapi memiliki [[cabang potong]] pada titik dimana ''θ'' / ''n'' adalah takkontinu.
As with square roots, the formula above does not define a [[continuous function]] over the entire complex plane, but instead has a [[branch cut]] at points where ''θ'' / ''n'' is discontinuous.
==Solving polynomials==
| 