Luas: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k ~ rapikan |
|||
Baris 14:
Pendekatan untuk mendefinisikan apa yang dimaksud dengan "luas" adalah melalui aksioma . "Luas" dapat didefinisikan sebagai fungsi dari koleksi M jenis khusus figur pesawat (disebut himpunan terukur) ke himpunan [[bilangan real]], yang memenuhi properti berikut:
* Untuk semua ''S'' dalam ''M , a ( S ) ≥ 0''.
* Jika ''S'' dan ''T'' berada di ''M'' maka begitu pula ''S ∪ T'' dan ''S ∩ T'', dan juga ''a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( S ∩ T )''.
* Jika ''S'' dan ''T'' berada di ''M'' dengan ''S ⊆ T'' maka ''T - S'' berada di ''M'' dan ''a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S )''.
* Jika himpunan ''S'' dalam ''M'' dan ''S'' kongruen dengan ''T'' maka ''T'' juga dalam ''M'' dan ''a ( S ) = a ( T )''.
* Setiap persegi panjang ''R'' adalah di ''M''. Jika persegi panjang memiliki panjang h dan lebarnya ''k'' maka ''a ( R ) = hk'' .
* Biarkan ''Q'' menjadi satu set tertutup antara dua wilayah langkah ''S'' dan ''T''. Sebuah wilayah langkah dibentuk dari sebuah serikat terbatas persegi panjang yang berdekatan beristirahat di dasar umum, yaitu ''S ⊆ Q ⊆ T''.
* Jika ada bilangan unik ''c'' sedemikian sehingga ''a ( S ) ≤ c ≤ a ( T )'' untuk semua daerah langkah ''S'' dan ''T'', maka ''a ( Q ) = c''.
Dapat dibuktikan bahwa fungsi luas seperti itu benar-benar ada.<ref name=Moise>{{cite book|last=Moise|first=Edwin|title=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url=https://archive.org/details/elementarygeomet0000mois|url-access=registration|accessdate=15 Juli 2012|tahun=1963|publisher= Addison-Wesley Pub. Co.|isbn=|page=}}</ref>
Baris 26:
=== Rumus poligon ===
{{utama|Poligon}}
Untuk poligon non-self-berpotongan (sederhana), [[koordinat kartesius]] <math>(x_i, y_i)</math> (''i''=0, 1, ..., ''n''-1) yang ''n'' simpulnya diketahui, area tersebut diberikan oleh rumus surveyor
:<math>A = \frac{1}{2} | \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) |</math>
di mana ketika i = n-1, maka i+1 dinyatakan sebagai modulus n dan mengacu pada 0.
Baris 32:
=== Lingkaran ===
{{utama|Lingkaran}}
[[
Luas pada lingkaran :
: <math> L = \pi r^2 </math>
Baris 41:
=== Luas dalam [[kalkulus]] ===
{{utama|Kalkulus}}
[[
[[
* Area antara kurva bernilai positif dan sumbu horizontal, diukur antara dua nilai a dan b (b didefinisikan sebagai lebih besar dari dua nilai) pada sumbu horizontal, diberikan oleh integral dari a ke b dari fungsi yang mewakili kurva: <ref name=MathWorld/>
:<math> A = \int_a^{b} f(x) \, dx.</math>
* Area antara grafik dua fungsi sama dengan integral dari satu fungsi , f ( x ), minus integral dari fungsi lainnya, g ( x ):<math> A = \int_a^{b} ( f(x) - g(x) ) \, dx, </math> where <math> f(x) </math> adalah kurva dengan nilai y yang lebih besar.
* Area yang dibatasi oleh fungsi r = r (θ) yang dinyatakan dalam koordinat polar adalah:<ref name=MathWorld/>
:<math>A = {1 \over 2} \int r^2 \, d\theta. </math>
* Area tertutup oleh kurva parametrik <math>\vec u(t) = (x(t), y(t)) </math> dengan titik akhir <math> \vec u(t_0) = \vec u(t_1) </math> diberikan oleh garis [[integral]]:
::<math> \oint_{t_0}^{t_1} x \dot y \, dt = - \oint_{t_0}^{t_1} y \dot x \, dt = {1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} (x \dot y - y \dot x) \, dt </math> ( Lihat [[teorema Green]] ) atau z -komponen dari:<math>{1 \over 2} \oint_{t_0}^{t_1} \vec u \times \dot{\vec u} \, dt.</math>
Baris 67:
Pada abad ke-5 SM, [[Hippocrates of Chios]] adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram (daerah yang dikelilingi lingkaran) sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian dari [[Kuadratur (matematika)|kuadratur]] dari [[Garis pada Hippocrates]],<ref name="heath">{{citation|first=Thomas L.|last=Heath|authorlink=Thomas Little Heath|title=Manual Matematika Yunani|publisher=Courier Dover Publications|year=2003|isbn=978-0-486-43231-1|pages=121–132|url=https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|url-status=live|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160501215852/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|archivedate=2016-05-01}}</ref> tetapi tidak mengidentifikasi [[konstanta proporsionalitas]]. [[Eudoxus dari Cnidus]], juga pada abad ke-5 SM, juga menemukan bahwa luas sebuah cakram sebanding dengan radius kuadratnya.<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3|title=Variabel tunggal transendental awal kalkulus.|last=Stewart|first=James|publisher=Brook/Cole|year=2003|isbn=978-0-534-39330-4|edition=5th.|location=Toronto ON|page=[https://archive.org/details/singlevariableca00stew/page/3 3]|quote=However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a circle: <math>A= \pi r^2.</math>|url-status=live}} <!--Kutipan ini mungkin berlebihan. Saya belum bisa memastikan bahwa dia menemukan formula yang sebenarnya, tetapi mungkin hanya proporsionalitas antara A dan r-kuadrat.--></ref>
Selanjutnya, Buku I [[Euclid's Elements|Euclid's ''Elements'']] membahas persamaan luas antara gambar dua dimensi. Ahli matematika [[Archimedes]] menggunakan perkakas [[geometri Euklides]] untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas [[segitiga siku-siku]] yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran, dalam bukunya ''[[Pengukuran Lingkaran]]''. (Kelilingnya 2{{pi}}''r'', dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas {{pi}}''r''<sup>2</sup> untuk disk.) Archimedes mendekati nilai π (dan karenanya luas lingkaran radius-satuan) dengan [[Luas disk#
Metode penggandaan#Archimedes|metode penggandaannya]], di mana dia menuliskan segitiga biasa dalam lingkaran dan mencatat luasnya, lalu gandakan jumlah sisinya untuk menghasilkan [[segi enam]] yang teratur, kemudian berulang kali menggandakan jumlah sisi karena luas poligon semakin dekat dan dekat dengan lingkaran (dan lakukan hal yang sama dengan [[poligon berbatas]].
Ilmuwan Swiss [[Johann Heinrich Lambert]] pada tahun 1761 membuktikan bahwa [[pi|π]], rasio luas lingkaran terhadap radius kuadratnya, adalah [[bilangan irasional|irasional]], artinya itu tidak sama dengan hasil bagi dari dua bilangan bulat apa pun.<ref name=Arndt>{{cite book| last=Arndt |first=Jörg |last2=Haene l|first2=Christoph |title=Pi Unleashed| publisher=Springer-Verlag|year=2006| isbn=978-3-540-66572-4 <!--isbn only volume 1--> |url= https://books.google.com/?id=QwwcmweJCDQC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false |ref=harv |accessdate=2013-06-05}} Terjemahan bahasa Inggris oleh Catriona dan David Lischka.</ref> Pada tahun 1794, ahli matematika Prancis [[Adrien-Marie Legendre]] membuktikannya π<sup>2</sup> tidak rasional; ini juga membuktikan bahwa π tidak rasional.<ref>{{citation|first=Howard|last=Eves|title=An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th|year=1990|publisher=Saunders|isbn=978-0-03-029558-4|page=121}}</ref> Pada tahun 1882, ahli matematika Jerman [[Ferdinand von Lindemann]] membuktikan bahwa π adalah [[bilangan transendental|transendental]] (bukan solusi dari [[persamaan polinomial]] dengan koefisien rasional), mengkonfirmasikan dugaan yang dibuat oleh [[Adrien-Marie Legendre
=== Luas segitiga ===
Baris 87:
=== Luas segiempat ===
Pada abad ke-7 M, [[Brahmagupta]] mengembangkan rumus yang sekarang dikenal sebagai [[rumus Brahmagupta]], untuk luas [[segiempat siklik]] ([[segiempat]] [[angka tertulis
=== Luas poligon umum ===
Baris 265:
== Referensi ==
{{reflist}}
{{bangun}}▼
[[Kategori:Luas| ]]
[[Kategori:Besaran fisika]]
[[Kategori:Besaran turunan]]
▲{{bangun}}
| |||