Teorema Sylow: Perbedaan antara revisi

Salah satu subgrup '' P '', adalah himpunan matriks diagonal <math>\begin{bmatrix}x^{im} & 0 \\0 & x^{jm} \end{bmatrix}</math>, ''x'' adalah salah satu [[root modulo primitif n | akar primitif]] dari ''F''_''q''. Karena urutan ''F''_''q'' is ''q''&nbsp;−&nbsp;1, its primitive roots have order ''q'' − 1, which implies that ''x''^{(''q''&nbsp;−&nbsp;1)/''p''^''n''} or ''x''^''m'' dan semua kekuatannya memiliki urutan yang merupakan kekuatan '' p ''. Jadi, '' P '' adalah subkelompok di mana semua elemennya memiliki urutan yang merupakan kekuatan&nbsp;''p''. Jika ''pⁿ'' pilihan untuk '' a '' dan '' b '', membuat |''P''| =&nbsp;''p''^2''n''. Ini berarti '' P '' adalah Sylow '' p '' - subkelompok, yang abelian, karena semua [[matriks diagonal]] bolak-balik, dan karena Teorema 2 menyatakan bahwa semua Sylow subgrup'' p '' berkonjugasi satu sama lain ''GL''₂(''F''_''q'') pada [[Grup Abelian|grup abelian]].

Bukti: Karena |''G''| = ''p^km = p^k+ru'' dirumuskan ''p'' <math>\nmid</math> ''u'', dan misalkan Ω menunjukkan himpunan [[himpunan bagian]] dari ukuran '' G '' yaitu ''p^k''. ''G'' [[Tindakan gruo (matematika) | tindakan]] pada Ω dengan perkalian kiri: ''g''⋅ω = { ''gx'' | ''x'' ∈ ω }. Untuk himpunan tertentu ω ∈ Ω, dituliskan ''G''_ω untuk [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | subgrup penstabil]] {''g'' ∈ ''G'' | ''g''⋅ω = ω } dan '' G''ω untuk [[Tindakan grup (matematika)#Orbit dan stabilisator | orbit]] {''g''⋅ω | ''g'' ∈ ''G''} pada Ω.