|
Identitas trigonometri merupakan suatu identitas yang mencakup berbagai
[[Berkas:(x^2)sin(x^(-1)).png|jmpl|380x380px|Ilustrasi teorema apit, dengan fungsi berwarna biru, diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.]]
[[Teorema apit]] dalam bidang [[analisis matematika]], yakni [[analisis real]] dan [[kalkulus]], merupakan teorema yang melibatkan [[limit]] pada suatu [[Fungsi (matematika)|fungsi]], dimana terdapat sebuah fungsi yang diapit oleh dua fungsi sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama.<ref>{{Cite web|title=World Web Math: The Squeeze Theorem|url=https://web.mit.edu/wwmath/calculus/limits/squeeze.html|website=web.mit.edu|access-date=2021-12-07}}</ref> Sebagai ilustrasi, perhatikan pada gambar di samping bahwa terdapat fungsi berwarna biru, yang diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.
Teorema apit dengan satu variabel ini, mengagak-agihkan sebagai berikut.<ref>{{Cite web|title=Teorema Apit Limit Fungsi Satu Peubah – Kalkulus dan Aplikasinya|url=https://kalkulus.mipa.ugm.ac.id/single/teorema-apit/|language=en-US|access-date=2021-12-08}}</ref>
<blockquote class="toccolours" style="text-align:justify; width:50%; float:center; padding: 10px; display:table; margin-left:80px;">
Misal <math> f </math>, <math> g </math> dan <math> h </math> adalah fungsi-fungsi sehingga <math> f(x) \le g(x) \le h(x) </math>.untuk semua <math> x </math> di dalam selang terbuka yang memuat <math> c </math>. Sebagai eksepsi mungkin di <math> c </math>, jika <math> \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L </math>, maka <math> \lim_{h \to 0} g(x) = L </math>.
</blockquote>
== Bukti ==
Untuk membuktikan teorema ini, kita dapat menggunakan [[definisi limit (ε, δ)]]. Perhatikan bahwa misalkan <math>\varepsilon</math> lebih besar dari nol, pilih <math>\delta_1</math>, <math>\delta_2</math>, <math>\delta_3</math> yang juga lebih besar dari nol sehingga
:<math>\begin{align}
0 < \left|x - c\right| < \delta_1 &\Longrightarrow L - \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon \\
0 < \left|x - c\right| < \delta_2 &\Longrightarrow L - \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon \\
0 < \left|x - c\right| < \delta_3 &\Longrightarrow f(x) \le g(x) \le h(x) \\
\end{align}</math>
Sekarang, pilih <math>\delta = \min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}</math> sehingga
:<math>0 < \left|x - c\right| < \delta \Longrightarrow L - \varepsilon < f(x) \le g(x) \le h(x) < L + \varepsilon</math>
Arkian, kita konklusikan bahwa terbukti <math>\lim_{x \to c} g(x) = L</math>.. <math>\blacksquare</math><ref>Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). ''Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1''. hlm. 72. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)</ref>
== Teorema apit untuk barisan ==
Teorema apit untuk [[barisan]], juga mengagak-agihkan untuk barisan, yakni sebagai berikut.<ref name=":0">{{Cite book|last=Johnsonbaugh|first=Richard|last2=Pfaffenberger|first2=W. E.|date=2012-09-11|url=https://books.google.com/books?id=X_6NMZVMidsC&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA47&dq=squeeze+theorem&hl=id|title=Foundations of Mathematical Analysis|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-13477-2|language=en}}</ref><ref>{{Cite book|last=Rossi|first=Richard J.|date=2011-10-05|url=https://books.google.com/books?id=kSwVGbBtel8C&newbks=0&printsec=frontcover&pg=PA183&dq=squeeze+theorem+second+version&hl=id|title=Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-03057-8|language=en}}</ref>
{{math_theorem|math_statement=Misalkan <math> \{a_n\} </math>, <math> \{b_n\} </math>, dan <math> \{c_n\} </math> adalah barisan sehingga <math> a_n \le b_n \le c_n </math> dan terdapat <math> N </math> [[bilangan bulat positif]] sehingga <math> n > N </math>. Bila <math> \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = L </math>, maka <math> \lim_{n \to \infty} b_n = L </math>.}}Bukti dapat dikerjakan dengan serupa (seperti di atas). Misal <math>\varepsilon > 0</math>, terdapat bilangan bulat positif <math>N_1</math> sehingga jika <math>n \ge N_1</math>, maka <math>L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon</math>. Hal yang serupa untuk <math>N_2</math> sehingga <math>L - \varepsilon < c_n < L + \varepsilon</math>. Jadi, jika <math>n \ge \max\{N_1,N_2\}</math>, maka kita memperoleh <math>L - \varepsilon < a_n \le b_n \le c_n < L + \varepsilon</math><ref name=":0" /> sehingga dikonklusikan bahwa <math>\lim_{n \to \infty} b_n = L</math>. <math>\blacksquare</math>
== Rujukan ==
<references />
| 