Wikipedia

Pi: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.317 suntingan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.317 suntingan
→Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann: memperbaiki pranala, bagian daftar tabel rumus melibatkan pi sebaiknya dipindahkan
Baris 201:
[[Fungsi trigonometri]] bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. {{pi}} memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam [[radian]], yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2{{pi}} radian.<ref name="WR">{{harvnb|Ayers|1964|p=60}}</ref> Hal ini berarti 180° sama dengan {{pi}} radian, dan 1° = {{pi}}/180 radian.<ref name="WR" />
 
Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari {{pi}}, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2{{pi}},<ref name="WCS">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=210–211}}</ref> sehingga untuk suautu sudut ''θ'' apapun dan suatu bilangan bulat {{math|''k''}} apapun, <math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)</math> dan <math>\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math><ref name="WCS" />
<math>\scriptstyle \sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)</math> and <math>\scriptstyle \cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math><ref name="WCS" />
 
==== Metode Monte Carlo ====
Baris 269 ⟶ 268:
:<math> \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots</math>
 
Menemukan [[PersamaanEkspresi bentuk tertutup|penyelesaian sederhana]] untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut [[masalah Basel]]. [[Leonhard Euler]] memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan {{math|π<supmath display="inline">\frac{\pi^2}{6}</supmath>/6}}.<ref name="Posamentier" /> Hasil Euler mengarah pada [[teori bilangan]] yaitu probabilitas dua angka acak yang bersifat [[prima relatif prima]] (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan {{math|6/π<supmath display="inline">\frac{6}{\pi^2}</supmath>}}.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=41–43}}</ref><ref group="n">Teorema ini dibuktikan oleh [[Ernesto Cesàro]] pada tahun 1881. Untuk lebih jelasnya, lihat Hardy, G. H., ''An Introduction to the Theory of Numbers'', Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-921986-5, teorema 332.</ref> Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang [[Pembagi|dapat dibagi]] dengan suatu bilangan prima {{<math|''>p''}}</math> adalah {{<math| display="inline">\frac{1/''}{p''}}</math> (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah {{<math| display="inline">\frac{1/''}{p''<sup>^2}</supmath>}}, dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah {{<math| display="inline">1 - \frac{1/''}{p''<sup>^2}</supmath>}}. Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:<ref>[[C. Stanley Ogilvy|Ogilvy, C. S.]]; Anderson, J. T., ''Excursions in Number Theory'', Dover Publications Inc., 1988, pp. 29–35, ISBN 0-486-25778-9.</ref>
 
: <math>\prod_p^{\infty} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = \left( \prod_p^{\infty} \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots } = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\% </math>
Baris 287 ⟶ 286:
 
sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.
 
== Rumus dengan π ==
{| class="wikitable" style="border-collapse: collapse;"
!Bentuk
!Rumus
|-
|Keliling [[lingkaran]] dengan [[jari-jari]] ''r'' dan [[diameter]] ''d''
|<math>K = \pi d = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|Luas lingkaran dengan jari-jari ''r'' dan diameter ''d''
|<math>L = \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi d^2 \,\!</math>
|-
|[[Volume]] bola dengan jari-jari ''r'' atau diameter ''d''
|<math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!</math> atau <math>V = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!</math>
|-
|[[Luas permukaan]] bola dengan jari-jari ''r'' atau diameter ''d''
|<math>L = 4 \pi r^2 \,\!</math> atau <math>L = \pi d^2 \,\!</math>
|-
|Volume [[silinder]] setinggi ''h'' dan berjari-jari ''r''
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|Luas permukaan silinder setinggi ''h'' dan berjari-jari ''r''
|<math>L = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|Volume [[kerucut]] setinggi ''h'' dan berjari-jari ''r''
|<math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|Luas permukaan kerucut setinggi ''h'' dan berjari-jari ''r''
|<math>L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}
 
== Di luar matematika ==
 
=== Penggambaran fenomena fisika ===
Meskipun bukan [[konstanta fisika]], {{pi}} hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara {{pi}} dengan lingkaran dan dengan [[sistem koordinat sferis]]. Rumus sederhana dari bidang [[mekanika klasik]] memberikan aproksimasi periode {{math|''T''}} [[pendulum]] sederhana dengan panjang {{math|''L''}}, yang mengayun dengan amplitudo {{math|''g''}} adalah [[Gravitasi bumi|percepatan gravitasi bumi]]):<ref>{{cite|authors=Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl|title=Fundamentals of Physics|edition=5th|publisher=John Wiley & Sons|year=1997|page=381|isbn=0-471-14854-7}}</ref>
Baris 327 ⟶ 295:
:<math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}</math>
 
Dalam ranah [[kosmologi]], {{pi}} muncul dalam [[persamaan medan Einstein]], suatu formularumus fundamental yang menjadi dasar [[Relativitas umum|teori relativitas umum]] dan menjelaskan [[interaksi fundamental]] [[gravitasi]] sebagai hasil [[lengkungan|pelengkungan]] [[ruang waktu]] oleh [[materi]] dan [[energi]]:<ref>{{cite|author=Yeo, Adrian|title=The pleasures of pi, e and other interesting numbers|publisher=World Scientific Pub|year=2006|page=21|ISBN=978-981-270-078-0}}.</ref><ref>{{cite|author=Ehlers, Jürgen|title=Einstein's Field Equations and Their Physical Implications|publisher=Springer|year=2000|page=7|ISBN=978-3-540-67073-5}}.</ref>
:<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}</math>
dengan <math>R_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor lengkungan Ricci]], {{math|''R''}} adalah [[lengkungan skalar]], <math>g_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor metrik (relativitas umum)|tensor metrik]], {{math|Λ}} adalah [[tetapan kosmologi]], {{math|''G''}} adalah [[tetapan gravitasi|tetapan gravitasi Newton]], {{math|''c''}} adalah [[kecepatan cahaya]] dalam ruang hampa, dan <math>T_{\mu\nu}</math> adalah [[tensor energi tegangan]].
Baris 339 ⟶ 307:
dengan {{math|''m''}} adalah massa elektron.
 
{{pi}} hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus [[buckling|''buckling'']] yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial {{math|''F''}} maksimum <!--that a long, slender column of length-->dengan panjang kolom {{math|''L''}}, [[elastisitas modulus]] {{math|''E''}}, dan [[momen inersia area]] {{math|''I''}} dapat mengangkut tanpa ''buckling'':<ref>{{cite|author=Low, Peter|title=Classical Theory of Structures Based on the Differential Equation|publisher=CUP Archive|year=1971|pages=116–118|ISBN=978-0-521-08089-7}}.</ref>
:<math>F =\frac{\pi^2EI}{L^2}</math>
 
Baris 363 ⟶ 331:
 
== Lihat pula ==
* [[DeretAproksimasi (matematika)Stirling]]
*[[Daftar tetapan matematis]]
* [[Urutan]]
 
== Referensi ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pi"