Himpunan hingga: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]] (khususnya [[teori himpunan]]); sebuah '''himpunan hingga''' atau '''himpunan berhingga''' merupakan sebuah himpunan hingga yang memilikimempunyai jumlah [[Elemen (matematika)|elemenanggota]] yang [[wiktionary:finite|terhingga]] (terbatas). Secara informal, sebuah himpunan hingga merupakan sebuah himpunan yang salah satunya dapat dalam pencacahan prinsip dan selesai mencacahkan. Sebagai contoh,

Himpunan hingga secara khusus penting dalam [[kombinatorika]], studicabang matematika yang mempelajari [[pencacahan]]. Banyak argumen yang melibatkan himpunan hingga yang mengandalkan [[prinsip rumah burung]], yang menyatakanmengatakan bahwa tidak mungkin ada sebuah [[fungsi injektif]] dari sebuahsuatu himpunan hingga yang lebih besar ke sebuah himpunan hingga yang lebih kecil.

Secara umum, sebuah himpunan <math>S</math> dikatakan '''terhingga''' jika terdapat sebuah [[bijeksi]]

:<math display="block">f\colon S \rightarrow \{1,\dots,n\}</math>

untuk suatu bilangan asli <math>n</math>. Bilangan <math>n</math> adalah sebuahmerupakan kekardinalan himpunan, dilambangkan(yang dinyatakan sebagai <math>\left|S\right|</math>). [[Himpunan kosong]] <math>\{\}</math> atau <math>\varnothing</math>, dianggap terhingga, dengan kekardinalan himpunannya adalah nol.<ref>{{harvtxt|Apostol|1974|p=38}}</ref><ref>{{harvtxt|Cohn|1981|p=7}}</ref><ref>{{harvtxt|Labarre|1968|p=41}}</ref><ref>{{harvtxt|Rudin|1976|p=25}}</ref>

Jika sebuah himpunan adalah terhingga, elemennyamaka anggotanya dapat ditulis — dalam banyak cara — dalam sebuah [[barisan]]:

:<math display="blockinline">x_1,x_2,\ldots,x_n \quad (x_i \in S, \ 1 \le i \le n).</math>

Setiap [[Himpunanhimpunan bagian]] wajar apapun dari sebuahsuatu himpunan hingga <math> S</math> danadalah memilikiterhingga dan elemenmempunyai yang lebih sedikit daripada himpunan <math> S</math> itu sendiisendiri. Sebagai sebuah konsekuensiAkibatnya, tidak mungkin ada sebuah [[bijeksi]] antara sebuah himpunan hingga <math> S</math> dan sebuah himpunan bagian wajar <math> S</math>. Setiap himpunan dengan sifat ini disebut [[hingga-Dedekind]]. Menggunakan aksioma [[Teori himpunan Zermelo–Fraenkel|ZFC]] standar untuk [[teori himpunan]], setiap himpunan hingga-Dedekind juga terhingga, tetapi implikasi ini tidak dapat dibuktikan dalam ZF (aksioma Zermelo–Fraenkel tanap [[aksioma pemilihan]]) sendiri. [[Aksioma pemilihan tercacahkan]], sebuah versi yang lemah dari aksioma pemilihan, cukup untuk membuktikan kesetaraan ini.

FungsiSetiap fungsi injektif apapun yang diantara dua himpunan hingga dari kekardinalan yang sama juga merupakan sebuah [[fungsi surjektif]] (sebuah surjeksi). Dengan cara yang sama, setiap surjeksifungsi surjektif antara dua himpunan hingga dari kekardinalan yang sama juga merupakan sebuah injeksi.

:<math>\left|S \cup T\right| =\le \left|S\right|+ \left|T\right|.</math>

FaktanyaBahkan, olehmenurut [[prinsip inklusi–enklusi]]:

:<math>\left|S \cup T \right| = \left|S\right| + \left|T\right| - \left|S\cap T\right|. </math>

Lebih umum lagi, gabungan dari setiap bilanganjumlah hingga dari himpunan hingga adalah terhingga. [[ProdukDarab Kartesius]] dari himpunan hingga juga terhingga dengan:

:<math>\left|S \times T\right| = \left|S\right| \times \left|T\right|.</math>

Dengan cara yang sama, produkdarab CartesiusKartesius dari banyaknya himpunan hingga adalah terhingga. Sebuah himpunanHimpunan hingga dengan elemen <math> n </math> mempunyai <math>2^n</math> himpunan bagian yang berbeda. YaituDalam artian, [[himpunan kuasa]] sebuah himpunan hingga adalah terhingga, dengan kekardinalan <math>2^n</math>.

Himpunan bagianSetiap apapunsubhimpunan dari sebuahsuatu himpunan hingga merupakanadalah terhingga. Himpunan dari nilai sebuahsuatu fungsi ketika diterapkan ke elemenanggota sebuahsuatu himpunan hingga adalah terhingga, dengan kekardinalan <math>2^{\left|S\right|}</math>.

Semua himpunan hingga adalah [[tercacahkan]], tetapinamun tidak semua himpunan tercacahkan merupakanadalah terhingga. (Beberapa penulis, namun, menggunakan "tercacahkan" mengartikan "takhingga tercacah", jadi jangan anggap himipunan hingga menjadi tercacahkan.)

[[Semikekisi bebas]] pada sebuah himpunan hingga merupakan himpunan dari himpunan bagiansubhimpunan kosongnya, dengan [[Sambungan dan pertemuan|operasi sambungan]] telah diberikan oleh gabungan himpunan.

# <math> S </math> merupakan sebuah himpunan hingga. YakniDalam artian, <math> S</math> dapat diletakkan menjadi sebuah padanan satu-ke-satu dengan himpunan bilangan bulat itubulatnya lebih kecil dari suatu bilangan asli spesifik.