|
=== Teori bilangan ===
[[NaturalLogaritma logarithm|Natural logarithmsalami]] aresangat closelyberkaitan linkeddengan tosalahs satu topik dalam [[Prime-counting function|counting primeteori numbersbilangan]] (2, 3,yaitu 5,[[fungsi 7,penghitungan 11,bilangan ...),prima|menghitung an important topic in [[numberbilangan theoryprima]]. ForUntuk anysetiap [[integerbilangan bulat]] {{mvar|x}}, the quantity ofjumlah [[Primebilangan number|prime numbersprima]] less thankurang ordari equalsama todengan {{mvar|x}} isdinyatakan denotedsebagai {{math|[[prime-countingfungsi penghitungan bilangan functionprima|{{pi}}(''x'')]]}}. The [[primeTeorema numberbilangan theoremprima]] assertsmengatakan thatbahwa {{math|{{pi}}(''x'')}} is approximatelykira-kira givensama bydengan
: <math>\frac{x}{\ln(x)},</math>
inyang theberarti sensebahwa thatfungsi thepenghitungn ratiobilangan ofprima kira-kira sama dengan perbandingan dari {{math|{{pi}}(''x'')}} anddan thatpecahan fractionyang approachesmendekati 1 whenketika {{mvar|x}} tendsmenuju toke infinitytakhingga.<ref>{{Citation|last1=Bateman|first1=P.T.|last2=Diamond|first2=Harold G.|title=Analytic number theory: an introductory course|publisher=[[World Scientific]]|location=New Jersey|isbn=978-981-256-080-3|oclc=492669517|year=2004}}, theorem 4.1</ref> AsAkibatnya, apeluang consequence,dari thebilangan probabilityyang thatdipilih asecara randomlyacak chosen numberdi betweenantara 1 anddan {{mvar|x}} isadalah primebilangan is inverselyprima [[ProportionalityKesebandingan (mathematicsmatematika)|proportionalberbanding]] to the numberterbalik ofdengan decimaljumlah digitsdigit ofdesimal {{mvar|x}}. A far better estimate ofPendekatan {{math|{{pi}}(''x'')}} isyang givenlebih bybaik themerupakan [[LogarithmicFungsi integral functionlogaritmik|offset logarithmicfungsi integral Euler]] function {{math|Li(''x'')}}, definedyang didefinisikan bysebagai
: <math> \mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac1{\ln(t)} \,dt. </math>
The [[Hipotesis Riemann hypothesis]], oneyang ofmerupakan thesalah oldest open mathematicalsatu [[Conjecture|conjectureskonjektur]], canmatemtika beterbuka yang paling terlama, stateddapat indinyatakan termsdalam ofbentuk comparingperbandingan {{math|{{pi}}(''x'')}} anddan {{math|Li(''x'')}}.<ref>{{Harvard citations|last1=Bateman|first1=P. T.|last2=Diamond|year=2004|nb=yes|loc=Theorem 8.15}}</ref> The [[Teorema Erdős–Kac theorem]] describingmengatakan thebahwa number of distinctjumlah [[Primefaktor factor|primebilangan factorsprima]] alsoyang berbeda involvesjuga themelibatkan [[naturallogaritma logarithmalami]].
TheLogaritma logarithm ofdari ''n'' [[factorialfaktorial]], {{math|1=''n''! = 1 · 2 · ... · ''n''}}, is givendirumuskan bysebagai
: <math> \ln (n!) = \ln (1) + \ln (2) + \cdots + \ln (n).</math>
ThisRumus candi beatas useddapat todipakai obtainutnuk [[Stirling'smemperoleh formula]],sebuah anhampiran approximation ofdari {{math|''n''!}} foruntuk largesetiap bilangan {{mvar|n}} yang lebih besar, yaitu [[rumus Stirling]].<ref>{{Citation|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=[[CRC Press]]|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chapter 4</ref>
== Perumuman ==
| 