Wikipedia

Pengguna:Hadithfajri/Himpunan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Hadithfajri (bicara | kontrib)
952 suntingan
Hadithfajri (bicara | kontrib)
952 suntingan
Baris 2:
<!-- Sunting di bawah ini! -->[[Berkas:Venn A intersect B.svg|jmpl|
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan [[diagram Venn]]
|192x192px244x244px]]
 
Dalam [[matematika]], '''himpunan''' (disebut juga '''kumpulan''', '''kelompok''', '''gugus,''' atau '''set''') dapat dibayangkan sebagai kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas, atau lebih jelasnya adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.<ref>{{Cite web|title=Set {{!}} mathematics and logic|url=https://www.britannica.com/topic/set-mathematics-and-logic|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2020-08-21}}</ref> Konsep himpunan seperti ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, [[Georg Cantor]], pada akhir [[abad ke-19]]. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha penghimpunan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu, menjadi suatu kesatuan".<ref>{{Cite book|last=Hakim.|first=Nasoetion, Andi|date=1982|url=http://worldcat.org/oclc/974924773|title=Landasan matematika|publisher=Bhratara Karya Aksara|oclc=974924773}}</ref>
 
Konsep himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, [[Georg Cantor]], pada akhir [[abad ke-19]]. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha penghimpunan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu, menjadi suatu kesatuan".<ref>{{Cite book|last=Hakim.|first=Nasoetion, Andi|date=1982|url=http://worldcat.org/oclc/974924773|title=Landasan matematika|publisher=Bhratara Karya Aksara|oclc=974924773}}</ref>
 
Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber semua matematika diturunkan.<ref>{{Cite book|last=Ferreirós|first=José|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/settheory-early/|title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Summer 2020}}</ref>
 
== LambangMenyatakan dan menuliskan himpunan ==
Biasanya,Objek namadalam suatu himpunan disebut [[Elemen (matematika)|anggota]]. Notasi <math>\in</math> digunakan untuk menyatakan keanggotaan himpunan. Misalnya pernyataan " <math>a</math> anggota <math>S</math> " dapat ditulis sebagai <math>a\in S</math>. [[Negasi|Ingkaran]] pernyataan itu (<math>a</math> bukan anggota <math>S</math>) dapat ditulis sebagai <math>a\not\in S</math>. Nama himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar, misalnya <math display="inline">S</math>'', <math display="inline">A</math>'' atau <math display="inline">C</math>, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (<math display="inline">a</math>, <math display="inline">c</math>, ''<math display="inline">z</math>''). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tiada ketentuan bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
{| class="wikitable"
|-
!'''Nama'''!!'''Notasi'''!!'''Contoh'''
|-
| Himpunan
| Huruf besar
| <math>S</math>
|-
| Anggota himpunan
| Huruf kecil (jika merupakan huruf)
| <math>a</math>
|-
| Kelas
| Huruf tulisan tangan
| <math>\mathcal{C}</math>
|}
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-04-11|title=Comprehensive List of Set Theory Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-08-22}}</ref>
{| class="wikitable"
|-
! Bilangan
| Asli
| Bulat
| Rasional
| Riil
| Kompleks
|-
! Notasi
|<math>\mathbb{N}</math>
|<math>\mathbb{Z}</math>
|<math>\mathbb{Q}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>\mathbb{C}</math>
|}
 
Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku dengan dua cara berikut, yaitu:
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:<ref name=":0" />
* '''Cara pendaftaran''', yaitu menulis semua anggota himpunan dalam [[Tanda kurung|kurung kurawal]], serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan notasi [[elipsis]] (...).
{| class="wikitable"
|-
! Simbol
! Arti
|-
| <math>\{ \}</math> atau <math>\varnothing</math>
| Himpunan kosong
|-
| <math>\cup</math>
| Operasi gabungan dua himpunan
|-
| <math>\cap</math>
| Operasi irisan dua himpunan
|-
| <math>\subseteq</math>, <math>\subset</math>, <math>\supseteq</math>, <math>\supset</math>
| Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
|-
| <math>A^C</math>
| Komplemen
|-
| <math>\mathcal{P}(A)</math>
| Himpunan kuasa
|}
 
== Menyatakan dan menuliskan himpunan ==
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
* '''Enumerasi''', yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan [[elipsis]] (...).
: <math>B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}</math>
: <math>A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}</math>
: <math>\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}</math>
* '''PembangunCara himpunanmerumuskan''', tidakyaitu dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikanmendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Untuk cara ini digunakan [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]].
: <math>O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}</math>
: <math>E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \land (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}</math>
: <math>P = \{ p\, |\, p \mbox { adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}</math>
 
== Himpunan kosong ==
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai [[paradoks]], contohnya adalah himpunan berikut:
{{utama|Himpunan kosong}}
: <math>A = \{ x\, |\, x \notin A\}</math>
 
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut sebagai '''himpunan kosong,''' ditulis sebagai <math>\varnothing</math> atau <math>\{ \}</math>
 
== Himpunan bagian ==
Baris 143 ⟶ 83:
 
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah <math>y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)</math>.
 
== Himpunan kosong ==
Himpunan {''apel, jeruk, mangga, pisang''} memiliki anggota-anggota ''apel'', ''jeruk'', ''mangga'', dan ''pisang''. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai '''himpunan kosong'''.
 
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
: <math>\varnothing = \{ \, \}</math>
 
== Himpunan lepas ==
Baris 318 ⟶ 252:
#* S' ≡ ∅
#* ∅' ≡ S
<nowiki>******************************</nowiki>
 
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai [[paradoks]], contohnya adalah himpunan berikut:
{{wikibooks|Materi:Himpunan}}
: <math>A = \{ x\, |\, x \notin A\}</math>
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
 
<nowiki>******************************</nowiki>
 
{{wikibooks|Materi:Himpunan}}Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-04-11|title=Comprehensive List of Set Theory Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-08-22}}</ref>
{| class="wikitable"
|-
! Bilangan
| Asli
| Bulat
| Rasional
| Riil
| Kompleks
|-
! Notasi
|<math>\mathbb{N}</math>
|<math>\mathbb{Z}</math>
|<math>\mathbb{Q}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>\mathbb{C}</math>
|}
 
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:<ref name=":0" />
== Referensi ==
<references />
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Hadithfajri/Himpunan"