Teori permainan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Menambahkan aplikasi game theory dalam model cournot |
menambahkan bertrand dan stackelberg game |
||
Baris 76:
Pada 1838, [[matematikawan]] dan [[ekonom]] [[prancis]] yang bernama [[Antoine Augustin Cournot]], menerbitkan sebuah publikasi dengan judul ''Recherches sur les principes mathématiques de la Théorie des richesses''<ref>{{Cite book|last=Cournot|first=Antoine-Augustin|date=1838|url=https://books.google.com.tw/books?hl=en&lr=&id=22J1OJlqC1MC&oi=fnd&pg=PR5&dq=Recherches+sur+les+principes+math%C3%A9matiques+de+la+Th%C3%A9orie+des+richesses&ots=eYpAbRVp5r&sig=TIeeADP-1NjmpDj-avq9FWEmvsk&redir_esc=y#v=onepage&q=Recherches%20sur%20les%20principes%20math%C3%A9matiques%20de%20la%20Th%C3%A9orie%20des%20richesses&f=false|title=Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses par Augustin Cournot|publisher=chez L. Hachette|language=fr}}</ref>. Publikasinya menjelaskan bahwa terdapat persaingan antar perusahaan dalam hal kuantitas produksi sebuah barang. Keputusan antar perusahaan sifatnya independen namun rasional. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan ''Cournot'':
[[Berkas:Illustration of law of demand.jpg|jmpl|Grafik penawaran dan permintaan (''Supply'' ''and Demand'')]]
Baris 88:
<math>\begin{align} p(Q) & = a-b\times Q \\ p(q_A,q_B) & = a-b\times(q_A+q_B) \end{align}</math>
Model penetapan harga diatas menjelaskan bahwa setiap harga <math>p(Q)</math> atau <math>p(q_A,q_B)</math> sangat bergantung terhadap jumlah kuantitas <math>Q</math> unit dari <math>q_A</math> dan <math>q_B</math>. Parameter <math>a</math> adalah nilai ''intercept'' dari sebuah model [[ekonometrika]] yang menjelaskan kesediaan pasar untuk membayar jika produk sama sekali tidak tersedia. Parameter <math>b</math> adalah nilai ''slope'' yang menunjukan besar pengaruh kuantitas terhadap perubahan harga. Parameter ini juga dapat dikatakan sebagai elastisitas harga dengan satuan <math>\frac{harga}{unit}</math>. Model harga ini juga terkenal dengan sebutan fungsi permintaan terbalik (''inverse demand function'').
<math>\begin{align} \pi_A(q_A,q_B) & =p(q_A,q_B)\times q_A \\ & =[a-b\times(q_A+q_B)]\times q_A \\
Baris 108:
& = \frac{a}{3 b} \\ q_A & =\frac{a-b\times q_B}{2 b} \\ &=\frac{a-b\times (\frac{a}{3 b})}{2 b} \\
& = \frac{a}{3 b}\end{align}</math>
Jadi perusahaan <math>A</math> dan <math>B</math> akan mencoba untuk memproduksi <math>q_A</math> dan <math>q_B</math> produk sebesar <math>\frac{a}{3b}</math> unit. Berdasar keputusan yang sudah seimbang, keluarannya adalah sebagai berikut:
Baris 119 ⟶ 118:
</math>
Permodelan ''Cournot'' yang dilakukan tentunya cukup terbatas. Apabila diterapkan model keuntungan (''profit'') dengan nilai biaya (''cost'') yang berbeda akan menghasilkan perspektif keseimbangan yang berbeda juga.
=== Model Penetapan Harga ''Bertrand'' ===
Pada tahun 1883, [[matematikawan]] dan [[ekonom]] [[prancis]] yang bernama Joseph Louis François Bertrand, mengkritisi model ''Cournot'' dalam publikasinya yang berjudul ''Book Review of “Théorie Mathématique de la Richesse Social” and of “Recherches sur les Principes Mathématique de la Theorie des Richesses'' yang diterbitkan di ''Journal des savants''<ref>{{Cite journal|last=J|first=Bertrand|date=1883|title=Book Review of Theorie Mathematique de la Richesse Social and of Recherches sur les Principes Mathematiques de la Theorie des Richesses|url=https://cir.nii.ac.jp/crid/1573387450382596736|journal=Journal des Savants}}</ref>. Bertrand mengkritisi model kuantitas ''Cournot'' bahwa perusahaan-perusahaan lebih memiliki kompetisi dalam hal perang harga. Penetapan harga tentunya baru akan memperngaruhi kuantitas produksi. Keputusan antar perusahaan sifatnya masih independen dan rasional seperti model ''Cournot''. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan ''Bertrand'':
# Terdapat lebih dari satu perusahaan yang berkompetisi secara simultan dengan produk barang yang homogen (tidak berbeda).
# Perusahaan-perusahaan yang terlibat berkompetisi dalam bentuk pola informasi yang sempurna dan lengkap (''perfect and complete information'').
# Semua perusahaan yang berkompetisi tidak ada indikasi untuk bekerja sama dan berbagi [[informasi]] (''Information sharing'').
# Perusahaan-perusahaan yang berkompetisi memiliki kekuatan pasar yang seimbang, sehingga mereka menetapkan keputusannnya secara simultan (''Simultaneous'').
# Semua perusahaan berkompetisi untuk menetapkan harga yang tepat dan harga produk mempengaruhi kuantitas produksi.
# Perusahaan yang berkompetisi bertindak rasional dan strategis untuk memaksimalkan pendapatan, keuntungan, atau ''payoff'' mereka.
# Pola permintaan sangat dipengaruhi oleh keputusan harga setiap perusahaan yang berkompetisi.
Poin 1, 2, 3, 4,dan 6 sama seperti model ''Cournot'', yang membedakan model ''Bertrand'' dengan ''Cournot'' adalah pada poin 5 dan 7. Berdasar pada hubungan penawaran dan permintaan (''supply and demand''), model ''Bertrand'' fokus pada fungsi permintaan dimana kenaikan harga akan permintaan (''demand'') dari produk itu. Sebagai contoh jika perusahaan <math>A</math> berkompetisi harga dengan perusahaan <math>B</math>. Perusahaan <math>A</math> menetapkan harga produk sebesar <math>P_A</math> dan perusahaan <math>B</math> menetapkan harga produk sebesar <math>P_B</math>. Jumlah kuantitas produk digambarkan pada fungsi <math>Q=D_A(P_A,P_B)+D_B(P_B,P_A)</math> dimana kuantitas produk akan sama dengan total permintaan pada perusahaan <math>A</math> dan <math>B</math>. Permintaan pada perusahaan <math>A</math> (<math>D_A</math>) akan dipengaruhi oleh penetapan harga perusahaan <math>A</math> itu sendiri (<math>P_A</math>) dan harga dari kompetitor (<math>P_B</math>). Permintaan pada perusahaan <math>B</math> (<math>D_B</math>) akan dipengaruhi oleh penetapan harga perusahaan <math>B</math> itu sendiri (<math>P_B</math>) dan harga dari kompetitor (<math>P_A</math>). Model permintaan ini juga terkenal dengan sebutan [[fungsi permintaan]] (''demand function''). Fungsi ini dipakai pada penetapan model [[pendapatan]] (''revenue'') untuk perusahaan <math>A</math> dan <math>B</math>.
<math>\begin{align} \pi_A(P_A,P_B) & =P_A\times D_A(P_A,P_B)\\
\pi_B(P_B,P_A) & =P_B\times D_B(P_B,P_A) \end{align}</math>
Sama seperti model ''Cournot'', perusahaan <math>A</math> dan <math>B</math> akan menerima pendapatan sebesar <math>\pi_A</math> dan <math>\pi_B</math>. Pendapatannya berupa jumlah harga yang ditetapkan (<math>P_A</math> dan <math>P_B</math>) dikalikan dengan permintaan produk dari masing masing perusahaan (<math>D_A</math> dan <math>D_B</math>). Karena fungsi pendapatan dari perusahaan <math>A</math> dan <math>B</math> berbentuk model ordo kedua (''second-order''), maka kedua model diasumsikan memiliki bentuk ''concave''. Untuk menemukan titik optimum global, kedua fungsi pendapatan diturunkan. Kondisi ordo pertama dari model pendapatan dapat diperoleh jika fungsi pendapatan diturunkan terhadap masing-masing keputusan harga. Respon terbaik dapat diperoleh jika <math>{d\pi_A(P_A,P_B) \over dP_A}= 0</math> dan <math>{d\pi_B(P_B,P_A) \over dP_B}= 0</math>. Keseimbangan ''Bertrand Nash'' akan ditemukan pada kondisi berikut:
<math>\begin{align} D_A> D_B & = 0 & jika \quad P_B\geq P_A \\
D_B> D_A & = 0 & jika \quad P_A\geq P_B \\
D_B= D_A & & jika \quad P_A= P_B\end{align}</math>
Permodelan ''Bertrand'' pun juga cukup terbatas dengan beberapa asumsi dan batasan. Model ''Bertrand'' mengasumsikan bahwa permintaan sangat dipengaruhi oleh harga. Tentunya, setiap permintaan memiliki pola preferensi yang berbeda (tidak hanya harga). Apabila diterapkan model keuntungan (''profit'') dengan nilai biaya (''cost'') yang berbeda pada setiap perusahaan, akan menghasilkan perspektif keseimbangan yang berbeda juga.
=== Model Kepemimpinan ''Stackelberg'' ===
Pada 1934, [[matematikawan]] dan [[ekonom]] [[jerman]] yang bernama Heinrich Freiherr von Stackelberg, mengembangkan model pasar kepemimpinan pada bukunya yang berjudul ''Market Structure and Equilibrium'' (''Marktform und Gleichgewicht'')<ref>{{Cite book|last=von Stackelberg|first=Heinrich|date=2011|url=http://link.springer.com/10.1007/978-3-642-12586-7|title=Market Structure and Equilibrium|location=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-12585-0|language=en|doi=10.1007/978-3-642-12586-7}}</ref>. Stackelberg menuturkan bahwa terdapat persaingan antar perusahaan dimana beberapa perusahaan pasti akan memiliki kekuatan pasar yang lebih kuat. Model ''Stackelberg'' memiliki dua jenis agen dalam permainannya, pemimpin (''leader'') dan pengikut (''follower''). Pemimpin merupakan tipe pemain dengan kekuatan pasar yang lebih kuat dibanding tipe pemain pengikut. Pemimpin akan menentukan strateginya lebih dahulu (''First mover'') dibanding pengikut. Alhasil, tipe permainan dari model ''Stackelberg'' adalah permainan sekuensial (''Sequential Games''). Penyelesaian tipe permainan ini menggunakan ''backward induction''. Terdapat beberapa asumsi dan batasan untuk menerapkan pemodelan ''Stackelberg'' :
# Terdapat lebih dari satu perusahaan yang berkompetisi secara simultan dengan produk barang yang homogen (tidak berbeda).
# Perusahaan-perusahaan yang terlibat berkompetisi dalam bentuk pola informasi yang sempurna dan lengkap (''perfect and complete information'').
# Semua perusahaan yang berkompetisi tidak ada indikasi untuk bekerja sama dan berbagi [[informasi]] (''Information sharing'').
# Perusahaan-perusahaan yang berkompetisi memiliki kekuatan pasar yang tidak seimbang. Beberapa perusahaan merupakan perusahaan berkekuatan pasar yang besar (pemimpin) dan berkekuatan pasar yang kecil (pengikut)
# Perusahaan yang berkompetisi bertindak rasional dan strategis untuk memaksimalkan pendapatan, keuntungan, atau ''payoff'' mereka.
Poin 1, 2, 3 dan 5 cukup sama dengan pemodelan ''Cournot'' dan ''Bertrand''. Kunci dari model ini adalah pada poin 4. Kondisi keseimbangan dari permainan sekuensial disebut ''Subperfect Nash Equilibrium''. Hal ini cukup berseberangan dengan konsep keseimbangan ''Nash'' dimana semua agen yang berkompetisi menetapkan strateginya secara simultan. Sebagai contoh pada pemodelan ''Cournot'', perusahaan <math>A</math> adalah pemimpin dan perusahaan <math>B</math> adalah pengikut. Artinya, perusahaan <math>A</math> memilliki kekuatan pasar yang lebih besar dibanding perusahaan <math>B</math>. Dalam ''Cournot,'' perusahaan <math>A</math> menghasilkan produk sebesar <math>q_A</math> unit dan perusahaan <math>B</math> menghasilkan produk sebesar <math>q_B</math> unit. Pemodelan ''Stackelberg'' yang diformulasikan dengan pendekatan pemrograman matematika (''Mathematical Programming'') disebut pemrograman ''Bilevel'' atau ''Nested Optimization''. Bentuk model pendapatan dari perusahaan <math>A</math> dan <math>B</math> adalah sebagai berikut.
<math>\begin{align} & \max(q_A) \quad \pi_A(q_A,q_B) =[a-b\times(q_A+q_B)]\times q_A \\
& S.T \\
& q_B\in \arg \max(q_B) \quad \pi_B(q_B,q_A) =[a-b\times(q_A+q_B)]\times q_B \end{align}</math>
Pendekatan yang digunakan untuk menyelesaikan model berikut adalah ''Backward Induction''. Perusahaan <math>A</math>, sebagai pemimpin, dapat mengantisipasi gerakan dari perusahaan <math>B</math> sebagai pengikut. Jadi dalam fungsi pendapatan perusahaan <math>A</math>, respon terbaik dari perusahaan <math>B</math> digunakan untuk mensubsitusi <math>q_B</math>. Alhasil, perusahaan <math>A</math> dapat dikatakan bergerak lebih dahulu (''first mover'').
<math>\begin{align} q_B & =\frac{a-b\times q_A}{2 b} \\
\pi_A(q_A) & =[a-b\times(q_A+\frac{a-b\times q_A}{2 b})]\times q_A \\ \end{align}</math>
Karena fungsi pendapatan perusahaan <math>A</math> masih termasuk ke model ordo kedua (''second-order''), maka fungsi pendapatan diturunkan terhadap <math>q_A</math>untuk melihat kondisi ordo pertamanya (''First-order'').
<math>{d\pi_A(q_A) \over dq_A} = \frac{b^2-2}{2}\times (a-2b \times q_A)= 0</math>
Kondisi optimal dari perusahaan <math>A</math> adalah:
<math>q_A = \frac{a}{2b}</math>
Berdasar strategi dari <math>q_A</math> dari perusahaan <math>A</math>,maka perusahaan <math>B</math> akan menentukan strateginya berdasar respon terbaiknya. Dengan mensubsitusi fungsi <math>q_A</math> pada respon terbaik <math>q_B</math>, strategi perusahaan <math>B</math> adalah sebagai berikut:
<math>\begin{align} q_B & =\frac{a-b\times \frac{a}{2b}}{2 b} \\
& =\frac {a}{4b} \\ \end{align}</math>
Dengan keputusan strategi yang sudah ditetapkan perusahaan <math>A</math> dan <math>B</math>, strategi mencapai ''Subperfect Nash Equilibrium''. Jadi perusahaan <math>A</math> dan <math>B</math> akan mencoba untuk memproduksi <math>q_A</math> dan <math>q_B</math> produk sebesar <math>\frac{a}{2b}</math> dan <math>\frac{a}{4b}</math> unit. Berdasar keputusan yang sudah seimbang, keluarannya adalah sebagai berikut:
<math>
\begin{align} Q & =q_A+q_B & \\ & = \frac{a}{2b}+\frac{a}{4b} \\ & =\frac{3a}{4b} \\
p(q_A,q_B) & = a-b\times(q_A+q_B) \\ & = a-b(\frac{3a}{4b}) \\ &=\frac{a}{4} \\
\pi_A & =p(q_A,q_B)\times q_A \\ & \frac{a}{4}\times \frac{a}{2b} \\ &=\frac{a^2}{8b} \\
\pi_b & =p(q_A,q_B)\times q_B \\ & \frac{a}{4}\times \frac{a}{4b}\\ &=\frac{a^2}{16b} \end{align}
</math>
Dari strategi, harga, dan ''payoff'' dari setiap perusahaan, perusahaan <math>A</math> akan menghasilkan kuantitas produksi 2 kali lipat dibanding perusahaan <math>B</math> (<math>
\frac{q_A}{q_B}=\frac{\frac {a}{2b}}{\frac {a}{4b}}=2
</math>) dan perusahaan <math>A</math> akan mendapatkan pendapatan 2 kali lipat dari perusahaan <math>B</math> (<math>
\frac{\pi_A}{\pi_B}=\frac{\frac {a^2}{8b}}{\frac {a^2}{16b}}=2
</math>). Hal ini menunjukan sebuah keuntungan menjadi pemimpin atau agen dengan cakupan pasar yang lebih besar dibanding dengan pengikut.
==== Skema ''Cournot'' vs. ''Stackelberg'' ====
Dengan melakukan perbandingan antara keseimbangan ''Nash'' dari ''Cournot'' dan ''Subperfect Nash Equilibrium'' dari ''Stackelberg'', beberapa poin dihasilkan:
* Keputusan dari pemimpin pasar (''leader'') ''Stackelberg'' akan produksi lebih besar 1,5 kali lipat dibanding perusahaan dengan skema permainan simultan (<math>
\frac{q_A(Stackelberg)}{q_A(Cournot)}=\frac{\frac {a}{2b}}{\frac {a}{3b}}=1\frac{1}{2}
</math>).
* Keputusan dari pengikut pasar (''follower'') ''Stackelberg'' akan produksi lebih kecil 0,75 kali lipat dibanding perusahaan dengan skema permainan simultan (<math>
\frac{q_B(Stackelberg)}{q_B(Cournot)}=\frac{\frac {a}{4b}}{\frac {a}{3b}}=\frac{3}{4}
</math>).
* Harga hasil produksi pada permainan ''Stackelberg'' lebih kecil 0.75 kali lipat dibanding permainan ''Cournot'' (<math>
\frac{p(Stackelberg)}{p(Cournot)}=\frac{\frac {a}{4}}{\frac {a}{3}}=\frac{3}{4}
</math>)
* Pendapatan dari pemimpin pasar (''leader'') ''Stackelberg'' akan lebih besar <math>
1\frac{1}{8}
</math> kali lipat dibanding perusahaan dengan skema permainan simultan (<math>
\frac{\pi_A(Stackelberg)}{\pi_A(Cournot)}=\frac{\frac {a^2}{8b}}{\frac {a^2}{9b}}=1\frac{1}{8}
</math>)
* Pendapatan dari pengikut pasar (''follower'') ''Stackelberg'' akan lebih kecil <math>
\frac{9}{16}
</math> kali lipat dibanding perusahaan dengan skema permainan simultan (<math>
\frac{\pi_B(Stackelberg)}{\pi_B(Cournot)}=\frac{\frac {a^2}{16b}}{\frac {a}{9b}}=\frac{9}{16}
</math>).
{{Bidang matematika}}
{{Authority control}}
| |||