|
Banyak matematikawan pada awalnya telah mempelajari dan memberikan bukti teorema Nicomachus. {{Harvard citation text|Stroeker|1995}} mengatakan bahwa "setiap siswa yang mempelajari teori bilangan ini, tentunya akan kagum dengan fakta ajaib ini". {{Harvard citation text|Pengelley|2002}} menemukan sumber untuk identitas yang tidak hanya dalam karya [[Nicomachus]] di [[Yordania|Jordan]] pada abad pertama M. Sumber identitas tersebut juga ditemukan dalam karya [[Aryabhata]] di [[India]] pada abad kelima, dan karya [[Al-Karaji]] sekitar 1000 di [[Iran|Persia]]. {{Harvard citation text|Bressoud|2004}} menyebutkan beberapa karya matematika pada rumus ini ditambahkan oleh [[ Al-Qabisi |Al-Qabisi]] di Arab pada abad kesepuluh, [[Lewi ben Gerson|Gersonides]] di Prancis sekitar tahun 1300, dan [[Nilakantha Somayaji]] di India sekitar 1500; ia menyalin kembali bukti visual Nilakantha.
== Nilai numerik; interpretasipandangan geometris dan probabilistik ==
[[Berkas:Grid_rectangle_count_puzzle.svg|jmpl|270x270px|Semua 36 ({{nowrap|1== (1 + 2 + 3)<sup>2</sup>}} = {{nowrap|1<sup>3</sup> + 2<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup>}}) persegi panjang, berisi [[Square pyramidal number#Geometric enumeration|14 ({{nowrap|1== 1<sup>2</sup> + 2<sup>2</sup> + 3<sup>2</sup>}}) persegi]] (merah), dalam persegi 3×3, {{nowrap|di kisi (4×4)}}.]]
Urutan-urutan padaBarisan bilangan segitiga kuadrat adalah:
: [[0]],[[1]], [[9]], [[36]], [[100]], 225, 441, 784, 1296, 225, 3025, 4356, 084, 8281, .... {{OEIS|id=A000537}}.
Bilangan-bilangan inisegitiga kuadrat tersebut dapat dilihatdipandang sebagai [[bilangan figurasi]], sebuahsuatu generalisasiperumuman hiperpiramidal empat dimensi dari [[bilangan segitiga]] dan [[ Jumlah piramidal persegi |jumlahbilangan piramidal persegi]].
{{Harvard citation text|Stein|1971}} mengamati bilangan tersebut bahwa bilangan inisegitiga kuadrat juga menghitung jumlah persegi panjang dengan sisi horizontal dan vertikal dibentuk dalam sebuah <math>n \times n </math> [[ Kisi persegi |kisi]]. Sebagai contoh, titik-titik padadari <math>4\times4</math> [[ Kisi persegi |kisi]], (atau kotakpersegi yang terdiri dari tiga kotakpersegi kecil di samping) dapat membentuk 36 persegi panjang yang berbeda. JumlahDengan cara yang serupa, jumlah bilangan kuadrat dalam kisi kuadratpersegi tersebut samadihitung degandengan jumlahbilangan piramidal kuadrat.
Identitas tersebut juga mengakuimengatakan interpretasipandangan probabilistik sebagai berikut.: Misalkan <math>W, X, Y,Z,W \in \mathbb{Z} </math>. Keempatmenyatakan bilangan bulat tersebutyang dipilih secara independen dan beraturanseragam secaradi sebarang bilangan acakdi antara <math>1</math> dan <math>n </math>. KemudianMaka, probabilitasnyaprobabilitas adalahmengatakan bahwa <math>W </math> menjadiadalah yangbilangan palingbulat terbesar dari keempat bilangan yang sama dengan probabilitas dimanayang keduamengatakan <math>Y </math> setidaknya sebesar <math>X </math>, dan <math>W </math> setidaknya sebesar <math>Z </math><math display="block">\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) yaitu:\leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}). </math>Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, yang dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas oleh <math>n^4</math>.{{Butuh rujukan}}
<math>\mathbf{P}({\max(X,Y,Z) \leq W}) = \mathbf{P}(\{X \leq Y\} \cap \{Z \leq W\}) </math>
Probabilitas masing-masing adalah ruas kiri dan ruas kanan pada identitas Nichomacus, dinormalisasi untuk membuat probabilitas dengan membagi kedua ruas dengan <math>n^4</math>.
== Bukti ==
|
