Bilangan segitiga kuadrat: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
||
Baris 1:
[[Berkas:Nicomachus_theorem_3D.svg|ka|jmpl| Persegi yang panjang sisinya adalah bilangan segitiga dapat dipartisi menjadi persegi dan setengah persegi, yang luasnya bertambah menjadi jumlah bilangan kubik.
Dalam [[Teori bilangan|teorema bilangan]], jumlah <math>n </math> [[Pangkat tiga|kubik]] pertama adalah kuadrat dari bilangan [[Bilangan segitiga|segitiga]] ke-<math>n </math>. Jumlah tersebut dirumuskan sebagai
Baris 43:
\end{align}</math>
{{harvtxt|Row|1893}} mendapatkan bukti lain dengan menjumlahkan bilangan-bilangan dalam [[tabel perkalian]] persegi dengan dua cara berbeda. Jumlah dari baris ke-<math>i</math> adalah <math>i</math> dikalikan dengan bilangan segitiga, yang berarit bahwa jumlah dari semua baris adalah kuadrat dari bilangan segitiga. Alternatifnya, seseorang dapat menguraikan tabel menjadi barisan [[gnomon]] bersarang, yang masing-masing bilangan terdiri dari hasil kali yang lebih besar dari dua suku adalah suatu nilai konstan. Jumlah dalam setiap
Dalam literatur matematika yang lebih baru, {{Harvard citation text|Edmonds|1957}} memberikan sebuah bukti menggunakan [[ Penjumlahan oleh bagian-bagian |penjumlahan oleh bagian-bagian]]. {{Harvard citation text|Stein|1971}} menggunakan interpretasi penghitungan persegi panjang pada bilangan-bilangan ini untuk membentuk bukti geometris pada identitas (lihat juga {{Harvard citation no brackets|Benjamin|Quinn|Wurtz|2006}} ); ia mengamati bahwa itu juga dapat dibuktikan dengan mudah (tetapi tidak informatif) dengan induksi, dan menyatakan bahwa {{Harvard citation text|Toeplitz|1963}} memberikan "bukti Arab kuno yang menarik". {{Harvard citation text|Kanim|2004}} memberikan bukti visual murni, {{Harvard citation text|Benjamin|Orrison|2002}} memberikan dua bukti tambahan, dan {{Harvard citation text|Nelsen|1993}} memberikan tujuh bukti geometris. ▼
[[Berkas:Sum_of_cubes2.png|jmpl| Gambaran visual yang mengatakan bahwa kuadrat dari bilangan segitiga sama dengan jumlah bilangan kubik. |400x400px]]
Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber|jumlah pangkat]]: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut [[ Formula Faulhaber |polinomial Faulhaber]], suatu polinomial dengan jumlah bilangan kubik yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain {{Harvard citation|Edmonds|1957}}. . ▼
▲Dalam literatur matematika yang
== Perumuman ==
▲Terdapat hasil yang mirip dengan teorema Nicomachus, dan hasil tersebut berlaku untuk semua [[Rumus Faulhaber|jumlah pangkat]]: jumlah pangkat ganjil sama dengan polinomial dalam bilangan segitiga. Hasil pernyataan itu disebut [[ Formula Faulhaber |polinomial Faulhaber]], suatu polinomial dengan jumlah bilangan kubik yang merupakan contoh paling sederhana dan paling elegan. Namun, tidak ada kasus lain yang memiliki satu jumlah pangkat kuadrat dari yang lain
{{harvtxt|Stroeker|1995}} mempelajari syarat-syarat yang lebih umum, dengan jumlah barisan bilangan kubus berurutan membentuk suatu bilangan kuadrat. {{harvtxt|Garrett|Hummel|2004}} dan {{harvtxt|Warnaar|2004}} mempelajari polinomial dari rumus bilangan segitiga kuadrat, dengan deret pada polinomial bertambah menjadi kuadrat dari polinomial lain.
| |||