Grup (matematika): Perbedaan antara revisi

Grup adalah suatu [[himpunan (matematika)|himpunan]] ''<math> G'' </math> dengan [[operasi biner]] ''<math> G'' yang</math>. Operasi biner tersebut dilambangkan sebagai {{<math|⋅}}> \cdot </math>, yang menggabungkan dua [[elemen (matematika)|elemen]] ''<math> a'' </math> dan ''<math> b'' </math> untuk membentuk elemen ''dari <math> G'' </math>, dan bentuk elemen tersebut dilambangkan {{nowrap|''<math> a'' &sdot;\cdot ''b''}} </math>. Akibatnya, sedemikiansuatu rupagrup maka<math> G </math> memenuhi tiga persyaratansyarat di berikutbawah, yang dikenal sebagai '''aksioma grup'',' digunakan(''group sebagaiaxiom''):<ref>{{Harvard citationssfn|last = Artin|year = 2018|loc = §2.2, p. 40|nb hlm= yes40}}</ref><ref>{{Harvard citationssfn|last = Lang|year = 2002|loc = hlm. 3, I.§1, pdan hlm. 3 and7, I.§2}}{{sfn|Lang|2005|loc=II.§1|hlm=16}}{{efn|Beberapa penulis menyertakan aksioma tambahan yang disebut ''ketertutupan'' terhadap operasi "<math>\cdot</math>", pyang berarti bahwa <math>a\cdot b</math> adalah suatu elemen dari <math>G</math> untuk setiap <math>a</math> dan <math>b</math> di <math>G</math>. 7|nbSyarat =ini yes}}disertakan dengan memerlukan "<math>\cdot</refmath>" menjadi suatu operasi biner dalam <refmath>G</math>. Lihat {{Harvard citations|lastnb = Langyes|yearlast = 2005Lang|locyear = II2002}}.§1, p. 16|nb = yes}}</ref>

;Asosiatif: Untuk semua ''<math> a'' </math>, ''<math> b'' </math>, ''dan <math> c'' </math> dalam ''<math> G'' yang</math>, menggunakanmaka <math> (''a'' &sdot;\cdot ''b'') &sdot;\cdot ''c'' = ''a'' &sdot;\cdot (''b'' &sdot;\cdot ''c'') </math>.

;Elemen identitas: ElemenTerdapat elemen <math> ''e'' </math> dalam ''<math> G'' </math>, makasehingga untuk setiap ''<math> a'' </math> dalam ''<math> G ''</math>, yangmaka menggunakan<math> {{nowrap|1=''e'' &sdot;\cdot ''a'' = ''a''}} </math> dan {{nowrap|1=''<math> a'' &sdot;\cdot ''e'' = ''a''}} </math>. Elemen uniktersebut dikatakan tunggal (''unique'') ([[elemen#Ketunggalan identitasdari elemen unikinvers|lihat di bawah]]), dan elemen itu disebut ''elemen identitas'' dari grup.

;Elemen invers: Untuk setiap ''<math> a'' </math> dalam ''<math> G'' adalah</math>, terdapat elemen ''<math> b'' </math> dalam ''<math> G'' sedemikian</math> rupasehingga maka<math> {{nowrap|1=''a'' &sdot;\cdot ''b'' = ''e''}} and</math> dan <math> {{nowrap|1=''b'' &sdot;\cdot ''a'' = ''e''}} </math>, didengan mana<math> ''e'' </math> adalah elemen identitas. Untuk setiap ''<math> a'' </math>, elemen ''<math> b'' unik</math> adalah tunggal ([[#KeunikanKetunggalan dari elemen invers|lihat di bawah]]);, dan elemen itu disebut sebagai ''invers'' dari ''<math> a'' </math> dan biasanya dilambangkan ''a''<supmath>−1 a^-1 </supmath>.