Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Menambah konten dengan hasil alih bahasa dari en:Determinant (oldid 1183921881); lihat sejarahnya untuk atribusi. |
Menambah konten dengan hasil alih bahasa dari en:Determinant (oldid 1183921881); lihat sejarahnya untuk atribusi. Menggabungkan bagian "Arti geometris" dan "Dalam matriks" agar lebih padu pembahasannya. |
||
Baris 15:
Determinan umum muncul dalam matematika. Sebagai contoh, sebuah matriks sering digunakan untuk merepresentasikan [[Koefisien|koefisien-koefisien]] dalam sebuah [[sistem persamaan linear]], dan determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem tersebut ([[aturan Cramer]]); meskipun ada metode penyelesaian lain yang jauh lebih efisien secara komputasi. Determinan digunakan untuk menentukan [[polinomial karakteristik]] dari sebuah matriks, yang [[Akar fungsi|akar-akarnya]] adalah [[Nilai dan vektor eigen|nilai-nilai eigen]] matriks tersebut. Dalam geometri, [[volume]] bertanda dari [[Balok jajar genjang|jajar genjang]] ''{{mvar|n}}''-dimensi dapat dinyatakan dengan sebuah determinan, dan determinan dari (matriks) [[Peta linear|transformasi linear]] menentukan cara orientasi dan volume objek ''{{mvar|n}}''-dimensi berubah. Hal ini selanjutnya digunakan [[determinan Jacobi]] dalam [[kalkulus]], khususnya untuk [[Integral substitusi|subtitusi variabel]] dalam [[integral lipat]].
==
Determinan dari matriks ukuran {{math|2 × 2}} dengan entri-entri <math>\begin{pmatrix} a & b \\c & d \end{pmatrix}</math>, umumnya disimbolkan antara dengan "{{math|det}}" atau dengan garis tegak diantara matriks. Nilai dari determinannya selanjutnya didefinisikan sebagai
Jika {{nowrap|''n'' × ''n''}} [[Bilangan riil|riil]] matriks ''A'' ditulis dalam bentuk vektor kolomnya <math>A = [\begin{array}{c|c|c|c} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}]</math>, then▼
: <math>\det \begin{pmatrix}
Berikut adalah sebuah contoh perhitungan determinan,
: <math>\det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\1 & -4 \end{pmatrix} = \begin{vmatrix}
Determinan memiliki beberapa sifat penting yang dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi determinan untuk matriks <math>2 \times 2</math>. Sifat-sifat ini selanjutnya masih berlaku untuk determinan matriks yang berukuran lebih besar. Sifat-sifat itu adalah:<ref>{{harvnb|Lang|1985|loc=§VII.1}}</ref> pertama, determinan dari [[matriks identitas]] <math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> bernilai <math>1</math>. Kedua, determinan akan bernilai nol jika ada dua baris yang sama pada matriks; secara aljabar: <math>\begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix} = ab - ba = 0.</math> Sifat ini juga berlaku ketika ada dua kolom yang sama. Lebih lanjut, mengubah semua entri pada sembarang kolom (atau baris) pada matriks akan menghasilkan hubungan:<math display="block">\begin{vmatrix}a & b + b' \\ c & d + d' \end{vmatrix} = a(d+d')-(b+b')c = \begin{vmatrix}a & b\\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a & b' \\ c & d' \end{vmatrix}.</math>Terakhir, jika sembarang kolom (atau baris) dikalikan dengan bilangan <math>r</math> (artinya setiap entri pada kolom tersebut dikalikan dengan bilangan tersebut), nilai determinan matriks tersebut juga akan dikalikan dengan bilangan tersebut:
: <math>\begin{vmatrix} r \cdot a & b \\ r \cdot c & d \end{vmatrix} = rad - brc = r(ad-bc) = r \cdot \begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix}.</math>
== Makna geometris ==
[[Berkas:
Jika entri-entri matriks
[[Nilai absolut]] dari {{math
Nilai absolut dari determinan bersama dengan
Untuk menunjukkan bahwa {{math
|\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}|\,\sin\,\theta = \left|\boldsymbol{u}^\perp\right|\,\left|\boldsymbol{v}\right|\,\cos\,\theta' =▼
\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ad - bc.
</math>Dengan demikian, determinan menyatakan faktor penskalaan dan arah (tanda, orientasi) yang dihasilkan, oleh pemetaan yang diwakili oleh {{math|''A''}}. Ketika determinan bernilai {{math|1}}, peta linear yang didefinisikan oleh matriks tersebut bersifat ''equi-areal'' dan ''orientation-preserving.''
[[Berkas:
▲Jika matriks [[Bilangan riil|real]] {{
A\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ \vdots \\0\end{pmatrix} = \mathbf{a}_1, \quad
A\begin{pmatrix}0 \\ 1\\ \vdots \\0\end{pmatrix} = \mathbf{a}_2, \quad
\ldots, \quad
A\begin{pmatrix}0 \\0 \\ \vdots \\1\end{pmatrix} = \mathbf{a}_n.
</math>Hal ini mengartikan {{math|''A''}} memetakan [[kubus]] dimensi-{{math|''n''}} menjadi [[balok jajar genjang]] dimensi-{{math|''n''}} dengan sisi-sisi berupa vektor-vektor <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n,</math> dengan domain <math>P = \left\{c_1 \mathbf{a}_1 + \cdots + c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i\right\}.</math>Nilai determinan menyatakan volume dimensi-{{math|''n''}} bertanda dari balok jajar genjang ini, dan secara lebih umum faktor penskalaan objek dimensi-{{math|''n''}} akibat transformasi linear yang dihasilkan oleh {{math|''A''}}.<ref>{{cite web|title=Determinants and Volumes|url=https://textbooks.math.gatech.edu/ila/determinants-volumes.html|website=textbooks.math.gatech.edu|access-date=16 March 2018}}</ref> (Tanda dari nilai determinan menunjukkan apakah transformasi mengawetkan (''preserve'') orientasi atau tidak). Secara khusus, jika determinan bernilai nol, maka balok jajar genjang memiliki volume nol dan tidak berada di dimensi-{{math|''n''}} sepenuhnya, yang selanjutnya mengartikan dimensi dari bayangan {{math|''A''}} kurang dari {{math|''n''}}. Hal ini (menggunakan [[teorema rank-nolitas]]) menunjukkan transformasi {{math|''A''}} tidak bersifat [[Fungsi surjektif|surjektif]] maupun [[Bijeksi|bijektif]], sehingga tidak terbalikkan (invertibel)
== Definisi ==
Baris 70 ⟶ 90:
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n}
\end{vmatrix}.</math>
▲[[Berkas:Area parallellogram as determinant.svg|thumb|right|Luas jajaran genjang adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh vektor yang merepresentasikan sisi jajaran genjang.]]
▲:<math>\begin{vmatrix} a & b \\c & d \end{vmatrix} = ad - bc.</math>
▲Jika entri matriks adalah bilangan real, matriks {{math | A}} dapat digunakan untuk merepresentasikan dua [[peta linear]]: yang memetakan vektor [[standar dasar]] ke baris {{math|A}}, dan yang memetakannya ke kolom {{math|A}}. Dalam kedua kasus tersebut, gambar vektor basis membentuk [[jajaran genjang]] yang mewakili gambar [[satuan persegi]] di bawah pemetaan. Jajar genjang yang ditentukan oleh baris dari matriks di atas adalah yang memiliki simpul di {{math|{{nowrap|(0, 0)}},}} {{math|{{nowrap|(''a'', ''b'')}},}} {{math|{{nowrap|(''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}},}} dan {{math|{{nowrap|(''c'', ''d'')}},}} seperti yang ditunjukkan pada diagram terlampir.
▲[[Nilai absolut]] dari {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}} }} adalah luas jajaran genjang, dan dengan demikian mewakili faktor skala yang luasnya diubah oleh {{math|A}}. (Jajar genjang dibentuk kolom {{math|A}} pada jajaran genjang, tetapi karena determinan simetri dari baris dan kolom, luasnya tetap sama.)
▲Nilai absolut dari determinan bersama dengan tanda menjadi ''luas berorientasi'' dari jajaran genjang. Luas orientasi sama dengan [[luas (geometri)|luas]] biasa, kecuali bilangan negatif ketika sudut dari vektor pertama ke vektor kedua yang menentukan jajar genjang berubah searah jarum jam (yang berlawanan dengan arah yang akan didapatkan untuk [[identitas matriks]])
▲Untuk menunjukkan {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}}} adalah luas, matriks dari dua vektor {{math|{{nowrap|'''u''' ≡ (''a'', ''b'')}}}} dan {{math|{{nowrap|'''v''' ≡ (''c'', ''d'')}}}} dengan sisi jajaran genjang. Luas {{math|{{nowrap|{{!}}'''u'''{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} sin ''θ''}}}} untuk sudut ''θ'' antara vektor, merupakan tinggi kali alas, panjang satu vektor dikalikan komponen tegak lurus lainnya. Karena [[sinus]] dari luas, diekspresikan menggunakan [[kosinus]] dari sudut komplementer ke vektor tegak lurus, misalnya {{math|{{nowrap|'''u'''<sup>⊥</sup> {{=}} (−''b'', ''a'')}},}} so that {{math|{{nowrap|{{!}}'''u'''<sup>⊥</sup>{{!}} {{!}}'''v'''{{!}} cos ''θ′''}},}} ditentukan dengan pola [[produk skalar]] {{math|{{nowrap|''ad'' − ''bc''}}:}}
▲ |\boldsymbol{u}|\,|\boldsymbol{v}|\,\sin\,\theta = \left|\boldsymbol{u}^\perp\right|\,\left|\boldsymbol{v}\right|\,\cos\,\theta' =
▲ \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = ad - bc.
▲[[Berkas:Determinant parallelepiped.svg|300px|right|thumb| Volume [[parallelepiped]] ini adalah nilai absolut dari determinan matriks yang dibentuk oleh kolom yang dibangun dari vektor r1, r2, dan r3.]]
== Aplikasi ==
| |||