|
== Definisi ==
Let <math>A</math> be a [[square matrix]] with ''n'' rows and ''n'' columns, so that it can be written as
Ada berbagai cara yang setara untuk menentukan determinan dari [[matriks persegi]] ''A'' , yaitu satu dengan jumlah baris dan kolom yang sama. Mungkin cara termudah untuk menyatakan determinan adalah dengan mempertimbangkan elemen di baris atas dan masing-masing [[Minor (aljabar linear)|minor]]; mulai dari kiri, kalikan elemen dengan minor, lalu kurangi hasil kali elemen berikutnya dan minornya, dan secara bergantian menambah dan mengurangi produk tersebut sampai semua elemen di baris atas habis. Sebagai contoh, berikut adalah hasil untuk matriks 4 × 4:
<math display="block">A = \begin{bmatrix}
: <math>
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
\begin{vmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ m & n & o & p \end{vmatrix} =
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
a\,\begin{vmatrix} f & g & h\\ j & k & l\\ n & o & p \end{vmatrix} -
b\,\begin{vmatrix} evdots & g & h\\ ivdots & k & l\\ mddots & o & p\vdots \end{vmatrix} +\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
c\,\begin{vmatrix} e & f & h\\ i & j & l\\ m & n & p \end{vmatrix} -
\end{bmatrix}.</math>
d\,\begin{vmatrix} e & f & g\\ i & j & k\\ m & n & o \end{vmatrix}.
</math>
The entries <math>a_{1,1}</math> etc. are, for many purposes, real or complex numbers. As discussed below, the determinant is also defined for matrices whose entries are in a [[commutative ring]]. There are various equivalent ways to define the determinant of a square matrix ''A'', i.e. one with the same number of rows and columns: the determinant can be defined via the [[Leibniz formula for determinants|Leibniz formula]], an explicit formula involving sums of products of certain entries of the matrix. The determinant can also be characterized as the unique function depending on the entries of the matrix satisfying certain properties. This approach can also be used to compute determinants by simplifying the matrices in question.
Cara lain untuk menentukan determinan dinyatakan dalam kolom-kolom matriks. Jika kita menulis berkas {{nowrap|''n'' × ''n''}} matriks ''A'' dalam hal vektor kolomnya
=== Determinant d'una família de ''n'' vectors en una base ===
: <math>A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}</math>
'''Definició'''
Se suposa ''E'' proveït d'una base <math>B=(e_{1},\dots,e_{n})</math>. L'aplicació que '''determina en base ''B''''' és l'única forma n- lineal alternada sobre ''E'' que verifica <math>\det{}_B(e_1,..., e_n)=1</math>, abreviat en <math> \det{}_B(B)=1</math> Cal representar-se aquesta quantitat com una mena de volum de llamborda, relativament a la base ''B''.
dimana <math>a_j</math> adalah vektor dengan ukuran ''n'' , maka determinan dari ''A'' didefinisikan sehingga
'''Formula de Leibniz'''
: <math>\begin{align}
\det \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & b a_j + c v & \cdots & a_n \end{bmatrix}
&= b\det(A) + c \det \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & v & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\
\det \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_j & a_{j+1} & \cdots & a_n \end{bmatrix}
&= -\det \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_{j+1} & a_j & \cdots & a_n \end{bmatrix} \\
\det(I) &= 1
\end{align}</math>
[[Berkas:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|jmpl|[[:ca:Gottfried_Leibniz|Gottfried Leibniz]] introdueix els primers determinants de dimensió 3 i més]]
di mana ''b'' dan ''c'' adalah skalar, ''v'' adalah sembarang vektor berukuran ''n'' dan ''I'' adalah [[matriks identitas]] berukuran ''n'' . Persamaan-persamaan ini mengatakan bahwa determinannya adalah fungsi linear dari setiap kolom, bahwa menukar kolom yang berdekatan membalikkan tanda determinan, dan determinan matriks identitas adalah 1. Properti ini berarti bahwa determinan adalah fungsi multilinear bolak-balik dari kolom yang memetakan matriks identitas ke skalar unit yang mendasarinya. Ini cukup untuk menghitung determinan matriks kuadrat apa pun secara unik. Asalkan skalar yang mendasari membentuk bidang (lebih umum, [[gelanggang komutatif]]), definisi di bawah ini menunjukkan bahwa fungsi seperti itu ada, dan dapat dibuktikan unik.<ref>[[Serge Lang]], '' Linear Algebra '', 2nd Edition, Addison-Wesley, 1971, pp 173, 191.</ref>
Siguin''x<sub>1</sub>,...x<sub>n</sub>'' els vectors de ''E''. És possible representar aquests ''n'' vectors per ''n'' matrius columna, formant per juxtaposició una matriu quadrada ''X''. El determinant de ''x<sub>1</sub>,...x<sub>n</sub>'' relatiu a la base ''B'' val llavors
Dengan kata lain, determinan dapat diekspresikan sebagai jumlah produk entri matriks di mana setiap produk memiliki suku ''n'' dan koefisien setiap produk adalah −1 atau 1 atau 0 sesuai dengan yang diberikan: itu adalah [[ekspresi polinomial]] dari entri matriks. Ekspresi ini berkembang pesat dengan ukuran matriks (sebuah {{nowrap|''n'' × ''n''}} matriks memiliki [[Faktorial|''n''!]] istilah), jadi pertama kali akan diberikan secara eksplisit untuk kasus {{nowrap|2 × 2}} matriks dan matriks {{nowrap|3 × 3}}, diikuti dengan aturan untuk matriks ukuran arbitrer, yang menggabungkan kedua kasus ini.
: <math>\det{}_B(x_1,\dots, x_n)=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} </math>
Asumsikan ''A'' adalah matriks persegi dengan baris ''n'' dan kolom ''n'' , sehingga dapat ditulis sebagai
Aquesta fórmula porta de vegades el nom de [[:ca:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz|Leibniz]]. Presenta poc interès pel càlcul pràctic dels determinants, però permet establir diversos resultats teòrics.
: <math>A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n}
\end{bmatrix}.</math>
En física, es troba sovint la fórmula de [[:ca:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz|Leibniz]] expressada amb l'ajuda del [[:ca:Símbol_de_Levi-Civita|símbol de Levi-Civita]], utilitzant la [[:ca:Conveni_de_sumació_d'Einstein|convenció d'Einstein]] per al sumatori dels índexs:
Entri dapat berupa angka atau ekspresi (seperti yang terjadi ketika determinan digunakan untuk mendefinisikan [[karakteristik polinomial]]); definisi determinan hanya bergantung pada fakta bahwa mereka dapat ditambahkan dan dikalikan bersama dengan cara [[komutatif]].
: <math>\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{A^{1}}_{i_1}\cdots {A^{n}}_{i_n}</math>
Determinan dari ''A'' dilambangkan dengan det(''A''), atau dapat dilambangkan secara langsung dalam istilah entri matriks dengan menulis batang penutup, bukan tanda kurung:
'''Fórmula de canvi de base'''
: <math>\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n}
\end{vmatrix}.</math>
Si ''B'' i ''B ''' són dues bases de ''E'', les aplicacions determinants corresponents són proporcionals (amb una relació de proporcionalitat no nul·la)
== Definition ==
Let <math>A</math> be a [[square matrix]] with ''n'' rows and ''n'' columns, so that it can be written as
: <math>\det{}_{B'}(x_1,\dots, x_n)=\det{}_{B'}(B)\times \det{}_{B}(x_1,\dots, x_n)\,</math>
<math display="block">A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{bmatrix}.</math>
Aquest resultat és conforme a la interpretació en termes de volum relatiu.
The entries <math>a_{1,1}</math> etc. are, for many purposes, real or complex numbers. As discussed below, the determinant is also defined for matrices whose entries are in a [[commutative ring]]. There are various equivalent ways to define the determinant of a square matrix ''A'', i.e. one with the same number of rows and columns: the determinant can be defined via the [[Leibniz formula for determinants|Leibniz formula]], an explicit formula involving sums of products of certain entries of the matrix. The determinant can also be characterized as the unique function depending on the entries of the matrix satisfying certain properties. This approach can also be used to compute determinants by simplifying the matrices in question.
=== Leibniz formula ===
where the sum is taken over all ''{{mvar|n}}''-tuples of integers in <math>\{1,\ldots,n\}.</math> <ref>{{cite book|last1=McConnell|date=1957|url=https://archive.org/details/applicationoften0000mcco|title=Applications of Tensor Analysis|publisher=Dover Publications|pages=[https://archive.org/details/applicationoften0000mcco/page/10 10–17]|url-access=registration}}</ref><ref>{{harvnb|Harris|2014|loc=§4.7}}</ref>
== Definició del determinant ==
=== Origen de la construcció del determinant ===
Les nocions de paral·lelogram i de paral·lelepípede es generalitzen a un [[:ca:Espai_vectorial|espai vectorial]] ''E'' de dimensió finita ''n'' sobre <math>\mathbb{R}</math>. A ''n'' vectors ''x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>'' de ''E'' s'associa un [[:ca:Paral·lelòtop|paral·lelòtop]]. Es defineix com la part de ''E'' formada pel conjunt de les combinacions dels ''x<sub>i</sub> amb coeficients compresos entre 0 i 1''
=== Rumus Laplace ===
: <math>P=\left\{x=\sum_{i=1}^n t_i x_i \Bigg|\, \forall i, 0\leq t_i \leq 1\right\}</math>
[[Ekspansi Laplace|Rumus Laplace]] untuk determinan a {{nowrap|3 × 3}} matriks adalah
: <math>
Convé veure en aquest paral·lelòtop una mena de llamborda obliqua.
\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} =
a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}
</math>
: <math>
\begin{vmatrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ m & n & o & p \end{vmatrix} =
a\,\begin{vmatrix} f & g & h\\ j & k & l\\ n & o & p \end{vmatrix} -
b\,\begin{vmatrix} e & g & h\\ i & k & l\\ m & o & p \end{vmatrix} +
c\,\begin{vmatrix} e & f & h\\ i & j & l\\ m & n & p \end{vmatrix} -
d\,\begin{vmatrix} e & f & g\\ i & j & k\\ m & n & o \end{vmatrix}.
</math>
[[Laplace expansion]] expresses the determinant of a matrix <math>A</math> [[Recursion|recursively]] in terms of determinants of smaller matrices, known as its [[Minor (matrix)|minors]]. The minor <math>M_{i,j}</math> is defined to be the determinant of the <math>(n-1) \times (n-1)</math>-matrix that results from <math>A</math> by removing the <math>i</math>-th row and the <math>j</math>-th column. The expression <math>(-1)^{i+j}M_{i,j}</math> is known as a [[Cofactor (linear algebra)|cofactor]]. For every <math>i</math>, one has the equality
: <math>\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j},</math>
Quan l'espai està proveït d'un [[:ca:Producte_escalar|producte escalar]], és possible definir el volum d'aquest paral·lelòtop, de vegades dit el seu hipervolum per subratllar que la dimensió de l'espai concernit no és per força 3. Verifica les propietats següents:
which is called the ''Laplace expansion along the ''{{mvar|i}}''th row''. For example, the Laplace expansion along the first row (<math>i=1</math>) gives the following formula:
* els volums de dues llambordes adjacents per una cara, s'afegeixen
* la multiplicació d'un dels vectors que defineixen la llamborda per una de constant produeix la multiplicació del volum per aquesta constant
* el volum d'una llamborda formada per la repetició del mateix vector (que constitueix un cas particular de llamborda plana), és nul.
: <math>
Un canvi de producte escalar sobre l'espai ''E'' modifica les mesures de longituds, angles, i per tant de volums. Tanmateix la teoria dels determinants ensenya que tret d'una constant multiplicativa, no existeix més que un únic mètode de càlcul dels volums en un espai vectorial de dimensió ''n''.
\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} =
a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}
</math>
Unwinding the determinants of these <math>2 \times 2</math>-matrices gives back the Leibniz formula mentioned above. Similarly, the ''Laplace expansion along the <math>j</math>-th column'' is the equality
Reprenent un espai vectorial ''sense estructura particular'', la noció de determinant té per objectiu donar un sentit intrínsec al «volum» del paral·lelòtop, sense referència a un producte escalar per exemple, és a dir de construir una funció ''f'', que a ''x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>'' els associa un nombre real, i verifica les propietats precedents. Tal aplicació es diu una forma ''n'' - lineal alternada.
: <math>\det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j}.</math>
=== Formes ''n'' - lineals alternades ===
La noció de '''forma n - lineal alternada''' generalitza les propietats precedents. Es defineix com una aplicació de ''E<sup>n</sup>'' en <math>\mathbb{R}</math> que és:
Laplace expansion can be used iteratively for computing determinants, but this approach is inefficient for large matrices. However, it is useful for computing the determinants of highly symmetric matrix such as the [[Vandermonde matrix]]<math display="block">\begin{vmatrix}
* [[:ca:Aplicació_lineal|lineal]] en cada variable. Així per la vectors ''x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>, x'<sub>i</sub>'' i dos escalars ''a'' i ''b''
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix} =
\prod_{1 \leq i < j \leq n} \left(x_j - x_i\right).
</math>The ''n''-term Laplace expansion along a row or column can be [[Laplace expansion#Laplace expansion of a determinant by complementary minors|generalized]] to write an ''n'' x ''n'' determinant as a sum of <math>\tbinom nk</math> [[Binomial coefficient|terms]], each the product of the determinant of a ''k'' x ''k'' [[Minor (linear algebra)|submatrix]] and the determinant of the complementary (''n−k'') x (''n−k'') submatrix.
==== Adjugate matrix ====
: <math>f(x_1,\dots,x_{i-1}, ax_i+bx'_i,x_{i+1}, \dots, x_n)=a f(x_1, \dots, x_n) + bf(x_1, \dots,x'_i,\dots x_n) \;</math>
The [[adjugate matrix]] <math>\operatorname{adj}(A)</math> is the transpose of the matrix of the cofactors, that is,
: <math>(\operatorname{adj}(A))_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{ji}.</math>
* alternada, significa que s'anul·la cada vegada que és avaluada sobre una tupla que contingui dos vectors idèntics
For every matrix, one has<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§0.8.2}}.</ref>
: <math>[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_n)=0</math>
: <math>(\det A) I = A\operatorname{adj}A = (\operatorname{adj}A)\,A. </math>
L'article [[:ca:Aplicació_multilineal|aplicació multilineal]] procedeix a l'estudi sistemàtic de les formes n- lineals alternades sobre un espai vectorial de dimensió ''n''.
Thus the adjugate matrix can be used for expressing the inverse of a [[nonsingular matrix]]:
El resultat principal és la possibilitat de remetre el càlcul de la imatge de <math>(x_1,..., x_n)</math> al d'imatges dels vectors de base per n- linealitat. A més a més el caràcter alternat permet canviar l'ordre dels vectors, de manera que n'hi ha prou amb conèixer la imatge <math>f(e_1, ..., e_n)</math> dels vectors d'una base, pres en l'ordre, per conèixer ''f''. Posar els vectors en l'ordre fa intervenir la noció de [[:ca:Permutació|permutació]].
: <math>A^{-1} = \frac 1{\det A}\operatorname{adj}A. </math>
'''Teorema'''
El conjunt ''A<sub>n</sub>(E)'' de les formes n- lineals alternades sobre un espai vectorial de dimensió ''n'' constitueix un espai vectorial de dimensió 1. Ames, si <math>(e_{1},\dots,e_{n})</math> és una base de ''E'', es pot expressar la imatge d'una tupla de vectors per
: <math>f(x_1,\dots,x_n)= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})</math>
amb ''X<sub>ij</sub>'' la ''i''-ena component de ''x<sub>j</sub>'' i <math>\varepsilon(\sigma)</math> que denota el signe de la permutació (un per a una permutació parell, -1 per a una de senar).
=== Determinant d'una família de ''n'' vectors en una base ===
'''Definició'''
Se suposa ''E'' proveït d'una base <math>B=(e_{1},\dots,e_{n})</math>. L'aplicació que '''determina en base ''B''''' és l'única forma n- lineal alternada sobre ''E'' que verifica <math>\det{}_B(e_1,..., e_n)=1</math>, abreviat en <math> \det{}_B(B)=1</math> Cal representar-se aquesta quantitat com una mena de volum de llamborda, relativament a la base ''B''.
'''Formula de Leibniz'''
[[Berkas:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|jmpl|[[:ca:Gottfried_Leibniz|Gottfried Leibniz]] introdueix els primers determinants de dimensió 3 i més]]
Siguin''x<sub>1</sub>,...x<sub>n</sub>'' els vectors de ''E''. És possible representar aquests ''n'' vectors per ''n'' matrius columna, formant per juxtaposició una matriu quadrada ''X''. El determinant de ''x<sub>1</sub>,...x<sub>n</sub>'' relatiu a la base ''B'' val llavors
: <math>\det{}_B(x_1,\dots, x_n)=\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} </math>
Aquesta fórmula porta de vegades el nom de [[:ca:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz|Leibniz]]. Presenta poc interès pel càlcul pràctic dels determinants, però permet establir diversos resultats teòrics.
En física, es troba sovint la fórmula de [[:ca:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz|Leibniz]] expressada amb l'ajuda del [[:ca:Símbol_de_Levi-Civita|símbol de Levi-Civita]], utilitzant la [[:ca:Conveni_de_sumació_d'Einstein|convenció d'Einstein]] per al sumatori dels índexs:
: <math>\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{A^{1}}_{i_1}\cdots {A^{n}}_{i_n}</math>
'''Fórmula de canvi de base'''
Si ''B'' i ''B ''' són dues bases de ''E'', les aplicacions determinants corresponents són proporcionals (amb una relació de proporcionalitat no nul·la)
: <math>\det{}_{B'}(x_1,\dots, x_n)=\det{}_{B'}(B)\times \det{}_{B}(x_1,\dots, x_n)\,</math>
Aquest resultat és conforme a la interpretació en termes de volum relatiu.
=== Determinant d'una matriu ===
# <math>\det(AE_1...E_n)=\det(A)\det(E_1)...\det(E_n)</math>
# <math>\det(E)=\det(E^t)</math>
=== Origen de la construcció del determinant ===
{{Caixa desplegable|títol=Demostració|contingut=1. -Sigui <math>E=E_{ij}</math> una matriu elemental de tipus 1.
Les nocions de paral·lelogram i de paral·lelepípede es generalitzen a un [[:ca:Espai_vectorial|espai vectorial]] ''E'' de dimensió finita ''n'' sobre <math>\mathbb{R}</math>. A ''n'' vectors ''x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>'' de ''E'' s'associa un [[:ca:Paral·lelòtop|paral·lelòtop]]. Es defineix com la part de ''E'' formada pel conjunt de les combinacions dels ''x<sub>i</sub> amb coeficients compresos entre 0 i 1''
:Per definició d'aquest tipus de matrius sabem que la matriu <math>AE_{ij}</math> és la matriu <math>A</math> amb les columnes <math>i,j</math> intercanviades, per tant, es compleix que <math>\det(AE_{ij})=-\det(A)=\det(E_{ij})\det(A)=\det(A)\det(E_{ij})</math> ja que <math>-1=\det(E_{ij}).</math>
:-Sigui <math>E=E_{i}(\lambda)</math> una matriu elemental de tipus 2. Per definició d'aquest tipus de matrius sabem que la matriu <math>AE_{i}(\lambda)</math> és la matriu <math>A</math> amb la columna <math>i</math> multiplicada per <math>\lambda</math>, per tant, es compleix que <math>\det(AE_{i}(\lambda))=\lambda\det(A)=\det(E_{i}(\lambda))\det(A)=\det(A)\det(E_{i}(\lambda))</math> ja que <math>\lambda=\det(E_{i}(\lambda)).</math>
:-Sigui <math>E=E_{ij}(\lambda)</math> una matriu elemental de tipus 3. Per definició d'aquest tipus de matrius sabem que la matriu <math>AE_{ij}(\lambda)</math> és la matriu <math>A</math> amb la columna <math>C_i=C_i+\lambda C_j</math>, per tant, es compleix que <math>\det(AE_{ij}(\lambda))=\det(C_1,...,C_i+\lambda C_j,...,C_n)=\det(C_1,...,C_i,...,C_n)+\lambda\det(C_1,...,C_j,...,C_j,...,C_n)=\det(A)=\det(A)\det(E_{ij}(\lambda))</math> ja que <math>1=\det(E_{ij}(\lambda)).</math>
: <math>P=\left\{x=\sum_{i=1}^n t_i x_i \Bigg|\, \forall i, 0\leq t_i \leq 1\right\}</math>
2. Per inducció, l'enunciat per a <math>n=1</math> l'hem demostrat a 1. Suposem que és cert per a <math>n=m</math>, aleshores, per 1 sabem que
:<math>\det(AE_1,...,E_{m+1})=\det(AE_1,...,E_m)\det(E_{m+1})=\det(A)\det(E_1)...\det(E_m)\det(E_{m+1})</math>
Convé veure en aquest paral·lelòtop una mena de llamborda obliqua.
3. Les matrius elementals de tipus 1 i 3 són simètriques, per tant <math>E=E^t</math> i és clar que <math>\det(E)=\det(E^t)</math>.
:Si <math>E</math> és una matriu elemental de tipus 2, aleshores, per les propietats d'aquestes <math>E^t</math> és també una matriu elemental de tipus 2. Per tant, com que el determinant d'aquestes matrius és sempre 1. <math>\det(E)=1=\det(E^t)</math>}}
Quan l'espai està proveït d'un [[:ca:Producte_escalar|producte escalar]], és possible definir el volum d'aquest paral·lelòtop, de vegades dit el seu hipervolum per subratllar que la dimensió de l'espai concernit no és per força 3. Verifica les propietats següents:
* els volums de dues llambordes adjacents per una cara, s'afegeixen
* la multiplicació d'un dels vectors que defineixen la llamborda per una de constant produeix la multiplicació del volum per aquesta constant
* el volum d'una llamborda formada per la repetició del mateix vector (que constitueix un cas particular de llamborda plana), és nul.
Un canvi de producte escalar sobre l'espai ''E'' modifica les mesures de longituds, angles, i per tant de volums. Tanmateix la teoria dels determinants ensenya que tret d'una constant multiplicativa, no existeix més que un únic mètode de càlcul dels volums en un espai vectorial de dimensió ''n''.
Reprenent un espai vectorial ''sense estructura particular'', la noció de determinant té per objectiu donar un sentit intrínsec al «volum» del paral·lelòtop, sense referència a un producte escalar per exemple, és a dir de construir una funció ''f'', que a ''x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>'' els associa un nombre real, i verifica les propietats precedents. Tal aplicació es diu una forma ''n'' - lineal alternada.
=== Formes ''n'' - lineals alternades ===
La noció de '''forma n - lineal alternada''' generalitza les propietats precedents. Es defineix com una aplicació de ''E<sup>n</sup>'' en <math>\mathbb{R}</math> que és:
* [[:ca:Aplicació_lineal|lineal]] en cada variable. Així per la vectors ''x<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub>, x'<sub>i</sub>'' i dos escalars ''a'' i ''b''
: <math>f(x_1,\dots,x_{i-1}, ax_i+bx'_i,x_{i+1}, \dots, x_n)=a f(x_1, \dots, x_n) + bf(x_1, \dots,x'_i,\dots x_n) \;</math>
* alternada, significa que s'anul·la cada vegada que és avaluada sobre una tupla que contingui dos vectors idèntics
: <math>[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_n)=0</math>
L'article [[:ca:Aplicació_multilineal|aplicació multilineal]] procedeix a l'estudi sistemàtic de les formes n- lineals alternades sobre un espai vectorial de dimensió ''n''.
El resultat principal és la possibilitat de remetre el càlcul de la imatge de <math>(x_1,..., x_n)</math> al d'imatges dels vectors de base per n- linealitat. A més a més el caràcter alternat permet canviar l'ordre dels vectors, de manera que n'hi ha prou amb conèixer la imatge <math>f(e_1, ..., e_n)</math> dels vectors d'una base, pres en l'ordre, per conèixer ''f''. Posar els vectors en l'ordre fa intervenir la noció de [[:ca:Permutació|permutació]].
'''Teorema'''
El conjunt ''A<sub>n</sub>(E)'' de les formes n- lineals alternades sobre un espai vectorial de dimensió ''n'' constitueix un espai vectorial de dimensió 1. Ames, si <math>(e_{1},\dots,e_{n})</math> és una base de ''E'', es pot expressar la imatge d'una tupla de vectors per
: <math>f(x_1,\dots,x_n)= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})</math>
amb ''X<sub>ij</sub>'' la ''i''-ena component de ''x<sub>j</sub>'' i <math>\varepsilon(\sigma)</math> que denota el signe de la permutació (un per a una permutació parell, -1 per a una de senar).
=== Determinant d'un endomorfisme ===
== Penerapan ==
=== Rumus Laplace ===
[[Ekspansi Laplace|Rumus Laplace]] untuk determinan a {{nowrap|3 × 3}} matriks adalah
: <math>
\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} =
a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}
</math>
ini dapat diperluas untuk memberikan rumus Leibniz.
=== Rumus Leibniz ===
The [[Cauchy–Binet formula]] is a generalization of that product formula for ''rectangular'' matrices. This formula can also be recast as a multiplicative formula for [[Compound matrix|compound matrices]] whose entries are the determinants of all quadratic submatrices of a given matrix.<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§0.8.7}}</ref><ref>{{harvnb|Kung|Rota|Yan|2009|p=306}}</ref>
:
=== Laplace expansion ===
[[Laplace expansion]] expresses the determinant of a matrix <math>A</math> [[Recursion|recursively]] in terms of determinants of smaller matrices, known as its [[Minor (matrix)|minors]]. The minor <math>M_{i,j}</math> is defined to be the determinant of the <math>(n-1) \times (n-1)</math>-matrix that results from <math>A</math> by removing the <math>i</math>-th row and the <math>j</math>-th column. The expression <math>(-1)^{i+j}M_{i,j}</math> is known as a [[Cofactor (linear algebra)|cofactor]]. For every <math>i</math>, one has the equality
: <math>\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j},</math>
which is called the ''Laplace expansion along the ''{{mvar|i}}''th row''. For example, the Laplace expansion along the first row (<math>i=1</math>) gives the following formula:
: <math>
\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} =
a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}
</math>
Unwinding the determinants of these <math>2 \times 2</math>-matrices gives back the Leibniz formula mentioned above. Similarly, the ''Laplace expansion along the <math>j</math>-th column'' is the equality
: <math>\det(A)= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j}.</math>
Laplace expansion can be used iteratively for computing determinants, but this approach is inefficient for large matrices. However, it is useful for computing the determinants of highly symmetric matrix such as the [[Vandermonde matrix]]<math display="block">\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix} =
\prod_{1 \leq i < j \leq n} \left(x_j - x_i\right).
</math>The ''n''-term Laplace expansion along a row or column can be [[Laplace expansion#Laplace expansion of a determinant by complementary minors|generalized]] to write an ''n'' x ''n'' determinant as a sum of <math>\tbinom nk</math> [[Binomial coefficient|terms]], each the product of the determinant of a ''k'' x ''k'' [[Minor (linear algebra)|submatrix]] and the determinant of the complementary (''n−k'') x (''n−k'') submatrix.
==== Adjugate matrix ====
The [[adjugate matrix]] <math>\operatorname{adj}(A)</math> is the transpose of the matrix of the cofactors, that is,
: <math>(\operatorname{adj}(A))_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{ji}.</math>
For every matrix, one has<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§0.8.2}}.</ref>
: <math>(\det A) I = A\operatorname{adj}A = (\operatorname{adj}A)\,A. </math>
Thus the adjugate matrix can be used for expressing the inverse of a [[nonsingular matrix]]:
: <math>A^{-1} = \frac 1{\det A}\operatorname{adj}A. </math>
=== Block matrices ===
| 