Determinan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Menyederhanakan pembahasan terkait simbol Levi-Civita |
Menambah konten dengan hasil alih bahasa dari en:Determinant (oldid 1183921881), [en:Adjugate_matrix] (oldid 1182607693); lihat sejarahnya untuk atribusi. Memindahkan rumus Laplace dari aplikasi menjadi bentuk lain dari definisi determinan. |
||
Baris 65:
[[Aturan Sarrus]] dapat digunakan sebagai [[jembatan keledai]] untuk mengingat rumus eksplisit dari determinan ini: tulis salinan dari dua kolom pertama matriks di sisi kanan kolom ketiga. Determinan adalah jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-atas ke kanan-bawah, lalu dikurang dengan jumlah dari tiga perkalian elemen-elemen diagonal matriks dari kiri-bawah ke kanan-atas. Malangnya, aturan ini tidak dapat diterapkan untuk matriks dengan dimensi yang lebih besar.
Notasi lain yang umum digunakan untuk menuliskan rumus Leibniz adalah dengan menggunakan [[simbol Levi-Civita]] dengan [[Notasi Einstein|penjumlahan Einstein]]. Simbol Levi-Civita <math>\varepsilon_{i_1,\ldots,i_n}</math> terdefinisi pada rangkap-<math>n</math> dari bilangan bulat <math>\{1,\,\ldots,\,n\}</math>.<ref>{{harvnb|Harris|2014|loc=§4.7}}</ref><ref>{{cite book|last1=McConnell|date=1957|url=https://archive.org/details/applicationoften0000mcco|title=Applications of Tensor Analysis|publisher=Dover Publications|pages=[https://archive.org/details/applicationoften0000mcco/page/10 10–17]|url-access=registration}}</ref> Simbol akan bernilai <math>0</math> jika ada dua bilangan bulat yang sama, dan bernilai tanda dari permutasi dari rangkap-n untuk kasus-kasus lainnya. Rumus Leibniz dalam notasi ini adalah<math display="block">\det(A) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} \varepsilon_{i_1\cdots i_n} a_{1,i_1} \!\cdots a_{n,i_n}.</math>
===
[[Ekspansi Laplace]], rumus Laplace, atau ekspansi baris/kolom, mendefinisikan determinan dari matriks <math>A</math> ukuran <math>n\times n</math> secara [[Rekursi|rekursif]] sebagai penjumlahan determinan matriks-matriks yang lebih kecil, yang disebut [[Minor (aljabar linear)|minor]]. Minor <math>M_{i,j}</math> didefinisikan sebagai determinan matriks berukuran <math>(n-1)\times(n-1)</math> yang dihasilkan dari menghapus baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math> matriks <math>A</math>. Untuk sembarang <math>i</math>, akan berlaku hubungan<math display="block">\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j}</math>
Ekspresi <math>(-1)^{i+j}M_{i,j}</math> dikenal dengan sebutan kofaktor. Definisi determinan tersebut juga disebut sebagai "ekspansi Laplace baris ke-<math>i</math>". Sebagai contoh, ekspansi Laplace baris pertama (<math>i=1</math>) dari matriks ukuran <math>3\times3</math> menghasilkan rumus <math display="block">\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix} = a\begin{vmatrix}e&f\\ h&i\end{vmatrix} - b\begin{vmatrix}d&f\\ g&i\end{vmatrix} + c\begin{vmatrix}d&e\\ g&h\end{vmatrix}</math>Ekspansi Laplace dapat digunakan secara iteratif untuk menghitung determinan, namun cara ini tidak efisien untuk matriks berukuran besar. Walau demikian, ekspansi Laplace ini berguna untuk menghitung determinan dari matriks-matriks tertentu seperti [[matriks Vandermonde]]:<math display="block">\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix} =
\prod_{1 \leq i < j \leq n} \left(x_j - x_i\right).</math>Ekspansi Laplace juga dapat digunakan untuk membantu menemukan [[Matriks terbalikkan|invers dari matriks]]. Matriks adjugat <math>\operatorname{adj}(A)</math> didefinisikan sebagai transpos dari matriks-matriks kofaktor, secara matematis <math display="block">(\operatorname{adj}(A))_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{ji}.</math>Definisi ini memastikan perkalian matriks <math>A</math> dengan adjugatnya akan menghasilkan menghasilkan [[matriks diagonal]] yang elemen [[Diagonal utama|diagonal utamanya]] bernilai <math>\det(A)</math>.<ref>{{harvnb|Horn|Johnson|2018|loc=§0.8.2}}.</ref> Hubungan ini ditulis secara matematis sebagai <math>A\operatorname{adj}A = (\operatorname{adj}A)\,A = (\det A) I,</math> dengan <math>I</math> merupakan [[matriks identitas]]. Hubungan tersebut menunjukkan sifat penting dalam aljabar matriks, yakni <math>A</math> memiliki invers [[jika dan hanya jika]] <math>\det(A)</math> tidak bernilai <math>0</math>. Ketika sifat ini berlaku, hubungan di atas dapat disusun (dengan mengalikan ruas tengah dan ruas kanan dengan <math>A^{-1}</math> dari kanan) sehingga <math display="block">\begin{align} \operatorname{adj}(A) &= \det(A) A^{-1}, \\ A^{-1} &= \det(A)^{-1} \operatorname{adj}(A). \end{align}</math>
== Catatan ==
| |||